专题15.2 分式的运算讲练-2021-2022学年人教版八年级数学上册同步讲练

专题15.2 分式的运算
典例体系（本专题共125题43页）

一、知识点
1.分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：
2.分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：
3.分式的加减法则：
1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：
2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：
3）两种类型：一是分式间的加减；二是整式与分式的加减（整式的分母为1）
注意：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
4.分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
5.整数指数幂
引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即：
（）
） （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m，n均为整数。
二、考点点拨与训练
考点1:分式的乘法运算
典例：（2020·海口市第十四中学初二月考）计算：；
【答案】
【解析】解：

；
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查因式分解和分式的运算法则，熟悉相关法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国课时练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：原式．
故选D
2．（2020·全国课时练习）计算，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：原式＝
故选答案A.
3．（2020·全国课时练习）计算的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】＝
故选：A．
4．（2020·全国课时练习）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：

．
故选：B．
5．（2020·山东天桥·初三月考）化简的结果是
A．x+1 B．x+2 C． D．
【答案】B
【解析】
故选B
6．（2020·济南明湖中学）化简的结果是（ ）
A．x＋1 B．x＋2 C． D．
【答案】B
【解析】解：．
故选：B．
7．（2020·江苏徐州·初二期末）计算：＝______.
【答案】﹣
【解析】.
故答案为：﹣.
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式=
=
=．
10．（2020·全国课时练习）化简：．
【答案】．
【解析】解：

．
考点2：分式的除法
典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）写出一个分式，使它分别满足下列条件：
（1）当时，它没有意义． （2）当时，它有意义．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）当时，分母为0，分式无意义，故分式可以为；
（2）当时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为．
方法或规律点拨
本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，分式有意义．
巩固练习
1．（2020·中北大学附属学校初二期末）计算÷的结果为（　　）
A． B．5﹣a C． D．5+a
【答案】C
【解析】解：原式＝•（5﹣a）
＝．
故选：C．
2．（2020·湖北黄石·初二期末）化简的结果是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：
=
=m．
故答案为A．
3．（2020·四川甘孜·初二期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】；
故答案选D．
4．（2020·山东沂水·初二期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，
故选B．
5．（2020·湖南雨花·初二期末）计算：=__________．
【答案】
【解析】解：原式==．
故答案为：．
6．（2020·全国课时练习）的运算结果是________
【答案】
【解析】原式=
故答案为.
7．（2020·全国课时练习）已知a米布料能做b件上衣，米布料能做条裤子，则一件上衣的用料是一条裤子用料的_____倍．
【答案】1.5
【解析】解：由题意可得：．
故答案为1.5．
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式=
=
=
=．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式

10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式=
=．
11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式

12．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）先化简，再求的值，其中．
【答案】，
【解析】解：原式=
=
=．
当时，原式=．
考点3：分式的乘除法混合运算
典例：（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）若分式的值为零，则x=______．
【答案】x=-2
【解析】由分式的值为零的条件得x 2-4=0，2x-4≠0， 
由x2-4=0，得x=2或x=-2， 
由2x-4≠0，得x≠2， 
综上，得x=-2， 
故答案为-2．
方法或规律点拨
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握是解题的关键.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
巩固练习
1．（2019·河北安平·期末）计算12a2b4•(﹣)÷(﹣)的结果等于( )
A．﹣9a B．9a C．﹣36a D．36a
【答案】D
【解析】原式=12a2b4•（﹣）·（﹣）
=36a.
故选D.
2．（2020·全国课时练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误，
故选：C．
3．（2020·全国初二课时练习）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】．
故选D．
4．（2019·株洲市第十九中学初二月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
=
=
故选D.
5．（2020·全国初二课时练习）计算：．
佳佳的计算过程如下：
解：

．
请问佳佳的计算结果对吗？如果不对，请改正．
【答案】佳佳的计算结果不对，改正如下：原式．
【解析】佳佳的计算结果不对，改正如下：
原式．
6．（2020·全国初二课时练习）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）原式；
（2）原式．
7．（2019·广西环江·初二期中）先化简，再求值．，其中
【答案】，2020．
【解析】原式


当时，原式．
考点4：含有乘方的分式乘除法混合运算
典例：（2020·北京市通州区第二中学初一月考）分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得x＞3，
解不等式组②，得x＜－.
所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－ .
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式＜0.
【答案】 【解析】解：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②，
解不等式组①，得 解不等式组②得此不等式组无解．
所以原分式不等式的解集为 方法或规律点拨
本题考查了分式的值为正与为负的条件及一元一次不等式组的解法，根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把分式不等式转化为两个不等式组求解是解答本题的关键.
巩固练习
1．（2020·全国初二课时练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：．
故选：A．
2．（2020·河南济源·初二期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：
=
=.
故选：B.
3．（2019·全国初一单元测试）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式==.
故选D.
4．（2020·辽宁文圣·初二期末）下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A 、，故错误；
B、 ，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误；
故选：C．
5．（2020·广东郁南·初二期末）计算的结果是________．
【答案】
【解析】解：



故答案为：．
6．（2020·全国初二课时练习）（）3•（）2÷（）4=________．
【答案】
【解析】解：原式=．故答案为．
7．（2020·眉山市东坡区东坡中学初二期中）计算 =________________
【答案】
【解析】
=
=．
故答案为：．
8．（2020·山东安丘·初二期末）计算：__________________．
【答案】
【解析】解：原式=．
故答案为：．
9．（2020·全国初二课时练习）_____．
【答案】
【解析】解：

=﹣1．
故答案为：﹣1．
10．（2019·济宁市第十五中学初二期中）计算下列各题
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）
=
=；
（2）
=
=．
11．（2019·广西忻城·初二期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）﹣．
【解析】解：（1）原式＝=；
（2）原式＝＝﹣．
12．（2019·新泰市宫里镇初级中学初二月考）计算：（）3÷•（）2
【答案】
【解析】（）3÷•（）2
=
=
13．（2019·全国初一课时练习）
【答案】
【解析】，
=，
=.
14．（2018·广西灌阳·初二期末）（）2÷（﹣）.
【答案】-n.
【解析】



15．（2020·全国初二课时练习）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式

＝；
（2）

＝
16．（2020·全国初二课时练习）先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中．
【答案】（1），．（2），．
【解析】解：（1）原式


．
当时，原式．
（2）原式

．
当时，
原式．
17．（2020·全国初二课时练习）先化简，再求值，其中．
【答案】，．
【解析】原式．
当时，原式．
考点5：同分母分式的加减法
典例：（2020·陕西城固·初二期末）下列代数式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A.，故本选项变形错误；
B. ，故本选项变形错误；
C.，故本选项变形错误；
D.，故本选项变形正确，
故选D.
方法或规律点拨
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·河南洛宁·期中）化简的结果为（　　）
A． B．a﹣1 C．a D．1
【答案】B
【解析】解：原式=，
=，
=a﹣1
故选B．
2．（2019·广东郁南·初二期末）计算的结果是（ ）
A． B．x C．3 D．0
【答案】C
【解析】原式===3.
故选C.
3．（2020·全国初二课时练习）若分式运算的结果为x，则在□中添加的运算符号为（ ）
A．+ B．-或÷ C．-或÷ D．+或×
【答案】C
【解析】；
；
；
．
故选C．
4．（2020·广西初三一模）若，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：




A=2．
故答案为C．
5．（2020·全国初二课时练习）计算，结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】解：原式，
故选：A．
6．（2020·辽宁灯塔·期末）计算的结果为__________．
【答案】1
【解析】
=
=1．
故答案为：1
7．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）计算：＝______．
【答案】3.
【解析】利用同分母分式的加法法则计算即可，即原式==3.
8．（2020·广东禅城·期末）计算：_____．
【答案】-1-x
【解析】解：，
故答案为：-1-x．
9．（2020·湖南茶陵·初二期末）计算：__________．
【答案】．
【解析】解：
=
=
=a-3
故答案为：a-3．
10．（2020·广东顺德·初二期末）化简：__________．
【答案】
【解析】；
故答案是．
11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：；
12．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式=
=．
13．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式=
=
=．
14．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式=
=
=
=
=．
15．（2020·全国初二课时练习）计算：．
【答案】
【解析】．
考点6：异分母分式加减法运算
典例：（2020·江苏沭阳·初二期末）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A、＝＝，故原式不是最简分式，不合题意；
B、＝＝，故原式不是最简分式，不合题意；
C、＝，故原式不是最简分式，不合题意；
D、，是最简分式，符合题意．
故选：D．
方法或规律点拨
此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．
巩固练习
1．（2020·山西绛县·初二期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
=
=
=
=
故选：C.
2．（2020·湖北武汉·其他）计算：______．
【答案】
【解析】解：
=
=
=；
故答案为：．
3．（2019·广东郁南·月考）计算：=_____．
【答案】
【解析】原式=．
故答案为．
4．（2020·湖北江汉·二模）计算的结果是______．
【答案】
【解析】解：
=
=；
故答案为：．
5．（2020·湖北江岸·其他）计算的结果是__________．
【答案】
【解析】解：




故答案为：．
6．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）已知，则分式的值为_____．
【答案】﹣3
【解析】解：∵-＝-＝＝3，
∴＝-＝-3；
故答案为：-3．
7．（2020·湖北江岸·其他）__________．
【答案】
【解析】解:原式



8．（2021·重庆巴蜀中学开学考试）已知 ，则的值为________．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴==，
故答案为：．
9．（2020·山东青州·期中）已知，则的值等于______．
【答案】3
【解析】∵==，
∴A+2=5，
解得：A=3，
故答案为：3
10．（2020·内蒙古海勃湾·初三期末）计算的结果是_______.
【答案】
【解析】解：原式=
=
=
=.
故答案为：.
12．（2020·广东南海·石门中学一模）先化简，再求值：，其中a＝13．
【答案】；
【解析】原式＝
＝
＝，
当a＝13时，
原式＝．
13．（2020·江苏高淳·初二期末）计算：
【答案】
【解析】解：原式
14．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式






考点7：含有整式的分式加减法
典例：（2020·全国初二课时练习）将下列式子进行通分．
（1）和
（2）和
（3）和
（4）和
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【解析】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，
故==，
==；
（2）两式的最简公分母为6x2y，
故==，
==，
（3）两式的最简公分母为8ab2c2，
故==
==，
（4）两式的最简公分母为y2-1，
故，
．
方法或规律点拨
解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分．
巩固练习
1．（2020·全国初二课时练习）化简，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
故选D．
2．（2019·寻乌县澄江中学初二期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式==，故选A．
3．（2020·湖北蕲春·期中）先化简，再求值.
，其中.
【答案】，值为．
【解析】原式，
，
，
，
，
将代入得：原式．
4．（2020·全国初二课时练习）计算：．
【答案】．
【解析】原式，
，
，
，
，
．
5．（2020·全国初二课时练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】原式

，
当时，原式．
9．（2020·山东历下·初二期末）化简求值：
÷（－a），其中a＝2，b＝1．
【答案】，．
【解析】原式，
，
，
，
，
将代入得：原式．
10．（2020·江苏淮安·初三）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】原式



将代入得：原式．
11．（2020·浙江台州·初三学业考试）先化简代数式，然后判断该代数式的值能否等于？并说明理由．
【答案】，不能为0，理由见解析．
【解析】原式



令
解得
但当时，分式的分母为0，分式无意义
因此，该代数式的值不能等于．
12．（2020·山东芝罘·初三一模）先化简，再求值：，其中的值从解集的整数解中选取．
【答案】，．
【解析】原式




的整数解，0，1，2
由分式有意义的条件：分式的分母不能为零可得，，
因此，只有符合题意
则当时，原式．
13．（2020·沭阳县修远中学初二期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式

；
（2）原式



．
14．（2012·浙江宁波·中考真题）计算：
【答案】2a
【解析】解：解法1：原式=(a+2)(a-2)a+2+a+2=a-2+a+2
=2a
解法2：原式=a2-4a+2+(a+2)2a+2
=a2-4a+2+a2+4a+4a+2
=2a2+4aa+2
=2a(a+2)a+2
=2a
15．（2020·河北灵寿·期末）化简求值：，其中x＝3．
【答案】，.
【解析】原式＝
＝ -
＝
当x＝3时，原式＝
16．（2020·广东二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】解：原式；
当时，原式；
考点8：分式的四则混合运算
典例：（2020·全国初二课时练习）将下列式子进行通分．
（1）和
（2）和
（3）和
（4）和
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【解析】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，
故==，
==；
（2）两式的最简公分母为6x2y，
故==，
==，
（3）两式的最简公分母为8ab2c2，
故==
==，
（4）两式的最简公分母为y2-1，
故，
．
方法或规律点拨
解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分．
巩固练习
1．（2020·广西右江·二模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：原式



故选：B．
2．（2020·广西玉林·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】；1．
【解析】解：原式＝
＝
＝2x+7，
当x＝－3时，
原式＝2×（3）+7＝1．
3．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）计算：
（1）（x+y）2+y（3x-y）
（2）
【答案】（1）x2+5xy；（2）．
【解析】解：（1）原式=x2+2xy+y2+3xy-y2=x2+5xy．
（2）原式=
=
=．
4．（2020·广东一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】解：原式

，
当时，原式．
5．（2019·江苏省靖江市滨江学校月考）先化简，再求值：（），其中a满足a2+a﹣1＝0．
【答案】，﹣1
【解析】解：原式＝
＝•
＝；
∵a2+a﹣1＝0，即a﹣1＝﹣a2，
∴原式＝＝﹣1．
6．（2020·吉林期末）计算：（）÷．
【答案】．
【解析】解：（）÷
＝
＝
＝．
7．（2020·吉林长春外国语学校月考）先化简，再选择一个恰当的x的值代入求值
【答案】x+2，当x=1时，原式=3．
【解析】解：原式=；
当x=1时，原式=1+2=3．
8．（2019·四川南充·一模）计算：
【答案】
【解析】解：原式




9．（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，当时，原式
【解析】解：原式

，
当时，原式.
考点9：整数指数幂有关计算
典例：（2020·全国初二课时练习）将下列式子进行通分．
（1）和
（2）和
（3）和
（4）和
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【解析】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，
故==，
==；
（2）两式的最简公分母为6x2y，
故==，
==，
（3）两式的最简公分母为8ab2c2，
故==
==，
（4）两式的最简公分母为y2-1，
故，
．
方法或规律点拨
解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分．
巩固练习
1．（2020·福建思明·厦门双十中学二模）下列运算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：A.2（a-b）=2a-2b，故本选项正确，符合题意；
B．（a2）5=a10，故本选项错误，不合题意；
C．a+a=2a，故本选项错误，不合题意；
D．（-a）-2=，故本选项错误，不合题意．
故选：A．
2．（2020·河南遂平·期末）计算： =_________．
【答案】
【解析】根据负整数指数幂的性质可得 .
3．（2020·河北灵寿·期末）计算：__________．
【答案】4
【解析】解：；
故答案为4．
4．（2019·广东郁南·月考）计算：（）﹣1+（2﹣π）0 = ___________________
【答案】4
【解析】解：（）-1+（2﹣π）0
=3+1
=4，
故答案为：4．
5．（2020·淮阳第一高级中学初中部期末）计算：__________．
【答案】3
【解析】4-1=3，
故答案为：3.
6．（2019·全国）化简=__________________
【答案】.
【解析】解：=
7．（2020·河北永年·期末）计算：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）原式
；
（2）原式
．
8．（2020·重庆月考）计算
（1）
（2）
【答案】（1）-5；（2）
【解析】解：原式
 ；
原式

 ．
9．（2020·辽宁灯塔·期末）计算：；
【答案】1
【解析】解：

．
10．（2020·河南舞钢·期中）化简或计算：
（1）（a2b）2•9ab3；
（2）（2x2y+6x3y4﹣8xy）÷（﹣2xy）；
（3）；
（4）20202﹣2019×2021（运用乘法公式计算）．
【答案】（1）9a5b5；（2）﹣x﹣3x2y3+4；（3）；（4）1
【解析】（1）(a2b)2•9ab3
=a4b2•9ab3
=9a5b5；
（2）(2x2y+6x3y4﹣8xy)÷(﹣2xy)
=2x2y÷(﹣2xy)+6x3y4÷(﹣2xy)﹣8xy÷(﹣2xy)
=﹣x﹣3x2y3+4；
（3）



；
（4）20202﹣2019×2021
=20202﹣(2020﹣1)(2020+1)
=20202﹣20202+1
=1．
11．（2020·吉林期末）计算：（）-1+（﹣2）0+|﹣2020|．
【答案】2026．
【解析】解：原式＝5+1+2020
＝2026．
12．（2020·江苏梁溪·期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）-1；（2）
【解析】（1）原式
（2）原式
13．（2019·广东潮州·其他）计算：
【答案】-6
【解析】

．
14．（2020·重庆南开中学期末）计算：.
【答案】﹣10
【解析】解：
=﹣1+（﹣8）+1－2
=﹣10．
15．（2020·广东禅城·期末）计算：．
【答案】
【解析】解：原式=
=3+1+8
=12．
16．（2018·福建晋江·初二期中）（2a2b）2•（2a2b﹣2）﹣2
【答案】b2．
【解析】原式＝4a4b2∙b44a4＝b2．