高中数学第十章 概率本章综合与测试同步练习题

这是一份高中数学第十章 概率本章综合与测试同步练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，随机事件的个数是( )
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 ①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选B.
2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案 A
解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．
3．如果从一个不透明的口袋中摸出白球的概率为eq \f(5,6)，已知袋中有红球和白球，红球有3个，那么袋中球的总个数为( )
A．16 B．18
C．20 D．24
答案 B
解析 设袋中有x个球，因为摸出白球的概率为eq \f(5,6)，故摸到红球的概率为eq \f(1,6)，且袋中红球有3个，所以eq \f(3,x)＝eq \f(1,6).所以x＝18.
4．将数字1,2,3填入标号为1,2,3的三个方格里，每格填上一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 将数字1,2,3填入标号为1,2,3的三个方格里有6种不同的填法，这6种情况发生的可能性是相等的．而每个方格的标号与所填的数字均不相同只有两种不同的填法．故所求概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
5．对于同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是 ( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
答案 C
解析 ∵事件A，B不可能同时发生，但必有一个发生，∴事件A，B的关系是互斥且对立．
6．若“A＋B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))同时发生的概率为( )
A．0.6 B．0.36
C．0.24 D．0.4
答案 D
解析 “A＋B”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))同时发生．故选D.
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得次品的概率为 ( )
A．0.01 B．0.02
C．0.03 D．0.04
答案 D
解析 设“抽得次品”为事件A，“抽得乙级品”为事件B，“抽得丙级品”为事件C，由题意，知事件B与事件C是互斥事件，且A＝B∪C，所以P(A)＝P(B∪C)＝[P(B)＋P(C)]＝0.03＋0.01＝0.04.
8．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
答案 D
解析 设2名男同学为A1，A2,3名女同学为B1，B2，B3，从以上5名同学中任选2人总共有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种等可能的情况，选中的2人都是女同学的情况共有B1B2，B1B3，B2B3 3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P＝eq \f(3,10)＝0.3.故选D.
9．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(3,10) C.eq \f(2,5) D.eq \f(3,4)
答案 C
解析 列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(5,2,2)，共有10种等可能的情况．而丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2,4,3)，(2,5,2)，(3,3,3)，(3,4,2)，共4种，故所求概率为eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，故选C.
10．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,8)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 每一个图形有2种涂法，总的涂色种数为23＝8，三个图形颜色完全相同的有2种(全是红或全是蓝)，则三个图形颜色不全相同的涂法种数为8－2＝6.所以三个图形颜色不全相同的概率为eq \f(6,8)＝eq \f(3,4).故选A.
11．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为eq \f(8,9)的是( )
A．颜色相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．无红球
答案 B
解析 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为eq \f(3,27)＝eq \f(1,9)；颜色不全相同的结果有24种，其概率为eq \f(24,27)＝eq \f(8,9)；颜色全不相同的结果有6种，其概率为eq \f(6,27)＝eq \f(2,9)；无红球的结果有8种，其概率为eq \f(8,27).故选B.
12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位：个)，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2名进行培训，则这2名工人不在同一组的概率是( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(7,15) C.eq \f(8,15) D.eq \f(13,15)
答案 C
解析 根据频率分布直方图可知，生产产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2，5×0.04×20＝4.设生产产品的数量在[10,15)内的2人分别是A，B，[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机选取2名工人的样本点有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的.2名工人不在同一组的样本点有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8个，则选取的2名工人不在同一组的概率为eq \f(8,15).
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为________．
答案 eq \f(2,5)
解析 画树状图如下：
，共20种等可能的结果，其中摸出的两个球的编号之和大于6的结果有8种，故所求概率为eq \f(8,20)＝eq \f(2,5).
14．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录落在桌面的数字，得到如下频数表：
则落在桌面的数字不小于4的频率为________．
答案 0.35
解析 落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以所求频率＝eq \f(35,100)＝0.35.
15．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
答案 0.03
解析 设“一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎”为事件A，由频率的稳定性，知事件A发生的频率为eq \f(600,20000)＝eq \f(3,100)＝0.03，即是概率的近似值．
16．A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为________．
答案 eq \f(5,6)
解析 A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，样本点总数为24，如下图所示．
这24个样本点发生的可能性是相等的．其中A，B都不在边上共4个样本点，所以A或B在边上的概率为P＝1－eq \f(4,24)＝eq \f(5,6).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq \f(200,1000)＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq \f(100＋200,1000)＝0.3.
(3)与(1)同理，可得
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq \f(200,1000)＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq \f(100＋200＋300,1000)＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq \f(100,1000)＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
18．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人)：
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解 (1)设“该同学至少参加上述一个社团”为事件A，
则P(A)＝eq \f(8＋2＋5,45)＝eq \f(1,3).
所以该同学至少参加上述一个社团的概率为eq \f(1,3).
(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的．其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P＝eq \f(2,15).
19．(本小题满分12分)某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])：
(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；
(2)求这次考试平均分的估计值；
(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．
解 (1)第四小组的频率＝1－(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋0.005)×10＝0.25.
(2)依题意可得，
平均分eq \(x,\s\up6(－))＝(45×0.005＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.025＋85×0.030＋95×0.005)×10＝72.5.
故这次考试平均分的估计值为72.5.
(3)[40,50)与[90,100]的人数分别是3和3，所以从成绩在[40,50)与[90,100]内的学生中选两人，将[40,50)分数段的3人编号为A1，A2，A3，将[90,100]分数段的3人编号为B1，B2，B3从中任取两人，则样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．其中，在同一分数段内的事件所含样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共6个，故所求概率P＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
20．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字不同外其他完全相同．现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解 (1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种，且这27种结果发生的可能性是相等的．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9).因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq \f(1,9).
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件eq \(B,\s\up6(－))包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(3,27)＝eq \f(8,9).因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq \f(8,9).
21．(本小题满分12分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，且三人是否通过测试互不影响．求：
(1)3人都通过体能测试的概率；
(2)只有2人通过体能测试的概率；
(3)只有1人通过体能测试的概率．
解 设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”，
则P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
(1)设M1表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1＝ABC，则由A，B，C相互独立，可得P(M1)＝P(A)·P(B)P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10).
(2)设M2表示“只有2人通过体能测试”，则M2＝ABeq \(C,\s\up6(－))＋Aeq \(B,\s\up6(－))C＋eq \(A,\s\up6(－))BC，由于事件A与B，A与C，B与C均相互独立，且事件ABeq \(C,\s\up6(－))，Aeq \(B,\s\up6(－))C，eq \(A,\s\up6(－))BC两两互斥，则
P(M2)＝P(ABeq \(C,\s\up6(－))∪Aeq \(B,\s\up6(－))C∪eq \(A,\s\up6(－))BC)＝P(ABeq \(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,30)＋eq \f(3,20)＝eq \f(23,60).
(3)设M3表示事件“只有1人通过体能测试”．
则M3＝Aeq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))Beq \(C,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))C，由于事件A、eq \(B,\s\up6(－))、eq \(C,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))、B、eq \(C,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))、eq \(B,\s\up6(－))、C均相互独立，并且事件Aeq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))Beq \(C,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))C两两互斥，所以所求的概率为
P(M3)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)
＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＝eq \f(5,12).
22．(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况)．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}．
因为Ω中元素的个数是4×4＝16.
所以样本点总数n＝16.
记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16).
(2)记“xy≥8”为事件B，“3