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2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）期中数学试卷 （解析版）
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这是一份2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）期中数学试卷 （解析版），共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．1
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．王伟参加本次数学期末考试，成绩是90分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正播放新闻
D．口袋中装有2个白球和1个红球，从中摸出2个球，其中必有白球
3．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．60° B．36° C．76° D．72°
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（ ）
A．54° B．30° C．36° D．60°
5．（3分）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）
A．36π B．60π C．96π D．100π
6．（3分）反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1
7．（3分）某村粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量y（吨），人口数为x（人），则y与x之间的函数图象应为图中的（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A．＝+20 B．＝+20
C．＝+20 D．＝+20
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知函数y＝x与y＝在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，x取什么值时，x＞（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
11．（3分）如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（ ）
A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65°
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是 cm．
14．（3分）已知反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为 ．
15．（3分）一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外其余都相同），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，搅匀之后，摸出一只小球是红球的概率是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ．
三.解答题（共大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）化简并计算：，其中x＝3．
19．（6分）阅读下列材料完成作答：
已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°．
作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CA于点M，交CB于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ACB的内部相交于点D，画射线CD．
（2）同理，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点P，交AB于点Q；分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E：画射线AE．
（3）射线CD、AE交于点O．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）由画图知O是三角形ABC的 心；（填“内”或“外”）
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．求△ABC的内切圆半径．
20．（8分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次共调查了 名员工，条形统计图中m＝ ；
（2）若该公可共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；
（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率．
21．（8分）如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB交AB于点P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝EP；
（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
24．（10分）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”．例如：正比例函数y＝﹣2x，当1≤x≤3时，﹣6≤y≤﹣2，则﹣2﹣（﹣6）＝k（3﹣1），求得：k＝2，所以函数y＝﹣2x为“2属和合函数”．
（1）一次函数y＝ax﹣1（a＜0，1≤x≤3）为“1属和合函数”，求a的值．
（2）反比例函数（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且，请求出a2+b2的值；
（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．
25．（10分）如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的函数关系式；
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．
参考答案
一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．1
解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1，0＞﹣1，﹣＞﹣1，1＞﹣1，
∴四个数中，比﹣1小的数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．王伟参加本次数学期末考试，成绩是90分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正播放新闻
D．口袋中装有2个白球和1个红球，从中摸出2个球，其中必有白球
解：王伟参加本次数学期末考试，成绩不一定是90分，也可能为其它分数，因此选项A不符合题意；
某射击运动员射靶一次，可能正中靶心，也可能不中靶心，是随机事件，因此选项B不符合题意；
打开电视机，CCTV第一套节目可能正播放新闻，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项C不符合题意；
口袋中装有2个白球和1个红球，从中摸出2个球，无论怎样摸，每次摸到的两个球至少有一个白球，因此是必然事件，符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．60° B．36° C．76° D．72°
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故选：D．
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（ ）
A．54° B．30° C．36° D．60°
解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
故选：C．
5．（3分）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）
A．36π B．60π C．96π D．100π
解：底面周长是：2×6π＝12π，
则圆锥的侧面积是：×12π×10＝60π．
故选：B．
6．（3分）反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1
解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；
B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；
D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．
故选：C．
7．（3分）某村粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量y（吨），人口数为x（人），则y与x之间的函数图象应为图中的（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意可得：xy＝a，
∴y＝（x＞0，y＞0）
故选：C．
8．（3分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A．＝+20 B．＝+20
C．＝+20 D．＝+20
解：设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是1.5x个，
根据题意，得＝+20．
故选：C．
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：解不等式3x﹣3＞0得x＞1，
解不等式x﹣1≤5﹣x得x≤3，
则不等式组的解集为1＜x≤3，
故选：D．
10．（3分）已知函数y＝x与y＝在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，x取什么值时，x＞（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
解：根据图象得，y＝x的图象在反比例函数的图象的上边，x比大，
即当﹣1＜x＜0或x＞1时，x＞，
故选：C．
11．（3分）如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（ ）
A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65°
解：∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA＝90°，∠OCA＝90°
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
当点P在优弧BPC上时，∠BPC＝∠BOC＝65°，
当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：连接AC'，
在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∵旋转角为30°，
∴A、B′、C共线．
∴AC＝＝＝2，
∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，
∴S阴＝﹣＝﹣，
故选：B．
二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是 5π cm．
解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，
∴此扇形的弧长是：l＝＝5π，
故答案为：5π．
14．（3分）已知反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为 k＞4 ．
解：∵反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，
∴k﹣4＞0，
解得，k＞4，
故答案为：k＞4．
15．（3分）一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外其余都相同），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，搅匀之后，摸出一只小球是红球的概率是 ．
解：∵不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外其余都相同），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，
∴摸出一只小球是红球的概率是＝；
故答案为：．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ﹣1 ．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝1
∵将△AMN沿MN所在直线折叠，
∴AM＝A'M＝1
∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，
∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，
∵MC＝＝
∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1
故答案为：﹣1
三.解答题（共大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
解：原式＝1+﹣1﹣1+2
＝．
18．（6分）化简并计算：，其中x＝3．
解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当x＝3时，原式＝＝3．
19．（6分）阅读下列材料完成作答：
已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°．
作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CA于点M，交CB于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ACB的内部相交于点D，画射线CD．
（2）同理，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点P，交AB于点Q；分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E：画射线AE．
（3）射线CD、AE交于点O．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）由画图知O是三角形ABC的 内 心；（填“内”或“外”）
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．求△ABC的内切圆半径．
解：（1）由画图知O是三角形ABC的内心；
故答案为：内；
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB＝10，
设△ABC的内切圆半径为r，
由（1）知O是三角形ABC的内心，
根据切线长定理可知：6﹣r+8﹣r＝10，
解得，r＝2．
答：内切圆半径为2．
20．（8分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次共调查了 60 名员工，条形统计图中m＝ 20 ；
（2）若该公可共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；
（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率．
解：（1）本次调查的员工总人数为24÷40%＝60（名），
条形统计图中m＝60﹣（12+24+4）＝20，
故答案为：60，20；
（2）估计不了解防护措施的人数为1000×＝200（名）；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
女
男1
男2
男3
女
女，男
女，男
女，男
男1
男，女
男，男
男，男
男2
男，女
男，男
男，男
男3
男，女
男，男
男，男
由表格可知，从4名学生中，随机抽取2名学生，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有6种，
所以恰好抽中一男一女的概率为．
21．（8分）如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°；
（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴，
∵CD＝3AD，
∴，，
由旋转的性质可知：
AD＝EC＝，
∴．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2，4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y＝﹣②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y＝x+5交x轴于点C，
令y＝0，则x+5＝0，
∴x＝﹣10，
∴C（﹣10，0），
过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AMOC•BN＝．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB交AB于点P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝EP；
（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
又∵∠DEB＝∠EAD，
∴∠DEB+∠OED＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴AE为∠CAB的角平分线，
又∵EP⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝EP；
（3）连接PF，
∵CG＝12，AC＝15，
∴AG＝＝＝9，
∵∠CAE＝∠EAP，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵CE＝EP，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CF＝PF，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF＝EP＝CE＝PF，
∵∠CAE＝∠EAP，∠EPA＝∠ACE＝90°，CE＝EP，
∴△ACE≌△APE（AAS），
∴AP＝AC＝15，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，
∵PF2＝FG2+GP2，
∴CF2＝（12﹣CF）2+36，
∴CF＝，
∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝×6＝45．
24．（10分）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”．例如：正比例函数y＝﹣2x，当1≤x≤3时，﹣6≤y≤﹣2，则﹣2﹣（﹣6）＝k（3﹣1），求得：k＝2，所以函数y＝﹣2x为“2属和合函数”．
（1）一次函数y＝ax﹣1（a＜0，1≤x≤3）为“1属和合函数”，求a的值．
（2）反比例函数（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且，请求出a2+b2的值；
（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．
解：（1）当α＜0时，
∵1≤x≤3，
∴3a﹣1≤y≤a﹣1，
∵函数y＝ax﹣1（1≤x≤3）为“1属和合函数”，
∴（a﹣1）﹣（3a﹣1）＝1×（3﹣1），
∴a＝﹣1，
（2）∵反比例函数y＝，
∵k＞0，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属和合函数”，
∴﹣＝k（b﹣a），
∴ab＝1，
∵a+b＝，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2020﹣2＝2018；
（3）∵二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，
∴当x＝﹣1时，y＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，y＝a2+8a﹣3，
当x＝a时，y＝4a2+2a，
①如图1，当a≤﹣1时，
当x＝﹣1时，有ymax＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3，
∴（a2﹣4a﹣3）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝﹣6a，
∴k≥6；
②如图2，当﹣1＜a≤0时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3，
∴（4a2+2a）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝（a﹣1）2，
∴≤k＜6；
③如图3，当0＜a≤1时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝（a+1）2，
∴＜k≤6；
④如图4，当a＞1时，
当x＝1时，有ymax＝a2+8a﹣3，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3，
∴（a2+8a﹣3）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝6a，
∴k＞6；
综上，k的取值范围为k≥．
25．（10分）如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的函数关系式；
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．
解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴D（1，﹣4a）．
（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°；
由y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：
AC2＝（0﹣3）2+（﹣3a﹣0）2＝9a2+9、CD2＝（0﹣1）2+（﹣3a+4a）2＝a2+1、AD2＝（3﹣1）2+（0+4a）2＝16a2+4
由勾股定理得：AC2+CD2＝AD2，即：9a2+9+a2+1＝16a2+4，
化简，得：a2＝1，由a＜0，得：a＝﹣1
即，抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
②∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，
∴PM∥x轴，且PM＝OB＝1；
设M（x，﹣x2+2x+3），则OF＝x，MF＝﹣x2+2x+3，BF＝OF+OB＝x+1；
∵MF：BF＝1：2，即BF＝2MF，
∴2（﹣x2+2x+3）＝x+1，化简，得：2x2﹣3x﹣5＝0
解得：x1＝﹣1、x2＝
∴M（，）、N（，）．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如右图；
设Q（1，b），则QD＝4﹣b，QB2＝QG2＝（1+1）2+（b﹣0）2＝b2+4；
∵C（0，3）、D（1，4），
∴CH＝DH＝1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2＝2QG2；
代入数据，得：
（4﹣b）2＝2（b2+4），化简，得：b2+8b﹣8＝0，
解得：b＝﹣4±2；
即点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．1
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．王伟参加本次数学期末考试，成绩是90分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正播放新闻
D．口袋中装有2个白球和1个红球，从中摸出2个球，其中必有白球
3．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．60° B．36° C．76° D．72°
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（ ）
A．54° B．30° C．36° D．60°
5．（3分）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）
A．36π B．60π C．96π D．100π
6．（3分）反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1
7．（3分）某村粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量y（吨），人口数为x（人），则y与x之间的函数图象应为图中的（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A．＝+20 B．＝+20
C．＝+20 D．＝+20
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知函数y＝x与y＝在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，x取什么值时，x＞（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
11．（3分）如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（ ）
A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65°
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是 cm．
14．（3分）已知反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为 ．
15．（3分）一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外其余都相同），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，搅匀之后，摸出一只小球是红球的概率是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ．
三.解答题（共大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）化简并计算：，其中x＝3．
19．（6分）阅读下列材料完成作答：
已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°．
作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CA于点M，交CB于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ACB的内部相交于点D，画射线CD．
（2）同理，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点P，交AB于点Q；分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E：画射线AE．
（3）射线CD、AE交于点O．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）由画图知O是三角形ABC的 心；（填“内”或“外”）
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．求△ABC的内切圆半径．
20．（8分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次共调查了 名员工，条形统计图中m＝ ；
（2）若该公可共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；
（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率．
21．（8分）如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB交AB于点P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝EP；
（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
24．（10分）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”．例如：正比例函数y＝﹣2x，当1≤x≤3时，﹣6≤y≤﹣2，则﹣2﹣（﹣6）＝k（3﹣1），求得：k＝2，所以函数y＝﹣2x为“2属和合函数”．
（1）一次函数y＝ax﹣1（a＜0，1≤x≤3）为“1属和合函数”，求a的值．
（2）反比例函数（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且，请求出a2+b2的值；
（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．
25．（10分）如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的函数关系式；
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．
参考答案
一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．1
解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1，0＞﹣1，﹣＞﹣1，1＞﹣1，
∴四个数中，比﹣1小的数是﹣2．
故选：A．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．王伟参加本次数学期末考试，成绩是90分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正播放新闻
D．口袋中装有2个白球和1个红球，从中摸出2个球，其中必有白球
解：王伟参加本次数学期末考试，成绩不一定是90分，也可能为其它分数，因此选项A不符合题意；
某射击运动员射靶一次，可能正中靶心，也可能不中靶心，是随机事件，因此选项B不符合题意；
打开电视机，CCTV第一套节目可能正播放新闻，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项C不符合题意；
口袋中装有2个白球和1个红球，从中摸出2个球，无论怎样摸，每次摸到的两个球至少有一个白球，因此是必然事件，符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
A．60° B．36° C．76° D．72°
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故选：D．
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（ ）
A．54° B．30° C．36° D．60°
解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
故选：C．
5．（3分）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（ ）
A．36π B．60π C．96π D．100π
解：底面周长是：2×6π＝12π，
则圆锥的侧面积是：×12π×10＝60π．
故选：B．
6．（3分）反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2
D．若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是y＜1
解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；
B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；
D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．
故选：C．
7．（3分）某村粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量y（吨），人口数为x（人），则y与x之间的函数图象应为图中的（ ）
A． B．
C． D．
解：根据题意可得：xy＝a，
∴y＝（x＞0，y＞0）
故选：C．
8．（3分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A．＝+20 B．＝+20
C．＝+20 D．＝+20
解：设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是1.5x个，
根据题意，得＝+20．
故选：C．
9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：解不等式3x﹣3＞0得x＞1，
解不等式x﹣1≤5﹣x得x≤3，
则不等式组的解集为1＜x≤3，
故选：D．
10．（3分）已知函数y＝x与y＝在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，x取什么值时，x＞（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
解：根据图象得，y＝x的图象在反比例函数的图象的上边，x比大，
即当﹣1＜x＜0或x＞1时，x＞，
故选：C．
11．（3分）如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（ ）
A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65°
解：∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA＝90°，∠OCA＝90°
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
当点P在优弧BPC上时，∠BPC＝∠BOC＝65°，
当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：连接AC'，
在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∵旋转角为30°，
∴A、B′、C共线．
∴AC＝＝＝2，
∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，
∴S阴＝﹣＝﹣，
故选：B．
二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是 5π cm．
解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，
∴此扇形的弧长是：l＝＝5π，
故答案为：5π．
14．（3分）已知反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为 k＞4 ．
解：∵反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，
∴k﹣4＞0，
解得，k＞4，
故答案为：k＞4．
15．（3分）一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外其余都相同），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，搅匀之后，摸出一只小球是红球的概率是 ．
解：∵不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外其余都相同），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，
∴摸出一只小球是红球的概率是＝；
故答案为：．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ﹣1 ．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝1
∵将△AMN沿MN所在直线折叠，
∴AM＝A'M＝1
∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，
∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，
∵MC＝＝
∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1
故答案为：﹣1
三.解答题（共大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
解：原式＝1+﹣1﹣1+2
＝．
18．（6分）化简并计算：，其中x＝3．
解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当x＝3时，原式＝＝3．
19．（6分）阅读下列材料完成作答：
已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°．
作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CA于点M，交CB于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ACB的内部相交于点D，画射线CD．
（2）同理，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点P，交AB于点Q；分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E：画射线AE．
（3）射线CD、AE交于点O．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）由画图知O是三角形ABC的 内 心；（填“内”或“外”）
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．求△ABC的内切圆半径．
解：（1）由画图知O是三角形ABC的内心；
故答案为：内；
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB＝10，
设△ABC的内切圆半径为r，
由（1）知O是三角形ABC的内心，
根据切线长定理可知：6﹣r+8﹣r＝10，
解得，r＝2．
答：内切圆半径为2．
20．（8分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次共调查了 60 名员工，条形统计图中m＝ 20 ；
（2）若该公可共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；
（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率．
解：（1）本次调查的员工总人数为24÷40%＝60（名），
条形统计图中m＝60﹣（12+24+4）＝20，
故答案为：60，20；
（2）估计不了解防护措施的人数为1000×＝200（名）；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
女
男1
男2
男3
女
女，男
女，男
女，男
男1
男，女
男，男
男，男
男2
男，女
男，男
男，男
男3
男，女
男，男
男，男
由表格可知，从4名学生中，随机抽取2名学生，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有6种，
所以恰好抽中一男一女的概率为．
21．（8分）如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°；
（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴，
∵CD＝3AD，
∴，，
由旋转的性质可知：
AD＝EC＝，
∴．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2，4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y＝﹣②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y＝x+5交x轴于点C，
令y＝0，则x+5＝0，
∴x＝﹣10，
∴C（﹣10，0），
过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AMOC•BN＝．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB交AB于点P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝EP；
（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
又∵∠DEB＝∠EAD，
∴∠DEB+∠OED＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴AE为∠CAB的角平分线，
又∵EP⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝EP；
（3）连接PF，
∵CG＝12，AC＝15，
∴AG＝＝＝9，
∵∠CAE＝∠EAP，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵CE＝EP，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CF＝PF，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF＝EP＝CE＝PF，
∵∠CAE＝∠EAP，∠EPA＝∠ACE＝90°，CE＝EP，
∴△ACE≌△APE（AAS），
∴AP＝AC＝15，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，
∵PF2＝FG2+GP2，
∴CF2＝（12﹣CF）2+36，
∴CF＝，
∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝×6＝45．
24．（10分）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”．例如：正比例函数y＝﹣2x，当1≤x≤3时，﹣6≤y≤﹣2，则﹣2﹣（﹣6）＝k（3﹣1），求得：k＝2，所以函数y＝﹣2x为“2属和合函数”．
（1）一次函数y＝ax﹣1（a＜0，1≤x≤3）为“1属和合函数”，求a的值．
（2）反比例函数（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且，请求出a2+b2的值；
（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．
解：（1）当α＜0时，
∵1≤x≤3，
∴3a﹣1≤y≤a﹣1，
∵函数y＝ax﹣1（1≤x≤3）为“1属和合函数”，
∴（a﹣1）﹣（3a﹣1）＝1×（3﹣1），
∴a＝﹣1，
（2）∵反比例函数y＝，
∵k＞0，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属和合函数”，
∴﹣＝k（b﹣a），
∴ab＝1，
∵a+b＝，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2020﹣2＝2018；
（3）∵二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，
∴当x＝﹣1时，y＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，y＝a2+8a﹣3，
当x＝a时，y＝4a2+2a，
①如图1，当a≤﹣1时，
当x＝﹣1时，有ymax＝a2﹣4a﹣3，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3，
∴（a2﹣4a﹣3）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝﹣6a，
∴k≥6；
②如图2，当﹣1＜a≤0时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝1时，有ymin＝a2+8a﹣3，
∴（4a2+2a）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，
∴k＝（a﹣1）2，
∴≤k＜6；
③如图3，当0＜a≤1时，
当x＝a时，有ymax＝4a2+2a，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3
∴（4a2+2a）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝（a+1）2，
∴＜k≤6；
④如图4，当a＞1时，
当x＝1时，有ymax＝a2+8a﹣3，
当x＝﹣1时，有ymin＝a2﹣4a﹣3，
∴（a2+8a﹣3）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，
∴k＝6a，
∴k＞6；
综上，k的取值范围为k≥．
25．（10分）如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的函数关系式；
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．
解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴D（1，﹣4a）．
（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°；
由y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：
AC2＝（0﹣3）2+（﹣3a﹣0）2＝9a2+9、CD2＝（0﹣1）2+（﹣3a+4a）2＝a2+1、AD2＝（3﹣1）2+（0+4a）2＝16a2+4
由勾股定理得：AC2+CD2＝AD2，即：9a2+9+a2+1＝16a2+4，
化简，得：a2＝1，由a＜0，得：a＝﹣1
即，抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
②∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，
∴PM∥x轴，且PM＝OB＝1；
设M（x，﹣x2+2x+3），则OF＝x，MF＝﹣x2+2x+3，BF＝OF+OB＝x+1；
∵MF：BF＝1：2，即BF＝2MF，
∴2（﹣x2+2x+3）＝x+1，化简，得：2x2﹣3x﹣5＝0
解得：x1＝﹣1、x2＝
∴M（，）、N（，）．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如右图；
设Q（1，b），则QD＝4﹣b，QB2＝QG2＝（1+1）2+（b﹣0）2＝b2+4；
∵C（0，3）、D（1，4），
∴CH＝DH＝1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2＝2QG2；
代入数据，得：
（4﹣b）2＝2（b2+4），化简，得：b2+8b﹣8＝0，
解得：b＝﹣4±2；
即点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
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