广东省东莞市高埗镇三校联考2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷 人教版

这是一份广东省东莞市高埗镇三校联考2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷 人教版，共23页。试卷主要包含了下列方程属于一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。

广东省东莞市高埗镇2021-2022学年度人教版九年级上册
第一次月考试卷
一、 选择题（每小题3分，共30分）
1.下列方程属于一元二次方程的是（   ）
A. B. C. D.
2.下列图形中，不是中心对称图形的是（  ）
A. B. C. D.
3.将二次函数 的图象向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（   ）
A.               B.               C.               D. 
4.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）
A. B. C. 且 D.
5.某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个，则口罩日产量的月平均增长率是（   ）
A.20% B.30% C.40% D.50%
6.如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集是（   ）

A.  或                  B.  或                  C.                  D. 
7.用配方法解方程 ，下列变形正确的是（   ）
A. B. C. D.
8.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

…
-2
0
1
3
…

…
6
-4
-6
-4
…
下列各选项中，正确的是
A. 这个函数的图象开口向下                                    B. 这个函数的图象与x轴无交点
C. 这个函数的最小值小于-6                                    D. 当 时，y的值随x值的增大而增大
9.一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（   ）
A.             B.             C.             D. 
10.如图，二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C ． 下列结论：
① ；②当 时，y随x的增大而增大；③ ；④ ．
其中正确的个数有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题4分，共28分）
11..一元二次方程x2﹣3x＝0的解是    1   .
12.已知 是一元二次方程 的一个解，则 ________.
13.已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为________．
14..如图，是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是   1   .

15.抛物线 的顶点坐标是________．
16.若点A（﹣2，y1）和B（1，y2）是二次函数y＝x2﹣4x﹣3图象上的两点，则y1________y2.（填“＜”“＝”或“＞”）
17.如图，在平面直角坐标系中， A（－3， 0）， B（0， 1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，×××）的顶点在直线 AB 上，其对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2，3，5，8，13，×××根据上述规律，抛物线C8的顶点坐标为________.

三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．

19.    计算题

（1）解方程：2x2﹣4x﹣6=0．
（2）①直接写出函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标；
②求函数y=2x2﹣4x﹣6的图象的顶点坐标．

20.如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，将 绕点 逆时针旋转到 的位置，点 在 上，连接 交 于点 .求证： 垂直平分 .

四、解答题（二）（每小题8分，共24分）

21.如图，某校准备一面利用墙，其余—面用篱笆围成一个矩形花辅ABCD．已知旧墙可利用的最大长度为13 m，篱笆长为24 m，设垂直于墙的AB边长为xm．

（1）若围成的花圃面积为70m 2时，求BC的长；

（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78 m2 ， 请你判断能否围成这样的花圃?如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．

22.已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根.
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由.
23.某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒.为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒.已知该款口罩每盒成本价为40元，设该款口罩每盒降价x元，每星期的销售量为y盒.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每盒降价多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润为多少元？
（3）若该网店某星期获得了6480元的利润，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）

24.如图，点 在函数 的图象上.已知 的横坐标分别为－2、4，直线 与 轴交于点 ，连接 .

（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的面积；
（3）若函数 的图象上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有________个.
25.如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ， ， ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰 ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

答案解析部分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、未知数的最高次数是1，且有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、方程含有两个未知数，故本选项不符合题意；
C、不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A.是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是中心对称图形，故本选项不合题意.
故答案为：C.

【分析】 直接根据中心对称图形定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可判断.
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（ 1， 3），把点（ 1， 3）向上平移2个单位得到对应点的坐标为（ 1， 1），
所以平移后的抛物线解析式为y=（x+1）2 1，
故答案为：D.
【分析】先根据二次函数的性质得到顶点坐标为（ 1， 3），再利用点平移的规律，点（ 1， 3）平移后的对应点的坐标为（ 1， 1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得：
，
解得： ；
故答案为：D.

【分析】根据判别式的意义得到4= ( -4)2-4k>0,然后解不等式即可.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：设口罩日产量的月平均增长率是x，
依题意得：20（1+x）2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意，舍去）.
故答案为：D.
【分析】设口罩日产量的月平均增长率是x，则可列出方程20(1+x)2=45，求解即可.
6.【答案】 D
【解析】【解答】 与 关于y轴对称
抛物线 的对称轴为y轴，
因此抛物线 的图像也关于y轴对称
设 与 交点为 ，则 ，

即在点 之间的函数图像满足题意
的解集为：
故答案为：D.
【分析】由于 与 关于y轴对称，而抛物线 的图像也关于y轴对称，利用数形结合，把不等式的解集转化为 与  图象的交点问题，据此求解即可.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：用配方法解方程 可得： ；
故答案为：C.
【分析】首先移项，可得x2-4x=-1，然后给方程两边同时加上4，结合完全平方公式化简即可.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 ，
依题意得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 = ，
∵ ，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵ ，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵ ，∴当 时，这个函数有最小值 ，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为( ， )，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据表格中的信息用待定系数法可求得二次函数的解析式，并将解析式化为顶点式；
A、根据a=1＞0可知，这个函数的图象开口向上；
B、计算b2-4ac=25＞0，根据一元二次方程的根的判别式可判断这个函数的图象与x轴有两个不同的交点；
C根据顶点式可知，当x=时，函数有最小值为-＜-6；
D、根据顶点式可知当x＞时，函数y的值随x值的增大而增大.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知， ＜0，x＝﹣ ＜0，得b＜0，由直线可知， ＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知， ＜0，x＝﹣ ＜0，得b＜0，由直线可知， ＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知， ＞0，x＝﹣ ＞0，得b＜0，由直线可知， ＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知， ＜0，x＝﹣ ＜0，得b＜0，由直线可知， ＜0，b＞0，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
y=ax2+bx+c（a≠0），当a>0时，函数图象开口向上；当a<0时，函数图象开口向下.
10.【答案】 B
【解析】【解答】∵二次函数的图象经过点A(—1，0)，B(3， 0)
∴对称轴
∴b =-2a ， c = -3a
∵二次函数的图象开口向下
∴a < 0
∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①不符合题意；
∵二次函数的图象开口向下，对称轴 ，
∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②不符合题意；
∵c = -3a
∴3a+c=0，故③符合题意；
由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)
∵当x=1时，y最大=a+b+c ， 当x=m时，y=
∴ 故④符合题意；
故答案为：B

【分析】根据二次根式的性质和图象，分别判断得到答案即可。

二、填空题（每小题4分，共28分）

11.【答案】 x1＝0，x2＝3
【解析】【解答】解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3.
故答案为：x1＝0，x2＝3.
【分析】对原方程因式分解可得x(x-3)＝0，据此求解.
12.【答案】 11
【解析】【解答】∵ 是一元二次方程 的一个解，
∴a2-2a-5=0，即a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2（a2-2a）+1=2×5+1=11.
故答案为：11

【分析】根据-元二次方程的解的定义可得 -2a-5=0 ,可得a2 -2a=5 ,把-4a+1变形为2(-2a) +1 ,把-2a=5代入即可得答案.
13.【答案】 8
【解析】【解答】解：由题可知：

．
不成立，
由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
三角形周长为2+3+3=8．
故答案为：8．
【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长．
14.【答案】 x<-1或x>5
【解析】【解答】解：抛物线与x轴的右交点为（5，0），对称轴x=2，对称轴到右交点的距离为5-2=3，左交点（-1，0），由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解是在x轴的下方，即不等式ax2+bx+c<0的解集是x<-1或x>5.
故答案为：x<-1或x>5.
【分析】利用二次函数的对称性，由抛物线的对称轴及抛物线与x轴的右交点坐标（5，0），可求出另一个交点坐标，由此可求出不等式ax2+bx+c<0的解集.
15.【答案】 （-4，-5）
【解析】【解答】∵二次函数的解析式为y=-3（x+4）2-5，
∴其顶点坐标为：（-4，-5）．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
16.【答案】 ＞
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2.y1）和B（1，y2）是二次函数y＝x2﹣4x﹣3图象上的两点，
∴y1=（-2）2-4×（-2）-3=9，y2=12-4×1-3=-6，
∵9＞-6，
∴y1＞y2 ，
故答案为：＞.
【分析】因为点A和点B在二次函数的图象上，则把点A和点B的横坐标代入解析式得出y1和y2的值，从而进行比较大小即可得出结论.
17.【答案】 （55， ）
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，
由题意得：,
解得： ，
∴y=x+1，
∵抛物线C1的顶点在直线AB上，
∴抛物线C1的顶点坐标为（2，），
同理，抛物线C2的顶点坐标为（3，2），
抛物线C3的顶点坐标为（5，），
抛物线C4的顶点坐标为（8，），
……
其中， Cn（n=1，2，3，4，×××）的横坐标为： 2，3，5，8，13，××× ，
观察发现：从第3项起，每个数都是前两个数的和，
∴ Cn（n=1，2，3，4，×××）的横坐标为： 2，3，5，8，13，21，34，55，××× ，
∴ 抛物线C8的顶点横坐标为：55，
∴y8=+1= ，
故答案为： （55，  ） .

【分析】利用待定系数法求出直线AB的解析式，首先推出横坐标的变化规律，求出抛物线C8的顶点横坐标为：55，将其代入直线AB的解析式求解即可解答.

三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18.【答案】 解：设抛物线解析式为y=a（x-3）2-1，
把（0，-4）代入得：-4=9a-1，
解得a=- ，
则抛物线解析式为 ．
【解析】【分析】根据顶点坐标设解析式，把点（0，-4）代入即可求出a，即可求出答案．
19.【答案】 （1）解：解方程2x2﹣4x﹣6=0，
整理得x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=﹣1；

（2）解：①函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标（3，0），（﹣1，0）；
②y=2（x2﹣2x）﹣6
=2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6                                      
=2（x﹣1）2﹣8，
所以抛物线的顶点（1，﹣8）．
【解析】【分析】（1）根据因式分解法求出x的值；（2）根据（1）中的解直接写出函数的图象与x轴交点坐标；由顶点式得到抛物线的顶点坐标.
20.【答案】 证明：∵ ， 平分 交 于点 ，
∴ .
∵将 绕点 逆时针旋转到 的位置，
∴ ， ，
∴ ，
∴在等腰 中， ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 .
【解析】【分析】 由角平分线的定义可得 ，  由旋转的性质可得 ， ， 即得 ， 根据等腰三角形三线合一的性质可得   垂直平分  .
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）

21.【答案】 （1）解：(1)根据题意得：BC=24-2x
则 (24-2x)x=70
解得：x1=5，x2=7
当x1=5时，BC=14
x2=7时，BC=10
墙可利用的最大长度为13m，
BC=14舍去．
答：BC的长为10m．

（2）解：依题意可知：(24-2x)·x=78
即x2-12x+39=0
△=122-4×1×39<0
方程无实数根
答：不能围成这样的花圃．
【解析】【分析】（1）根据题意得 BC=24-2x ，再由长方形的面积公式列出方程，解之即可得出答案.
（2）根据题意列出方程，再由根的判别式可知该方程无解，从而可得不能围成这样的花圃.
22.【答案】 （1）解：由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1•x2=2m−1=5，
∴x2=5，m=3

（2）解：设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 .
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1•x2=2m−1=5，从而求出；
（2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1•x2=2m−1，代入可得    ，解出m值并检验即可.
 
 
23.【答案】 （1）解：y=300+30x=30x+300.
∴y与x之间的函数关系式为y=30x+300；

（2）解：设每星期利润为W元，
W=(60-40-x)(30x+300)=-30(x-5)2+6750.
∴x=5时，每星期利润的最大值为6750元.
∴当每盒降价5元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；

（3）解：由题意-30(x-5)2+6750=6480，
解得 ，
当x=8时，销售300+30×8=540，
当x=2时，销售300+30×2=360，
∴该网店每星期想要获得 6480元的利润，每星期要销售该款口罩360或540盒.
【解析】【分析】（1）根据每降价1元，每星期可多卖30盒，可得到y与x之间的函数解析式.
（2）利用该网店某星期获得了6480元的利润，建立关于x的方程，解方程求出x的值，再求出该网店这星期销售该款口罩的数量.
 
 五、解答题（三）（每小题10分，共20分）

24.【答案】 （1）解：∵A，B是抛物线 上的两点，
∴当 时， ；当 时，
∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4）
设直线AB的解析式为 ，
把A，B点坐标代入得
解得，
所以，直线AB的解析式为：

（2）解：对于直线AB：
当 时，
∴
∴ = =6

（3）4
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（ ， ）
 
∵ 的面积等于 的面积的一半，
∴ 的面积等于 =3，
①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，

∵
∴
整理，得，
解得， ，
∴在直线AB的下方有两个点P，使得 的面积等于 的面积的一半；
②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，

∵
∴
整理，得，
解得， ，
∴在直线AB的上方有两个点P，使得 的面积等于 的面积的一半；
综上，函数 的图象上存在点 ，使得 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 共有4个，
故答案为：4.
【分析】（1）利用抛物线解析式求出A、B坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
（2）由直线AB解析式可求出点C坐标，即得OC，根据 ，利用三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况：①当点P在直线AB的下方时，②当点P在直线AB的上方时，根据割补法分别建立方程，求解即可.
 
25.【答案】 （1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
设二次函数的解析式为 ，代入点C的坐标可得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，即为

（2）解：存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：
由（1）可得抛物线的解析式为 ，则有对称轴为直线 ，
设直线BC的解析式为 ，代入点B、C坐标可得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
∴点 ， ，
∴由两点距离公式可得 ，
若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有 ，
①当 时，则有 轴，如图所示：

∴点 ，
②当 时，如图所示：

∴ ，
∴ ，
∴点

（3）解：由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示：

∵OC=8，点D为CO的中点，
∴OD=4，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
设直线HI的解析式为 ，则把点H、I坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线HI的解析式为 ，
当y=0时，则有 ，解得： ，
当x=1时，则有 ，
∴点 ，
∴点G走过的最短路程为

（4）解：存在以点Q为直角顶点的等腰 ，理由如下：
设点 ，则有：
①当点Q在第二象限时，存在等腰 时，如图所示：

过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，
∴ ，
∴四边形COLK是矩形，
∴CK=OL，
∵等腰 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ；
②当点Q在第一象限时，存在等腰 时，如图所示：

同理①可得 ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ；
综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰 时，点 或
【解析】【分析】（1）利用OA，OB，OC的长，可得到点A，B，C的坐标，因此设函数解析式为y=a（x+2）（x-4），再将点C的坐标代入，可求出a的值，即可得到函数解析式.

（2）利用（1）中的函数解析式，可得到抛物线的对称轴，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，由此可求出点M，N的坐标；利用勾股定理求出BN，MN，BM，CM的长，若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，分情况讨论：当∠CPM=∠MNB=90°，利用CP∥x轴，可得到点P的坐标；当∠PCM=∠MNB时，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，可求出PM的长，即可得到点P的坐标.
（3）利用线段中点的定义可求出OD的长，可得到点D的坐标，利用抛物线的对称轴可得到点I，H的坐标；利用待定系数法求出直线HI的函数解析式，利用此函数解析式可求出点E，F的坐标；然后利用勾股定理求出点G走过的最短路程.
（4）利用二次函数解析式设点Q（a，-a2+2a+8），分情况讨论：当点Q在第二象限时，过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，易证四边形CPLK是矩形，利用矩形的性质可得到CK=OL，再证明∠KCQ=∠LQR，利用AAS证明△KCQ≌△LQR，利用全等三角形的性质可证得QL=CK=OL，由此可建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到点Q的坐标；②当点Q在第一象限时，同理可建立关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到符合题意的点Q的坐标.