广东省佛山市西樵三校联考2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷 北师版

这是一份广东省佛山市西樵三校联考2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷 北师版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省佛山市西樵三校联考2021-2022学年度北师大版九年级上册
第一次月考试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.下列各组的四条线段 ， ， ， 是成比例线段的是（  ）
A.  ， ， ，
B.  ， ， ，
C.  ， ， ，
D.  ， ， ，
2.如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（    ）

A. 10cm                                 B. 12cm                                 C. 16 cm                                 D. 24 cm
3.如果 ，那么 的值是（   ）
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
4.用配方法解方程 x2+4x+1=0 ，经过配方，得到（　 　）                       
A. (x+2)2=5                      B.                       C.                       D. 
5.小明将分别标有爱我中华汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球记下汉字后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的概率是(  )
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
6.若关于x的方程x2+x-a+=0  有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（  ）
A.                                    B.                                    C. a＞2                                   D. 
7.如图，如果 ，那么下列结论正确的是（   ）

A.                       B.                       C.                       D. 
8.下列命题是真命题的是（   ）
A. 同旁内角相等，两直线平行                                B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形                         D. 两角分别相等的两个三角形相似
9.如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 ，过点E作 交 于点 .若 ，则 的长为（   ）

A.                                           B.                                           C.                                           D. 1
10.如图，在正方形 中，点P在对角线 上， ， ，E，F分别为垂足，连结 ， ，则下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若正方形边长为4，则 的最小值为2，其中正确的命题是（   ）

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.菱形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ， E是AD的中点，点F ， G在AB上，EF⊥AB ， OG∥EF ． AD=10，EF=4，则BG的长________．

12.若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是________.
13.如图，在菱形ABCD中，AB＝3，AF⊥BC于点F，FC＝2，AF与DB交于点N，则AN＝________.

14.如图，矩形 中， ，点E是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点B落在点F处，当 为直角三角形时， 的长为________.

15.在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有________个白球．
16.如图，在 中， ，点D是 的中点，过点D作 ，垂足为点E，连接 ，若 ， ，则 ________.

17.一元二次方程 的两根分别为________．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
19.如图，已知 ，求证： .

20.已知关于x的一元二次方程 有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 ， ，当 时，求 的值．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）

21.某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟，现将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图表.请根统计图表提供的信息，解答下列问题：
组别
锻炼时间（分）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤20
12
20%
B
20＜x≤40
a
35%
C
40＜x≤60
18
b
D
60＜x≤80
6
10%
E
80＜x≤100
3
5%

（1）本次调查的样本容量是________；表中a＝________，b＝________；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是________；
（4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人？
22.如图，在菱形 中， ， 是对角线 上的两点，且 .

（1）求证： ≌ ；
（2）证明四边形 是菱形.
23.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元.
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
五、解答题（三）（共2题；共20分）

24.如图，在边长为 的正方形 中， 是边 的中点，点 是边 上一点(与点 不重合)，射线 与 的延长线交于点 ．

（1）求证： ≌ ；
（2）若点 是 的中点，连接 ，当 时．
①求证：四边形 是平行四边形；
②已知四边形 是菱形，求 的值．
25.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB∥OC，点B，C的坐标分别为（15，8），（21，0），动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动．M，N同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为t秒．

（1）在t＝3时，M点坐标________，N点坐标________；
（2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？
（3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值；若不能，说明理由；
（4）运动过程中，当MN分四边形OABC的面积为1:2两部分时，求出t的值．

答案解析部分
一、选择题（共10题；共30分）
1.【答案】 D
【解析】【解答】A； ，故答案为：错误，
B； ，故答案为：错误，
C； ，故答案为：错误，
D； ，选项正确，
故答案为：D.

【分析】由于比的内项之积等于外项之积，对于每个选项, 先对四条线段排序, 然后把最大的和最小的相乘, 其它两个相乘,比较两个积, 如果积相等, 这四条线段就成比例,否则不成比例.
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC，BO=DO，
又∵点M是AB的中点，
∴AD=2OM=6cm，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24cm，
故答案为：D．

【分析】由菱形的性质得到AB=AD=CD=BC，BO=DO，由三角形的中位线定理可得AD=2OM=6cm，即可求解。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵4x−5y＝0，
∴ ，
∴ = ＝ = ；
故答案为：C.
【分析】由4x−5y＝0，可得 ， 将原式变形为 = ，然后代入计算即可.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵x2+4x+1=0
∴x2+4x+4-4+1=0
∴（x+2）2-3=0
∴（x+2）2=3
【分析】根据题意，利用完全平方公式，将式子配方得到答案即可。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意，画树状图如下：

由此可知，两次摸球的所有可能的结果共有16种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的结果有2种，
则所求的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】先画出树状图，从而可得两次摸球的所有可能的结果，再找出两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的结果，然后利用概率公式即可得.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根
∴△=12-41（-a）＞0
解得，a＞2
【分析】根据题意，由方程存在两个不相等的实数根，计算得到a的取值范围即可。
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD∥EF，
∴ ，故错误；
B、∵AB∥CD∥EF，
∴ ，故正确；
C、∵AB∥CD∥EF，
∴ ，故错误；
D、∵AB∥CD∥EF，
∴ ，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”并结合各选项可判断求解.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定、矩形的判定、菱形的判定、相似三角形的判定，逐一进行判断即可.
9.【答案】 B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，
∵ ，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∵∠BEA+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：EC=BE：CF，
∴4：3=3：CF，
∴CF= ，
∴DF=CD-CF
=4-
= ，
故答案为：B.
【分析】根据题意由同角的余角相等可得∠BAE=∠CEF，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△ECF，于是可得比例式AB：EC=BE：CF，则CF的值可求解，由图形中线段的构成DF=CD-CF可求解.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵四边形 是正方形， ， ，
∴ ，
∴四边形PECF是矩形，
连接CP，如图所示：

∴ ，
∵DP=DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∵ ，
∴ ，故①正确；
当 时，连接AC，如图所示：

∴点P为BD的中点，
∴点A、P、C三点共线，
∴ ，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴四边形PECF是正方形，
∴EF⊥PC，
∴ ，故②正确；
要使EF为最小，即为CP最小，故当CP⊥BD时最小，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故③错误；
故答案为：A.
【分析】易得四边形PECF是矩形，连接CP，证明△ADP≌△CDP，然后由全等三角形的性质可得EF的值，据此判断①；当AP⊥BD时，连接AC，则点A、P、C三点共线，推出四边形PECF是正方形，则EF⊥PC，据此可判断②；要使EF为最小，即为CP最小，故当CP⊥BD时最小，根据等腰直角三角形的性质可得4=PC=EF，据此可得EF=CP的值，进而判断③.
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.【答案】 2
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD ，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG ，
∵OG∥EF ，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB ，
∴∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC ， AB=AD=10，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，
∴OE=AE= AD=5；
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵AE=5，EF=4，
∴AF= =3，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：2．

【分析】由三角形中位线定理可得OF//AB，可证出四边形OEFG是矩形；由菱形的性质得到BD⊥AC ， AB=AD=10，由直角三角形的性质可求出OE=AE= AD=5；由矩形的性质可求出FG=OE=5，根据勾股定理得到AF= =3，即可求解。
12.【答案】 -3
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3.
【分析】由一元二次方程的根的意义和根与系数的关系可得 ， ， 即 ， 再整体代换即可求解.
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=AD=3，AD//BC，
∵FC＝2，
∴BF=1
∵AF⊥DE，
∴∠AFB =90°，
∴ ，
∵AD//BC，
∴△ADN∽△FBN，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】根据菱形的性质得出BC=AB=AD=3，AD//BC，进而利用勾股定理得出AF的长，再根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△ADN∽△FBN，根据相似三角形对应边成比例得出 ， 据此得出结果.
14.【答案】 4或
【解析】【解答】解：当 为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示.
连接 ，

在 中， ，
∴ ，
∵ 沿 折叠，使点B落在点F处，
∴ ，
当 为直角三角形时，只能得到 ，
∴点A、F、C共线，即 沿 折叠，使点B落在对角线 上的点F处，
∴ ，
∴ ；
②当点F落在 边上时，如答图2所示.

此时 为正方形，
∴ ，
∴ .
综上所述， 的长为4或 .
故答案为：4或 .
【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示，连接AC，先利用勾股定理计算出AC=10 ，根据折叠的性质得 ，而当△CEF 为直角三角形时，只能得到 ，所以点A、F、C共线，即 沿 折叠，使点B落在对角线 上的点F处，则 ，可计算出 ；②当点F落在 边上时，如答图2所示.此时 为正方形，根据勾股定理计算出 .
15.【答案】 30
【解析】【解答】解：由题意可得，
袋中球的总数为： ，
则白球约为40−10＝30（个），
故答案是：30．
【分析】根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决。
16.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC= =6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴ ，即 ，
∴DE=3，
故答案为：3.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=2CD=10，利用勾股定理求出AC=6，由DE⊥BC，AC⊥BC，可得DE∥AC，利用平行线分线段成比例即得 ， 据此即可求出结论.
17.【答案】 ，
【解析】【解答】解：由 可得
所以 或 ，
故 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】等式左边因式分解利用因式分解法即可得出方程的两个根．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.【答案】 （1）解：
，
或 ，
∴ ；

（2）解：∵
∴a=1，b=3，c=1，
∴ ，
∴
∴x1= ， x2=
【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程：利用提取公因式法，把原方程左边化为两个一次式的乘积，根据两个因式的乘积等于0则这两个因式至少有一个为0，从而可得两个一元一次方程，即可求解；
（2）利用求根公式法解方程：找出方程中二次项的系数、一次项的系数及常数项，然后算出其根的判别式的值，由判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，从而利用利用一元二次方程的求根公式即可求出方程的解.
19.【答案】 证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出 ， ， 从而得出 ， ， 根据两边成比例且夹角相等即证结论.
20.【答案】 （1）解：由关于x的一元二次方程 有实数根，可得：
，且 ，
解得： 且 ；

（2）解：∵ ，
∴原方程为 ，
∴根据韦达定理得： ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）

21.【答案】 （1）60；21；30%
（2）解：将频数分布直方图补充完整如下：


（3）
（4）解： （人），
即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人.
【解析】【解答】解：（1）本次调查的样本容量是： ，
 
则 ， ，
故答案为：60，21， ；
（3）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 ，
故答案为： ；
【分析】（1）利用A组频数除以其百分比，即得样本容量；根据各频数之和等于样本容量即可求出a值；b=c组频数÷样本容量×100%即得；
（2）利用（1）结论补图即可；
（3）利用树状图列举出共有6种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，然后利用概率公式计算即可.
（4）利用样本中体育锻炼的时间超过60分钟的百分比乘以总人数，即得结论. 
 
22.【答案】 （1）证明：∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
又∵ ，
∴ ≌

（2）证明：连接 交 于点 ，

∵四边形 为菱形，
∴ ，且 为 ， 中点，
又∵ ，
∴
∴ 与 互相垂直且平分，
故四边形 是菱形
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得∠BAE=∠DCF，AB=CD；利用SAS可证得结论.

（2）连接BD交AC于点O，利用菱形的性质可证得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，结合已知条件可证得EO=FO；然后利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可证得结论.
 
 
23.【答案】 （1）解：解：设每次下降的百分率为x
根据题意得：50（1﹣x）2＝32
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去）
答：每次下降20%

（2）解：设涨价y元（0＜y≤8）
6000＝（10+y）（500﹣20y）
解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去）
答：每千克应涨价5元.
【解析】【分析】（1）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）设涨价y元（0＜y≤8），根据总盈余＝每千克盈余×数量，可列方程，可求解.
五、解答题（三）（共2题；共20分）

24.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠ECQ＝90°＝∠D．
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE．
又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌ △QCE；


（2）解：①证明：①∵PB=PQ，
∴∠PBQ=∠Q，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，
∴PE=QE，
∵PF=BF，
∴ 是 的中位线，
∴EF∥BQ，
∴在 中，AF=PF=BF，
∴∠APF=∠PAF，
∴∠PAF=∠EPD，
∴PE∥AF，
∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
② 四边形AFEP是菱形；
，
设 ，
则有 ，
解得： ，
．
【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠BCD＝90°，由E是CD的中点，得出DE＝CE，结合∠DEP＝∠CEQ即可证出；
（2）①得出  是  的中位线，在  中，AF=PF=BF，得出PE∥AF，即证出四边形AFEP是平行四边形；②由四边形AFEP是菱形，得出  ， 设  ，则有  ，解得x的值即可。
 
25.【答案】 （1）（3，8）；（15，0）
（2）当四边形OAMN是矩形时，AM=ON，
∴t=21-2t，
解得t=7秒，
故t=7秒时，四边形OAMN是矩形；


（3）存在t=5秒时，四边形MNCB能否为菱形．
理由如下：四边形MNCB是平行四边形时，BM=CN，
∴15-t=2t，
解得：t=5秒，
此时CN=5×2=10，
过点B作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，
∴OD=AB=15，BD=OA=8，
CD=OC-OD=21-15=6，
在Rt△BCD中，BC= =10，
∴BC=CN，
∴平行四边形MNCB是菱形，
∴存在t=5秒时，四边形MNCB能否为菱形．

（4）
当0 时

当 时， ，则t=9
当 =96 时， 则t=-3（舍去）
∴当10 时，点N到达O点

当 时， ，则t=12
当 时， ，则t=24（舍去）
∴当MN分四边形OABC的面积为1:2两部分时，求出t的值为9或12．
【解析】【解答】解：（1）∵B（15，8），C（21，0），
 
∴AB=15，OA=8，
OC=21，
当t=3时，AM=1×3=3，
CN=2×3=6，
∴ON=OC-CN=21-6=15，
∴点M（3，8），N（15，0）；
故答案为（3，8）；（15，0）；
【分析】（1）先求出AB=15，OA=8，OC=21，再求点的坐标即可；
（2）先求出 t=21-2t， 再求解即可；
（3）先求出 BC=  =10， 再求出 BC=CN， 最后计算求解即可；
（4）分类讨论，利用面积计算求解即可。