专题09 平面向量 9.3三角形四心及面积问题 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

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题九  《平面向量》讲义9.3 三角形四心及面积问题题型一. 三角形四心考点1.重心1．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m＝（　　）A．1 B． C． D．【解答】解：因为2，又，所以，则，所以，所以m，故选：C．2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ（）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：∵设它们等于t，∴λ（）而2λ（）表示与共线的向量而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C．3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得||2+||2+||2取得最小值的点，则点P是△ABC的（　　）A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心【解答】解：根据题意，设，，，，则||2+||2+||232（）•（），当（）时，上式取得最小值，此时P是△ABC的重心．故选：A． 考点2.内心1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的　内　心．【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．故答案为：内2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若，则O是△ABC的（　　）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【解答】解：∵，∴ab（）+c（）＝bc（a+b+c）而 ，∴（a+b+c）bc即 记c，b，其中、分别表示、方向上的单位向量则 （）由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点．故选：D． 考点3.外心1．设P是△ABC所在平面内的一点，若，且．则点P是△ABC的（　　）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：取AB的中点D，则2，∵，即22，∴（）＝0，即，∴P在AB的中垂线上，∴PA＝PB，又AP＝CP，∴P为△ABC的外心．故选：A．2．设P是△ABC所在平面内的一点，若且．则点P是△ABC的（　　）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则2，∵•（）＝2•，即2•2•，∴•（）•0，即⊥，∴P在AB的中垂线上，又．∴（）•（）＝﹣2•，∴（）•2•，即•（）＝2•，∴点P也在BC的中垂线上，∴点P是△ABC的外心．故选：A． 考点4.垂心1．已知O为△ABC所在平面上一点，且222222，则O一定为△ABC的（　　）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：∵2222，∴2+（）22+（）2，即222﹣2•222﹣2•，即••，即•（）•0，即OC⊥AB，同理，OB⊥AC，OA⊥BC．∴O是△ABC的垂心．故选：D．2．O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．则•，同理，∵动点P满足，λ∈R．∴，λ∈R．∴0，∴，因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．故选：D． 题型二. 面积问题——奔驰定理1．已知点O为三角形ABC内一点，，则　3　．【解答】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE； ∴；∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；∴DEOE，AB＝2DE；∴AB＝3OE；∴．故答案为：3．2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则（　　）A． B． C． D．【解答】解：由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，点D在平行于AB的中位线上，且为靠近AC边，从而有，，，有．故选：B．3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比值为　　．【解答】解：如图，取BC的中点为D，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．4．平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（　　）A． B． C． D．【解答】解： • ；故选：C．5．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为　3　．【解答】解：设P的坐标为（x，y），则（2，1），（1，2），（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6＝0的距离为d∴平行四边形CDEF的面积为S＝|CF|×d3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：36．设 P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（　　）A． B． C． D．【解答】解：设，，则∵，∴由平行四边形法则知NP∥AB∴△ABP的面积与△ABC的面积之比同理△ABQ的面积与△ABC的面积之比为∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为故选：D．