高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件课时训练，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．“a<1”是“eq \f(1,a)>1”的( )条件．( A )
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充分必要 D．既不充分也不必要
[解析] 记A＝{a|a<1}，B＝{a|eq \f(1,a)>1}＝{a|eq \f(1－a,a)>0}＝{a|01”的必要不充分条件，选A．
2．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( C )
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．
3．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 当x＝2，y＝－1时，有2－1－1＝0成立，此时P(2，－1)在直线上，而点P(x，y)在直线l上，并不确定有“x＝2且y＝－1”．
4．“B＝60°”是“△ABC三个内角A，B，C成等差数列”的( B )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 在△ABC中，A＋B＋C＝180°，若B＝60°，则A＋C＝180°－60°＝120°，∴A＋C＝2B，∴△ABC三个内角A，B，C成等差数列．若△ABC三个内角A，B，C成等差数列，则A＋C＝2B，∴A＋B＋C＝3B＝180°，∴B＝60°．故选B．
二、填空题
5．下列命题中是假命题的是__(1)(3)__．(填序号)
(1)x>2且y>3是x＋y>5的充要条件
(2)“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
(3)b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的充要条件
(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
[解析] x＋y>5 eq \(⇒,/) x>2且y>3，当x＝7，y＝－1时，7＋(－1)＝6>5，但y＝－1<3，故(1)为假命题．当b2－4ac<0，a>0时，ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为∅，故(3)为假命题．
6．设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的__必要不充分条件__．
三、解答题
7．求证：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0．
[解析] 必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0．
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．
充分性：
∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
因此，方程有一个根为x＝1．
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0．
B级 素养提升
一、选择题
1．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] “若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”的逆否命题是“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”是假命题，故“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”为假命题；“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”的逆否命题是“若a＝1且b＝2，则a＋b＝3”是真命题，故“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”是真命题，故选B．
2．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a＝0，则f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增，若“a<0”，则f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f(x)＝|(ax－1)x|
在(0，＋∞)内递增，从图中可知a≤0，故选C．
3．“m≤－eq \f(1,2)”是“∀x>0，eq \f(x,2)＋eq \f(1,2x)－eq \f(3,2)>m是真命题”的( A )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
[解析] 由“∀x>0，使得eq \f(x, 2)＋eq \f(1,2x)－eq \f(3,2)>m是真命题”，又eq \f(x,2)＋eq \f(1,2x)－eq \f(3,2)＝eq \f(1,2)(x＋eq \f(1,x)－3)≥－eq \f(1,2)，则m<－eq \f(1,2)，所以“m≤－eq \f(1,2)”是“∀x>0，使得eq \f(x,2)＋eq \f(1,2x)－eq \f(3,2)>m是真命题”的必要不充分条件，故选A．
4．设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥x－1，,y≥1－x，,y≤1，))则p是q的( A )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，选A．
二、填空题
5．“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y＋1＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的__充分不必要__条件．
[解析] 由两直线垂直得，3m＋m(2m－1)＝0，∴m＝0或m＝－1，故“m＝－1”是两直线垂直的充分不必要条件．
6．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝__－1__．
[解析] l1∥l2，∴3－a(a－2)＝0，
∴a＝－1或a＝3．
当a＝－1时，l1∥l2；当a＝3时，l1与l2重合．
故l1∥l2的充要条件是a＝－1．
三、解答题
7．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
[解析] ①a＝0时适合．
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a<0；若方程有两个负的实根，
则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)>0,－\f(2,a)<0,Δ＝4－4a≥0))，解得0综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1．
8．已知p：eq \f(x＋2,10－x)≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m<0)，且p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
[解析] p：由eq \f(x＋2,10－x)≥0，解得－2≤x<10，令A＝{x|－2≤x<10}．q：由x2－2x＋1－m2≤0可得[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0，而m<0，∴1＋m≤x≤1－m，令B＝{x|1＋m≤x≤1－m}．∵p是q的必要条件，∴q⇒p成立，即B⊆A．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m≥－2,1－m<10,m<0))，解得－3≤m<0．
所以实数m的取值范围[－3，0)．
C级 能力拔高
已知a≥eq \f(1,2)，设二次函数f(x)＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意x∈[0,1]，均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤eq \f(3,4)．
[解析] 本题涉及二次函数给定区间的最值问题，要注意函数图象的对称轴与给定区间的关系．证明时要从“充分性”和“必要性”两方面着手，缺一不可．
[证明] 因为a≥eq \f(1,2)，所以函数f(x)＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝eq \f(a,2a2)＝eq \f(1,2a)，且0所以f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)))＝eq \f(1,4)＋c．
先证充分性：
因为c≤eq \f(3,4)，且f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)))＝eq \f(1,4)＋c≤eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，
所以f(x)≤1．
再证必要性：
因为f(x)≤1，所以只需feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)))≤1即可．
即eq \f(1,4)＋c≤1，
从而c≤eq \f(3,4)．