2020-2021学年第一章 空间向量与立体几何本章综合与测试复习课件ppt

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一、空间向量的概念及运算
1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.2.向量的运算过程较为繁杂， 要注意培养学生的数学运算能力.
(2)(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是
又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，
因此D正确，其余两个都不正确.
解析　设P(0,0，z)，则有
(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
二、利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例2　在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点.(1)求证：BM∥平面PAD；
证明　以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，
又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD.
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由.
假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
从而MN⊥BD，MN⊥PB，
利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).
跟踪训练2　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求证：AC⊥BC1；
证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).
(2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1.
解　假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，
所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点.
三、利用空间向量计算距离
1.空间距离的计算思路
2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例3　在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离.
解　如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可.
解析　以点A为原点，分别以直线AB，AD，AA1 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，易知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，
则点P到直线AB的距离为
1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cs θ＝|cs〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cs〈m，n〉|.(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足cs θ＝|cs〈m，n〉|.2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
四、利用空间向量求空间角
例4　如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝ ，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF和BE所成的角；
∴直线AF和BE所成的角为90°.
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
解　设平面BEC的法向量为n＝(x，y，z)，
(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.(2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利用平面的法向量.
(1)求平面BDP与平面PAD的夹角的大小；
解　取AD的中点O，设AC∩BD＝E，连接OP，OE.因为PA＝PD，所以OP⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，
平面PAD的法向量为p＝(0,1,0)，
(2)若M是PB的中点，求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
设直线MC与平面BDP所成的角为α，
1.(2019·全国Ⅱ改编)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E是棱AA1的中点，BE⊥EC1，求平面BEC和平面ECC1夹角的余弦值.
建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC＝a，BB1＝b，
设m＝(x1，y1，z1) 是平面BEC的法向量，
⇒m＝(0,1，－1) ，设n＝(x2，y2，z2) 是平面ECC1的法向量，
2.(2019·天津改编)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC ，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2).设CF＝h(h>0)，则F(1,2，h).
又因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE .