新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：指点迷津（四）　统计数据与图表分析

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概率统计综合问题是高考应用型问题,解决问题需要经历收集数据、整理数据、分析数据、处理数据、得出有用的结论几个复杂过程.如果这几个过程书写步骤缺失则会造成丢分;如果数据处理不当则会陷入庞大的数据运算中,因此解决这类问题首先需要根据题目条件提取有用数据,然后根据统计思想对数据进行相关处理、运算,正确建立恰当的模型,并按照一定的书写步骤准确无误地书写出来,做到步骤不缺失、表述准确无误,学生在解答统计案例问题的时候,往往出现因审题不清不能建立适当的模型,或找不到解题的切入点,甚至不会求解问题.那么如何建立数学模型?下面就审题技巧问题给出四类题型,来展示如何根据题目所给出数据,或采集的数据画出散点图,或利用整体代换,构造熟悉的一元线性回归模型,从而达到解题目的.
【例1】某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
类型一　与频率分布直方图有关的题型的审题技巧
审题通关题中第(1)步,①求80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米,找频率和为80%所在的区间的位置;②由频率直方图各用水量在区间内的频率,找出从0.5立方米到各界点的频率和,80%的频率在哪个区间上,然后求解.题中第(2)步,求该市居民该月的人均水费,①已知频率直方图求得各区间频率,列出频率分布表;②由同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,由不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,
解(1)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
根据题意,该市居民该月的人均水费估计为0.1×4+0.15×6+0.2×8+0.25×10+0.15×12+0.05×17+0.05×22+0.05×27=10.5(元).
解题指导过图表关.审图表、明数据,能从所给图表中正确提取解题所需要的信息来攻克审题问题,频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用载体,掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决这类问题的关键,常见的提取方法有:(1)频率:频率分布直方图中横轴表示组别,纵轴表示 ,频率=组距× ;(2)频率比:频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,因为在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高的比也就是频率比,从而根据已知的几组数据个数比求有关值;
(3)众数:最高小长方形底边中点的横坐标;(4)中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标;(5)平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和;(6)性质应用:若纵轴上存在参数值,则根据所有小长方形的高之和×组距=1列方程即可求得参数值.
类型二　与柱状图有关的审题技巧【例2】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图.
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
审题通关本题第(1)步,求y与x的函数解析式,则需根据题意,建立函数模型.①由额外购买零件作备件,每个200元,备件不足再购买,则每个500元,备件充足便宜,不足费用加大,过量备件浪费;②n表示购机的同时购买的易损零件数,若n=19,不超过19个按每个200元支付19个易损零件的费用,多于19个的部分每个500元;③x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用,结合② 构造分段函数模型,写成分段函数形式.
本题第(2)步确定“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5的n的最小值,就是求“更换的易损零件数不大于n”的事件的频率和大于等于0.5.①由柱状图信息更换零件数目及该数目对应的频数,列出频率分布表;②由频率分布表,确定频率和比0.5大和频率和比0.5小的更换零件频数,根据省钱原则,把第一个大于0.5的频数作为n值最小值.
本题第(3)步已知购机时购买19个备用件或购买20个备用件,求100台机器在柱状图情形下,所需费用的平均数,并根据平均数下决策,实质就是求n=19和n=20,100件机器购置更换易损件所需的费用.①若都购买19个易损零件,根据柱状图,购置100台机器每台都买19个备用件,所需费用100×19×200;②更换零件数为20,有20台机器,每台多买1个,所需费用为20×500;③更换零件数为21,有10台机器,每台多买2个,所需费用为2×10×500;④所需费用的平均数,平均数= ;⑤购买20个备用件,原理同上;⑥购买备用件决策,根据所需费用平均数值比较大小,数值较小的实惠.
解(1)当x≤19时,y=19×200=3 800当x>19时,y=19×200+(x-19)×500=500x-5 700,所以(2)由柱状图可知,更换易损零件数的频率如下表所示:
所以更换易损零件数不大于18的频率为0.06+0.16+0.24=0.460.5,故n的最小值为19.
(3)若每台都购买19个易损零件,则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为若每台都购买20个易损零件,则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为因为4 000400,得到x>200.②由空气质量指数x>200,通过监测数据找出空气质量指数大于200的频数,代入古典概型概率公式求概率.本题第(2)步,①本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为严重污染,求出非严重污染的天数;②通过列联表提示数据总天数为100,严重污染共有15天,求出非供暖季严重污染的天数,非供暖季非严重污染的天数;③将列联表数据,代入χ2公式,求出χ2值,并与临界xα比较,根据独立检验规则得出推断结论.
解(1)记“在本年内随机抽取一天,该天的经济损失超过400元”为事件A.由y>400,得x>200.由统计数据可知,空气质量指数大于200的频数为35,
(2)零假设为H0:该城市本年的空气严重污染与供暖无关联.根据题设中的数据得到2×2列联表:
将2×2列联表中的数据代入公式计算,得根据α=0.050的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为该城市本年的空气严重污染与供暖有关联.
解题指导过逻辑推理关:根据上下文条件的联系,逐步推导解决问题需要的条件.处理频率分布表的数据的关键是搞清表格中各行、各列数的意义,特别地,表格中最后一行或最后一列中的数据多为合计(或总计).然后根据已知条件,逐步推导题目要求所需条件,审题时,要前后联系,注意隐含条件的使用.有关独立性检验则需根据条件,推导列联表的各个数值,代入公式求解χ2的值,与临界值xα比较.基于小概率值α的检验规则是:当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2