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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：9.2 一元线性回归模型与独立性检验
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：9.2 一元线性回归模型与独立性检验，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，考点自诊，关键能力学案突破等内容，欢迎下载使用。
素养提升微专题10——相关关系的判断
一、一元线性回归模型1.变量的相关关系两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去 地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. 2.散点图(1)定义:为直观地描述成对样本数据中两个变量间的关系,用横轴表示其中的一个变量,纵轴表示另一个变量,则成对样本数据都可以用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成的统计图叫做散点图.
(2)分类正相关:如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也 的趋势,我们就称这两个变量正相关; 负相关:如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值 的趋势,则称这两个变量负相关.
3.线性相关与非线性相关(1)线性相关一般地,如果两个变量的取值呈现 或 ,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关. (2)非线性相关一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
4.样本相关系数取值范围: .
5.样本相关系数的意义样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征,它的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征:(1)r的正负性当r>0时,称成对样本数据正相关;当r<0时,称成对样本数据负相关.(2)r的绝对值的大小当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越 ;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越 .
6.一元线性回归模型的数学表述式我们称该式为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或 ,x称为自变量或 ;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的 .
温馨提示模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由自变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随机的.如果e=0,那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述.
7.一元线性回归模型参数的最小二乘估计设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
8.残差分析对于响应变量Y,通过 得到的数据称为观测值,通过 得到的 称为预测值,观测值 预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.
温馨提示残差分析的一般方法(1)残差图.①作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或有关数据.②残差比较均匀地分布在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,经验回归方程的预报精度越高.
(2)决定系数R2.
二、独立性检验1.分类变量使用的一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示,但这些数值只作为编号使用,并没有通常的大小和运算意义.2.2×2列联表如图,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表.
3.两个分类变量之间是否有关联的定性分析的方法(1)频率分析通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据,并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联.(2)图形分析利用等高堆积条形图来分析两个分类变量之间是否有关联,形象、直观地反映两个分类变量之间频率的差异大小,进而推断它们之间是否有关联.
温馨提示与表格相比,图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.(1)绘制等高堆积条形图时,列联表的行对应的是高度,两行的数据不相等,但对应的等高堆积条形图的高度是相同的;两列的数据对应不同颜色.(2)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形,每一个矩形中都有两种颜色,观察上方或下方颜色区域的高度,如果两个高度相差比较明显,
4.独立性检验(1)独立性检验的定义一般地,假设有两个分类变量X和Y,其抽样数据的2×2列联表为
利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.
(2)临界值表(3)应用独立性检验的主要环节①提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.③根据检验规则得出推断结论.④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.注意,上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整.例如,在有些时候,分类变量的抽样数据列联表是问题中给定的.
(4)独立性检验的思想与反证法思想的关系简单地说,反证法是在某种假设H0之下,推出一个矛盾结论,从而证明H0不成立;而独立性检验是在零假设H0之下,如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件,就推断H0不成立,且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.另外,在全部逻辑推理正确的情况下,反证法不会犯错误,但独立性检验会犯随机性错误.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)样本相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系.( )(2)利用散点图可以直观判断两个变量是否具有线性相关关系.( )(3)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的χ2越大.( )(5)两个变量的样本相关系数的绝对值越接近于1,它们的线性相关程度越强.( )
2.(多选)下列说法不正确的有( )A.经验回归方程适用于一切样本和总体B.经验回归方程一般都有局限性C.样本取值的范围会影响经验回归方程的适用范围D.经验回归方程得到的预测值是响应变量的精确值
答案 AD 解析 样本或总体具有线性相关关系时,才可求经验回归方程,而且由经验回归方程得到的函数值是近似值,而非精确值,因此经验回归方程有一定的局限性,所以A,D错误.
3.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的经验回归方程为 =0.7x+0.35,则表中m的值为( )A.3B.3.5C.4D.4.5
4.已知变量x,y之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,则其经验回归方程可能为( )
A.根据α=0.005的独立性检验认为爱好该项运动与性别有关联B.根据α=0.005的独立性检验认为爱好该项运动与性别无关联C.认为爱好该项运动与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001D.认为爱好该项运动与性别无关联,此推断犯错误的概率不大于0.001
答案 A 解析 因为χ2≈8.333>7.879=x0.005,所以根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,即认为爱好该项运动与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005,故选A.
【例1】 (1)(多选)有一散点图如图所示,在5组(x,y)数据中去掉D(3,10)后,下列说法正确的是( )
A.经验回归方程不变B.样本相关系数r变大C.各组数据对应的点到经验回归直线的距离的平方和变小D.变量x与变量y的相关程度变强
(2)右图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和经验回归直线,若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的样本相关系数最大,则应当去掉的点是( )
答案 (1)BCD (2)B 解析 (1)根据D点在散点图中的位置可知,D比较偏离经验回归直线,故去掉D(3,10)后,数据比原来集中,相关程度变强,经验回归方程有所改变,A错误,B,C,D都正确.故选BCD.(2)因为样本相关系数的绝对值越大,越接近于1,则说明两个变量的线性相关程度越强.因为点E到直线的距离最远,所以去掉点E,余下的5个点所对应的数据的样本相关系数最大,故选B.
解题心得判断相关关系的方法(1)散点图法:如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近,变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.(2)样本相关系数法:利用样本相关系数判定,当|r|越接近1时,线性相关程度就越强.当r>0时,正相关;当r<0时,负相关.
A.0
答案 (1)D (2)C 解析 (1)由散点图得负相关,所以r1,r2<0,因为剔除点(10,21)后,剩下点数据更具有线性相关性,|r2|更接近1,所以-1【例2】 (2020陕西咸阳高三二模)某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系,随机调查了本市某中学高三某班6名学生每周课外阅读时间x(单位:小时)与高三下学期期末考试中语文作文分数y(单位:分),数据如下表:
(1)根据上述数据可知y与x线性相关,求出高三学生语文作文分数y与该学生每周课外阅读时间x的经验回归方程,并预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文分数;(2)从这6人中任选2人,求这2人中至少有1人课外阅读时间不低于5小时的概率.
(2)设这6人阅读时间依次为1,2,3,4,5,6的同学分别为A,B,C,D,E,F,从中任选2人,样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},设事件A=“至少1人课外阅读时间不低于5小时”,则A={(A,E),(A,F),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},故所求的概率为
对点训练2在一段时间内,某种商品的价格x(单位:万元)和需求量y(单位:t)之间的一组数据为:(1)画出散点图;(2)建立y关于x的经验回归方程;(3)若价格定为1.9万元,预测需求量是多少.(精确到0.01)
解 (1)散点图如图所示.
(3)当x=1.9时,y=28.1-11.5×1.9=6.25,所以价格定为1.9万元,需求量大约是6.25 t.
【例3】 (2020山东青岛高三模拟)近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引了越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如下表所示:
根据以上数据,绘制了如图所示的散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y关于x的经验回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
解题心得1.根据样本画出散点图.观察散点图中散点的分布,从整体看,如果散点没有在某一条直线附近,称这两个变量具有相关性,但不是线性相关,即这两个变量非线性相关.2.借助于散点图,与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较,找到合适的函数模型.3.通过变量转换,把非线性回归问题化成线性回归问题,并求出经验回归方程.4.再利用变量代换,可得非线性经验回归方程.
对点训练3光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下,某地光伏发电装机量急剧上涨,如下表:
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由.(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程,并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.(精确到0.01)
解 (1)选择模型①.理由如下:根据残差图可以看出,模型①得到的经验回归方程的残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴,宽度小于1的带状区域内,模型②的残差分布的带状区域较宽一些,所以模型①的拟合效果相对较好.
【例4】 (2020黑龙江哈尔滨六中高三三模)“海水稻”就是耐盐碱水稻,是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻,它比其他普通的水稻有更强的生存竞争能力,具有抗涝、抗病虫害、抗倒伏等特点.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(单位:‰)对亩产量y(单位:吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用一元线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系,用最小二乘法计算得y关于x的经验回归方程为
(1)请你估计当浇灌海水浓度为8‰时,该品种的亩产量.(2)①完成上述残差表;②计算R2,并说明模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
解题心得比较两个模型拟合效果的好坏,则需计算决定系数或画出残差图求解,R2越接近1,则拟合效果越好,进行残差分析时,若残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,且这样的带状区域越窄这说明模型的拟合精度越高,经验回归方程的预报精度越高.
对点训练4在一段时间内,某种商品的价格x(单位:元)和需求量y(单位:件)之间的一组数据如下表所示:(1)建立y关于x的经验回归方程;(2)请用R2和残差图说明经验回归方程拟合效果的好坏.
残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适.
【例5】 每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南Q镇2009~2018年梅雨季节的降雨量(单位:mm)的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
(1)请用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量.(2)Q镇的杨梅种植户老李在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成).而乙品种杨梅2009~2018年的亩产量(单位:kg/亩)与降雨量的发生频数(单位:年)如2×2列联表所示(部分数据缺失).请你帮助老李排解忧愁,他来年种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小?(完善列联表,并说明理由)
解 (1)频率分布直方图中第四组的频率为1-100×(0.002+0.004+0.003)=0.1.所以用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量为150×0.2+250×0.4+350×0.3+450×0.1=30+100+105+45=280(mm).(2)根据频率分布直方图可知,降雨量在[200,400)内的频数为10×100×(0.003+0.004)=7.进而完善列联表如下.
零假设为H0:乙品种杨梅的亩产量与降雨量之间无关联.根据小概率值α=0.25的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量之间没有关联,此推断犯错误的概率不大于0.25.而推断甲品种杨梅的亩产量与降雨量有关联的把握超过八成,故老李来年应该种植乙品种杨梅.
2.用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据,当它比较大时推断H0不成立,否则认为H0成立;换一种说法,计算随机变量的统计量χ2越大,推断两个变量有关联时,犯错误的概率越小.
对点训练5某中学为了解中学生的课外阅读时间,决定在该中学的1 200名男生和800名女生中按分层随机抽样的方法抽取20名学生,对他们的课外阅读时间进行问卷调查.现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类:A类(不参加课外阅读),B类(参加课外阅读,但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时),C类(参加课外阅读,且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时).调查结果如下表:
(1)求出表中x,y的值;(2)根据表中的统计数据,完成下面的列联表,依据α=0.1的独立性检验,能否认为参加课外阅读与否与性别有关联;
(3)从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况,记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值,求X的数学期望.
解 (1)设抽取的20人中,男、女生人数分别为n1,n2,(2)零假设为H0:参加课外阅读与否与性别无关联.列联表如下:
素养提升微专题10 ——相关关系的判断
对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的n对成对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),利用样本相关系数r来衡量两个变量之间线性相关程度的强弱,样本相关系数r的计算公式:
温馨提示(1)当r>0时,表明两个变量正相关;当r<0时,表明两个变量负相关.(2)|r|≤1,且|r|越接近于1,两个变量的线性相关程度越强;|r|越接近于0,两个变量的线性相关程度越弱.(3)r与 符号一致.
【典例】 (2020广东金山中学高三三模)随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,很多消费者对手机流量的需求越来越大.某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价x(单位:元/月)和购买人数y(单位:万人)的关系如下表:
(1)根据表中的数据,运用样本相关系数进行分析说明,是否可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是负相关.(2)①求出y关于x的经验回归方程;②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/月,请用所求经验回归方程预测该城一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人.
解题心得两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析,而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度:r的符号反映了相关关系的正负性;|r|的大小反映了两个变量线性相关的程度,即散点集中于一条直线的程度.
对点训练艾滋病是一种危害性极大的传染病,由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起,它把人体免疫系统中最重要的CD4细胞作为主要攻击目标,使人体丧失免疫功能.下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表:
(1)请根据该统计表,画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图;(2)请用样本相关系数说明:能用一元线性回归模型拟合y与x的关系;(3)建立y关于x的经验回归方程(参数精确到0.01),并估计2019年我国艾滋病病毒感染人数.
解 (1)我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示.
素养提升微专题10——相关关系的判断
一、一元线性回归模型1.变量的相关关系两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去 地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. 2.散点图(1)定义:为直观地描述成对样本数据中两个变量间的关系,用横轴表示其中的一个变量,纵轴表示另一个变量,则成对样本数据都可以用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成的统计图叫做散点图.
(2)分类正相关:如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也 的趋势,我们就称这两个变量正相关; 负相关:如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值 的趋势,则称这两个变量负相关.
3.线性相关与非线性相关(1)线性相关一般地,如果两个变量的取值呈现 或 ,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关. (2)非线性相关一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
4.样本相关系数取值范围: .
5.样本相关系数的意义样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征,它的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征:(1)r的正负性当r>0时,称成对样本数据正相关;当r<0时,称成对样本数据负相关.(2)r的绝对值的大小当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越 ;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越 .
6.一元线性回归模型的数学表述式我们称该式为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或 ,x称为自变量或 ;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的 .
温馨提示模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由自变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随机的.如果e=0,那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述.
7.一元线性回归模型参数的最小二乘估计设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
8.残差分析对于响应变量Y,通过 得到的数据称为观测值,通过 得到的 称为预测值,观测值 预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.
温馨提示残差分析的一般方法(1)残差图.①作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或有关数据.②残差比较均匀地分布在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,经验回归方程的预报精度越高.
(2)决定系数R2.
二、独立性检验1.分类变量使用的一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示,但这些数值只作为编号使用,并没有通常的大小和运算意义.2.2×2列联表如图,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表.
3.两个分类变量之间是否有关联的定性分析的方法(1)频率分析通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据,并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联.(2)图形分析利用等高堆积条形图来分析两个分类变量之间是否有关联,形象、直观地反映两个分类变量之间频率的差异大小,进而推断它们之间是否有关联.
温馨提示与表格相比,图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征.(1)绘制等高堆积条形图时,列联表的行对应的是高度,两行的数据不相等,但对应的等高堆积条形图的高度是相同的;两列的数据对应不同颜色.(2)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形,每一个矩形中都有两种颜色,观察上方或下方颜色区域的高度,如果两个高度相差比较明显,
4.独立性检验(1)独立性检验的定义一般地,假设有两个分类变量X和Y,其抽样数据的2×2列联表为
利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.
(2)临界值表(3)应用独立性检验的主要环节①提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.②根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.③根据检验规则得出推断结论.④在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.注意,上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整.例如,在有些时候,分类变量的抽样数据列联表是问题中给定的.
(4)独立性检验的思想与反证法思想的关系简单地说,反证法是在某种假设H0之下,推出一个矛盾结论,从而证明H0不成立;而独立性检验是在零假设H0之下,如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件,就推断H0不成立,且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.另外,在全部逻辑推理正确的情况下,反证法不会犯错误,但独立性检验会犯随机性错误.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)样本相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系.( )(2)利用散点图可以直观判断两个变量是否具有线性相关关系.( )(3)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的χ2越大.( )(5)两个变量的样本相关系数的绝对值越接近于1,它们的线性相关程度越强.( )
2.(多选)下列说法不正确的有( )A.经验回归方程适用于一切样本和总体B.经验回归方程一般都有局限性C.样本取值的范围会影响经验回归方程的适用范围D.经验回归方程得到的预测值是响应变量的精确值
答案 AD 解析 样本或总体具有线性相关关系时,才可求经验回归方程,而且由经验回归方程得到的函数值是近似值,而非精确值,因此经验回归方程有一定的局限性,所以A,D错误.
3.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的经验回归方程为 =0.7x+0.35,则表中m的值为( )A.3B.3.5C.4D.4.5
4.已知变量x,y之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,则其经验回归方程可能为( )
A.根据α=0.005的独立性检验认为爱好该项运动与性别有关联B.根据α=0.005的独立性检验认为爱好该项运动与性别无关联C.认为爱好该项运动与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001D.认为爱好该项运动与性别无关联,此推断犯错误的概率不大于0.001
答案 A 解析 因为χ2≈8.333>7.879=x0.005,所以根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,即认为爱好该项运动与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005,故选A.
【例1】 (1)(多选)有一散点图如图所示,在5组(x,y)数据中去掉D(3,10)后,下列说法正确的是( )
A.经验回归方程不变B.样本相关系数r变大C.各组数据对应的点到经验回归直线的距离的平方和变小D.变量x与变量y的相关程度变强
(2)右图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和经验回归直线,若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的样本相关系数最大,则应当去掉的点是( )
答案 (1)BCD (2)B 解析 (1)根据D点在散点图中的位置可知,D比较偏离经验回归直线,故去掉D(3,10)后,数据比原来集中,相关程度变强,经验回归方程有所改变,A错误,B,C,D都正确.故选BCD.(2)因为样本相关系数的绝对值越大,越接近于1,则说明两个变量的线性相关程度越强.因为点E到直线的距离最远,所以去掉点E,余下的5个点所对应的数据的样本相关系数最大,故选B.
解题心得判断相关关系的方法(1)散点图法:如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近,变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.(2)样本相关系数法:利用样本相关系数判定,当|r|越接近1时,线性相关程度就越强.当r>0时,正相关;当r<0时,负相关.
A.0
答案 (1)D (2)C 解析 (1)由散点图得负相关,所以r1,r2<0,因为剔除点(10,21)后,剩下点数据更具有线性相关性,|r2|更接近1,所以-1
(1)根据上述数据可知y与x线性相关,求出高三学生语文作文分数y与该学生每周课外阅读时间x的经验回归方程,并预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文分数;(2)从这6人中任选2人,求这2人中至少有1人课外阅读时间不低于5小时的概率.
(2)设这6人阅读时间依次为1,2,3,4,5,6的同学分别为A,B,C,D,E,F,从中任选2人,样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},设事件A=“至少1人课外阅读时间不低于5小时”,则A={(A,E),(A,F),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},故所求的概率为
对点训练2在一段时间内,某种商品的价格x(单位:万元)和需求量y(单位:t)之间的一组数据为:(1)画出散点图;(2)建立y关于x的经验回归方程;(3)若价格定为1.9万元,预测需求量是多少.(精确到0.01)
解 (1)散点图如图所示.
(3)当x=1.9时,y=28.1-11.5×1.9=6.25,所以价格定为1.9万元,需求量大约是6.25 t.
【例3】 (2020山东青岛高三模拟)近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引了越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如下表所示:
根据以上数据,绘制了如图所示的散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归方程类型;(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y关于x的经验回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
解题心得1.根据样本画出散点图.观察散点图中散点的分布,从整体看,如果散点没有在某一条直线附近,称这两个变量具有相关性,但不是线性相关,即这两个变量非线性相关.2.借助于散点图,与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较,找到合适的函数模型.3.通过变量转换,把非线性回归问题化成线性回归问题,并求出经验回归方程.4.再利用变量代换,可得非线性经验回归方程.
对点训练3光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下,某地光伏发电装机量急剧上涨,如下表:
(1)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由.(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程,并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.(精确到0.01)
解 (1)选择模型①.理由如下:根据残差图可以看出,模型①得到的经验回归方程的残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴,宽度小于1的带状区域内,模型②的残差分布的带状区域较宽一些,所以模型①的拟合效果相对较好.
【例4】 (2020黑龙江哈尔滨六中高三三模)“海水稻”就是耐盐碱水稻,是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻,它比其他普通的水稻有更强的生存竞争能力,具有抗涝、抗病虫害、抗倒伏等特点.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(单位:‰)对亩产量y(单位:吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用一元线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系,用最小二乘法计算得y关于x的经验回归方程为
(1)请你估计当浇灌海水浓度为8‰时,该品种的亩产量.(2)①完成上述残差表;②计算R2,并说明模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
解题心得比较两个模型拟合效果的好坏,则需计算决定系数或画出残差图求解,R2越接近1,则拟合效果越好,进行残差分析时,若残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,且这样的带状区域越窄这说明模型的拟合精度越高,经验回归方程的预报精度越高.
对点训练4在一段时间内,某种商品的价格x(单位:元)和需求量y(单位:件)之间的一组数据如下表所示:(1)建立y关于x的经验回归方程;(2)请用R2和残差图说明经验回归方程拟合效果的好坏.
残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适.
【例5】 每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南Q镇2009~2018年梅雨季节的降雨量(单位:mm)的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
(1)请用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量.(2)Q镇的杨梅种植户老李在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成).而乙品种杨梅2009~2018年的亩产量(单位:kg/亩)与降雨量的发生频数(单位:年)如2×2列联表所示(部分数据缺失).请你帮助老李排解忧愁,他来年种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小?(完善列联表,并说明理由)
解 (1)频率分布直方图中第四组的频率为1-100×(0.002+0.004+0.003)=0.1.所以用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量为150×0.2+250×0.4+350×0.3+450×0.1=30+100+105+45=280(mm).(2)根据频率分布直方图可知,降雨量在[200,400)内的频数为10×100×(0.003+0.004)=7.进而完善列联表如下.
零假设为H0:乙品种杨梅的亩产量与降雨量之间无关联.根据小概率值α=0.25的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量之间没有关联,此推断犯错误的概率不大于0.25.而推断甲品种杨梅的亩产量与降雨量有关联的把握超过八成,故老李来年应该种植乙品种杨梅.
2.用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据,当它比较大时推断H0不成立,否则认为H0成立;换一种说法,计算随机变量的统计量χ2越大,推断两个变量有关联时,犯错误的概率越小.
对点训练5某中学为了解中学生的课外阅读时间,决定在该中学的1 200名男生和800名女生中按分层随机抽样的方法抽取20名学生,对他们的课外阅读时间进行问卷调查.现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类:A类(不参加课外阅读),B类(参加课外阅读,但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时),C类(参加课外阅读,且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时).调查结果如下表:
(1)求出表中x,y的值;(2)根据表中的统计数据,完成下面的列联表,依据α=0.1的独立性检验,能否认为参加课外阅读与否与性别有关联;
(3)从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况,记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值,求X的数学期望.
解 (1)设抽取的20人中,男、女生人数分别为n1,n2,(2)零假设为H0:参加课外阅读与否与性别无关联.列联表如下:
素养提升微专题10 ——相关关系的判断
对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的n对成对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),利用样本相关系数r来衡量两个变量之间线性相关程度的强弱,样本相关系数r的计算公式:
温馨提示(1)当r>0时,表明两个变量正相关;当r<0时,表明两个变量负相关.(2)|r|≤1,且|r|越接近于1,两个变量的线性相关程度越强;|r|越接近于0,两个变量的线性相关程度越弱.(3)r与 符号一致.
【典例】 (2020广东金山中学高三三模)随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,很多消费者对手机流量的需求越来越大.某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价x(单位:元/月)和购买人数y(单位:万人)的关系如下表:
(1)根据表中的数据,运用样本相关系数进行分析说明,是否可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是负相关.(2)①求出y关于x的经验回归方程;②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/月,请用所求经验回归方程预测该城一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人.
解题心得两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析,而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度:r的符号反映了相关关系的正负性;|r|的大小反映了两个变量线性相关的程度,即散点集中于一条直线的程度.
对点训练艾滋病是一种危害性极大的传染病,由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起,它把人体免疫系统中最重要的CD4细胞作为主要攻击目标,使人体丧失免疫功能.下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表:
(1)请根据该统计表,画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图;(2)请用样本相关系数说明:能用一元线性回归模型拟合y与x的关系;(3)建立y关于x的经验回归方程(参数精确到0.01),并估计2019年我国艾滋病病毒感染人数.
解 (1)我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示.
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