新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：专题突破一 .3 利用导数研究函数的零点

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题型一　判断、证明或讨论函数的零点个数 [例1]　[2021·山东青岛质检]已知函数f(x)＝ln x－x＋2sin x，f′(x)为f(x)的导函数．(1)求证：f′(x)在(0，π)上存在唯一零点；(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点．
类题通法利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
解析：(1)因为f(x)＝ex－ax－1，所以f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，令f′(x)<0，得x0，得x>ln a.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．
题型二　根据零点个数确定参数[例2]　[2020·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，则f′(x)＝ex－1.当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
类题通法已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
巩固训练2：已知曲线f(x)＝ex(ax＋1)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b.(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．
类题通法一般先通过等价转换，将已知转化为函数零点问题，再构造函数，然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，并结合分类讨论，通过确定函数的零点达到解决问题的目的．