2022版新高考数学人教版一轮练习：（29） 平面向量的综合应用

 [练案29]

第四讲　平面向量的综合应用

A组基础巩固

一、单选题

1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的(　B　)

A．内心　　 B．外心　　

C．垂心　　 D．重心

[解析]　由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.

2．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是(　D　)

A．圆　　 B．椭圆

C．双曲线　　 D．抛物线

[解析]　因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.

3．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且||＝，则·等于(　A　)

A．－　　 B．　　

C．0　　 D．

[解析]　由于弦长|AB|＝与半径相等，则∠ACB＝60°⇒·＝－·＝－||·||·cos ∠ACB＝－×·cos 60°＝－.

4．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则|a－b|的最大值为(　B　)

A．1　　 B．　　

C．　　 D．2

[解析]　∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，

∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)．

∴|a－b|＝＝.

∴|a－b|最大值为.故选B.

5．(2021·银川调研)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　C　)

A．直角梯形　　 B．矩形

C．菱形　　 D．正方形

[解析]　由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0得·＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.

6．(2021·安徽省黄山市高三第一次质量检测)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　B　)

A．　　 B．　　

C．3　　 D．

[解析]　＝m＋＝m＋，由于P、C、D共线，所以m＝，设AC＝b，AB＝c，S△ABC＝bcsin A＝bc＝2，∴bc＝8，||2＝2＝＝＝(b2＋4c2＋2bc)≥×6bc＝3，∴||≥，故选B.

二、多选题

7．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(　AD　)

A．a⊥b　　 B．a∥b

C．|a|＝|b|　　 D．|a＋b|＝|a－b|

[解析]　f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.

依题意知f(x)的图象是一条直线，

所以a·b＝0，即a⊥b.故选A、D.

8．(2020·山东高考预测卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则(　AC　)

A．|b|＝

B．(2a＋b)∥(a＋2b)

C．向量2a－b与a－2b的夹角为

D．向量a在b方向上的投影为

[解析]　将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝＝，故A正确；因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝＝，所以θ＝，故C正确；向量a在b方向上的投影为＝＝，故D错误．

三、填空题

9．在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于  2  ．

[解析]　由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，所以||＝2.

10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是    ．

[解析]　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.

11．已知向量m＝，n＝.若m·n＝1，则cos＝  －  ．

[解析]　m·n＝sin cos ＋cos2

＝sin ＋＝sin＋，

因为m·n＝1，所以sin＝.

因为cos＝1－2sin2＝，

所以cos＝－cos＝－.故填－.

12．(2021·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.·的最大值为  1  ．

[解析]　(1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t，0)，0≤t≤1，则D(0，1)，C(1，1)，＝(t，－1)，＝(1，0)，∴·＝t≤1.

解法二：选取{，}作为基底，设＝t，0≤t≤1，则·＝(t－)·＝t≤1.

解法三：设＝t，

则·＝·＝||·1·cos ∠AED＝||＝|t|||＝|t|≤1.

四、解答题

13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.

(1)若m⊥n，求tan x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

[解析]　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.

(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cos ＝，即sin x－cos x＝，所以sin＝.因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.

14．(2020·甘肃会宁一中高三上第二次月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝，且m∥n.

(1)求锐角B的大小；

(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

[解析]　(1)∵m∥n，

∴2sin B＝－cos 2B，

∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.

又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，

∴2B＝，∴B＝.

(2)∵B＝，b＝2，

∴由余弦定理cos B＝，得a2＋c2－ac－4＝0.

又∵a2＋c2≥2ac，

∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，

∴S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．

∴△ABC的面积的最大值为.

B组能力提升

1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行，则A＝(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0<A<π，所以A＝.

2．(2021·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为(　A　)

A．等边三角形　　 B．等腰三角形

C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形

[解析]　由题意得acos ＝bcos ，acos ＝ccos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ⇒sin ＝sin ⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.

3．已知点M(－3，0)，N(3，0)．动点P(x，y)满足||·||＋·＝0，则点P的轨迹的曲线类型为(　B　)

A．双曲线　　 B．抛物线

C．圆　　 D．椭圆

[解析]　＝(3，0)－(－3，0)＝(6，0)，||＝6，＝(x，y)－(－3，0)＝(x＋3，y)，＝(x，y)－(3，0)＝(x－3，y)，所以||·||＋·＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.

4．(多选题)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数f(x＋1)是(　AD　)

A．周期为4的函数　　 B．周期为2π的函数

C．奇函数　　 D．偶函数

[解析]　由题图可得A，B，

由·＝0得－3＝0，又ω>0，

所以ω＝，所以f(x)＝sin x，

所以f(x＋1)＝sin ＝cos x，它是周期4的偶函数．故选A、D.

5．(2021·湖南五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋.

(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；

(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值．

[解析]　(1)由题意知f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋＝sin＋1，令2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，

∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.　

(2)∵f(A)＝sin(2A＋)＋1＝2，

∴sin(2A＋)＝1.

∵0<A<π，∴<2A＋<，

∴2A＋＝，即A＝.

由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2.

又b＋c＝2，

∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，

解得a＝－1.