新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：10.5　离散型随机变量的数字特征

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素养提升微专题16—— 超几何分布的均值与方差
案例探究(五) 概率与函数、导数、数列、不等式的综合问题
1.离散型随机变量的均值(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)=　　　　　　　　　　　　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望. 
问题思考随机变量的均值与样本的平均值有什么区别和联系?
提示 ①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.②联系:对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此,我们常用样本的平均值来估计总体的均值.
(2)均值的性质若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的均值是E(X),则E(Y)=E(aX+b)=　　　　　. 特别提示①当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身;②当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数之和;③当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量X乘积的均值等于这个常数与X的均值的乘积.
2.离散型随机变量的方差(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
则称D(X)=　　　　　　　　　　　　为随机变量X的方差,并称 为随机变量X的标准差,记为σ(x). 
温馨提示①随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.②(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度,而D(X)是上述偏离程度的加权平均数,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.③标准差与随机变量有相同的单位,而方差的单位是随机变量单位的平方.
(2)方差的性质若Y=aX+b,其中X是随机变量,a,b是常数,随机变量X的方差是D(X),则D(Y)=　　　　　=　　　 　. 特别提示①当a=0时,D(b)=0,即常数的方差等于0.②当a=1时,D(X+b)=D(X),即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差.③当b=0时,D(aX)=a2D(X),即随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.
3.几种特殊分布的均值和方差(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,则E(X)=　　　,D(X)=　　　　. (2)二项分布:若X~B(n,p),则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　. (3)超几何分布:设随机变量X服从参数为N,M,n(n,N,M∈N*,M≤N,n≤N)的
1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.(　　)(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.(　　)(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.(　　)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.(　　)
2.(2020江苏镇江高三检测)若X~B(80, ),则D(X)=(　　)A.20B.40C.15D.30
3.已知X的分布列为:设Y=2X+3,则E(Y)的值为(　　)
4.设0