小升初择校专题讲义7：工程问题（教师版）（全国版，通用）教案

这是一份小升初择校专题讲义7：工程问题（教师版）（全国版，通用）教案，共29页。教案主要包含了基本概念，基本关系，工程问题的类型和常用方法等内容，欢迎下载使用。
小升初（择校）7：工程问题、周期问题工程问题是小升初数学应用题中的重点，是分数应用题的引申与补充。工程问题可分为两大类：一类是已知具体工作量，另一类是未给出具体工作量；本讲重点研究没有具体给出工作量的工程问题。 一、基本概念：定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题1.工作总量:完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示. 2.工作时间：完成工作总量所需的时间。 3.工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。二、基本关系：1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间    工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率    甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：（1）一般给出工作时间，工作效率＝。（2）一般给出工作效率，就可以知道工作时间为a。三、工程问题的类型和常用方法：类型：双人工程问题  多人工程问题  周期工程问题  水管问题  计算工程费用问题方法：基本关系法，整体转化法、对比分析法、方程法、比例法考点一：双人工程问题【例1】（2019秋•武川县期末）工程队修一条路，甲队单独修12天能修完，乙队单独修8天能修完，如果两队合作一起修，修了全长的，已经修了多少天？【规范解答】解：（天答：已经修了3天．1．（2019秋•铜官区期末）加工一批零件，师傅单独做要6天完成，徒弟单独做要8天完成．现在由师徒两人同时开始合作完成，需要多少天？【规范解答】解：（小时）答：现在由师徒两人同时开始合作完成，需要天．2．（2019•长沙）加工一批零件，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，两人合作几小时完成任务的一半？【规范解答】解：（小时）答：两人合作小时完成任务的一半．3．（2019秋•红安县期末）一项工程每队单独做，甲要15天完成，乙3天完成这项工程的．现在甲队先做3天，剩下的由甲乙合作完成，还需多少天？【规范解答】解：（天答：还需要天完成．4．（2019秋•荆门期末）一项工程，甲队独做需要8天，乙队独做需要12天，先让甲做了若干天后，乙再接着做完，共用了9天，甲、乙各做了多少天？【规范解答】解：设甲做了天，乙做了天，                                 （天答：甲做了6天，乙做了3天．【例2】（2019•廉江市模拟）打一份稿件，甲单独打6小时可以完成，乙单独打5小时可以完成．现由甲、乙两人合打，在合作的过程中，甲因事离开了一段时间，这样4小时玩成了打字任务，问甲因事离开了多长时间？【规范解答】解：（小时）答：甲因事离开了小时．1．（2019•萧山区模拟）某批零件，甲车间单独加工需要20天完成，乙车间单独加工需要30天完成．现在甲车间先单独加工5天后，甲、乙两车间一起加工，还需要几天能够加工完成这批零件？【规范解答】解：（天答：还需要9天能够加工完成这批零件．2．一项工程，甲队单独做20天能完成，乙队单独做30天能完成，现由甲、乙两队合作16天才完成，这段时间里，甲队休息了3天，那么乙队休息了多少天？【规范解答】解：（天答；乙队休息了5.5天．3．（2019•南昌）加工一批零件，甲乙合作24天可以完成，现在由甲先做16天，然后由乙方再做12天，还剩下这批零件的没有完成．已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件的个数．【规范解答】解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几：；甲1天能完成全工程的几分之几：，，；乙1天可完成全工程的几分之几： ；这批零件共多少个：，，（个；答：这批零件共360个．[来源:学_科_网]4．（2019•杭州）甲、乙两个队合修一条公路，共同工作3天后完成全部任务的，已知甲、乙两队的工作效率之比是，余下的任务由甲队单独去做，还要几天完成？【规范解答】解：，，，（天；答：余下的任务由甲队单独去做，还要天完成．考点二：多人工程问题【例3】（2019•竞秀区模拟）一项工程单独完成甲队需要10天，乙队需要15天，丙队需要20天．三队一起干，甲队中途撤走，结果一共用了6天，甲队实际干了几天？【规范解答】解：（天答：甲队实际干了3天．1．（2019•郴州模拟）如图表示甲、乙、丙三个工人单独完成某项工作所需的时间，三人合作完成全项工作的要多少天？【规范解答】解：（天答：三人合作完成全项工作的要天．2．（2019•民乐县校级模拟）一项工程，甲乙全做12天完成，甲丙合作20天完成，乙丙合作24天完成，如果甲乙丙合作完成需几天？【规范解答】解：，，，，（天；答：甲乙丙合作完成需天．3．（2019秋•南部县期末）一项工程，甲队独做15天完成，乙队独做20天完成，丙队独做30天完成．现在先由甲队独做5天，剩下的工程由乙、丙两队合做．乙、丙两队合做几天后完成全工程？【规范解答】解：（天答：乙、丙两队合做8天后完成全工程．4．（2019•南京）师徒三人合作加工一批零件5天可以完成，其中徒弟甲完成的工作是徒弟乙的，徒弟乙完成的工作是师傅的，如果徒弟甲一人做2天后，徒弟乙和师傅合作余下的工作，还要几天完成？【规范解答】解：徒弟甲完成的工作是徒弟乙的，徒弟乙完成的工作是师傅的，徒弟甲的效率：徒弟乙的效率：师傅的效率为．总份数：徒弟甲的工作效率：；徒弟乙和师傅合作的工作效率：；（天答：还要5.5天完成．5．（2019•凉山州模拟）一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成．如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的．如果由甲、丙合做，需几小时完成？【规范解答】解：甲的工作效率为：，，．丙的工作效率为：，，．所以甲丙合作需要：[来源:学|科|网]，（小时）．答：甲丙合作需要小时完成．考点三：周期工程问题【例4】（2019•长沙）一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？【规范解答】解：依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的2倍（天答：这项工程由甲单独做需要10天可以完成．1．（2019春•茂名期中）一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成．如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多天才能完成．如果让甲、乙两人同时合作，只需天就可以完成．现在，由乙独做需要多少天才能完成？【规范解答】解：甲乙每天的工作效率和是：；乙的工作效率是：；乙单独做需要的时间：（天；答：由乙单独做需要7天才能完成．2．（2019•江油市模拟）打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时如此交替下去，打印这部稿件共要　　小时．【规范解答】解：，（小时），答：打印这部稿件共要小时，故答案为：．3．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要几分钟？【规范解答】解：（分钟）（分钟），小李的工作效率高，（个（分钟）因为，所以小张200分钟做了：（个剩下的（个剩下的2个零件正好每人做2分钟，（分钟）答：需要202分钟．考点四：水管问题【例5】（2019秋•南阳期中）一个蓄水池有两根水管，单开进水管，8分钟可以注满全池；单开出水管12分钟可以将全池水放完；两管同时打开，向空池内注水，几分钟还空出全池的？【规范解答】解：（分，答：两管同时打开，向空池内注水，18分钟还空出全池的．1．（2019•石阡县）一个游泳池装有甲、乙两个进水管．单开甲水管2小时可将池注满，单开乙水管3小时可将池注满．如果两管齐开，几小时可注满？【规范解答】解：，，（小时）；答：小时可以注满．2．（2019•椒江区校级自主招生）一个水池，单独开甲进水管需10小时将它注满，单独开乙进水管需12小时将它注满，单独开丙放水管需30小时放完一池水，问同时开放三管，多少小时将空池注满？【规范解答】解：（小时）答：同时开放三管，小时将空池注满．3．（2019•石家庄）一个水池，底部按有一个常开的排水管，上面装有若干个一样的排水管，当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水，当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，现在需要3小时内将水池注满水，只要要开几个进水管？【规范解答】解：据题意可知，一个注水管的注水效率为：；同样出水效率也为；要想3小时内将水池注满应多开的进水管数为：（个答：至少要打开6个进水管．故答案为：6．4．（2019•温州）一个水池可容水84吨，有两个注水管注水，单开甲管8小时可将水池注满，单开乙管6小时可注满．现在同时打开两个水管，注满水池时，乙管注入水池多少吨水？【规范解答】解：因为甲、乙两管注满水池用的时间的比是：，所以甲、乙两管的工作效率之比是，所以注满水池时，甲、乙两管注水量的比是，（吨答：注满水池时，乙管注入水池48吨水．5．（2019秋•慈溪市期末）一个水池装甲，乙两个进水管和丙，丁两个排水管，已知单独开一个水管装满或排尽一池水分别用3、5、4、6小时，现在池中有六分之一的水，按甲、丙、乙、丁的顺序各开1小时，经过多少时间水溢出水池？【规范解答】解：循环1次可以灌：，循环开各自水管几次后，再开甲管1小时可以灌，需循环：（次．循环5次可以灌：，这时池内有水：，还需灌：，单开甲管还需要：小时分钟，20小时分钟小时45分钟；答：20小时45分钟后水开始溢出水池．6．（2019•江西）甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要　35　小时．【规范解答】解：，，，，，（小时）；答：水池注满还要35小时．故答案为：35．考点五：计算工程费用问题【例6】（2019•广州）某市有一项工程公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标．三家公司的竞标条件如下：若该市想选择两家公司合作完成，当想尽快完工时，选择哪两家合作？若想降低成本，则如何选择？请具体说明原因．【规范解答】解：（1）（天答：如果想尽快完工，应该选择甲、乙两家公司合作，需要6天完成． （2）甲公司：（万元）乙公司：（万元）丙公司：（万元）（万元）答：如果想尽量降低工资成本，应该选择甲、丙两家公司合作，完工时要付工资54.75万元． 1．一项工程，甲工程队做需30天完成，每天工程费用万元；乙工程队做需40天完成，每天工程费用万元．为了在20天内完成，安排甲、乙两队共同参与这项工程，如果两队工作的天数可以不一样，那么，两队共同完成这项工程的总费用至少需要　15　万元．【规范解答】解：（万元）（万元）10万元万元则要尽量安排乙多做，即乙工作20天，其余的工作量由甲来完成．甲工作天数，甲需要，乙需要，共需要：（万元）．答：两队共同完成这项工程的总费用至少需要15万元．2．（2019秋•灌南县期末）老师为12名学生准备好了10天夏令营生活的费用，结果又增加了3名学生参加夏令营．如果每人每天的费用不变，老师准备的这些费用可维持几天？【规范解答】解：，，（天；答：老师准备的这些费用可维持8天．3．甲乙两队合作24天完成、费用120万元、甲单独做20天，剩下的乙做还要40天，费用110万元．（1）问甲乙两队单独完成各多少天（2）甲乙两队单独完成各多少万元？【规范解答】解：设乙需要天完成．，          ，              ，         ，                  ，                    ；甲需要的天数：，，，（天；答：甲乙两队单独完成各用30天，120天．设甲每天需要的费用是万元，乙需要万元．    ，，            ； 根据甲单独做20天，剩下的乙做还要40天，费用110万元．列方程得：        ，，        因为，  所以，    ，            ，        ，              ；把代入，得，，，        ；（万元）；（万元）；答：甲乙各需要135万元，60万元．4．（2019•长沙）市政府要求地铁集团过江隧道工程12个月完工．现由甲、乙两工程队参与施工，已知甲队单独完成需要16个月，每月需费用600万元；乙队单独完成需要24个月，每月需费用400万元．由于前期工程路面较宽，可由甲、乙两队共同施工．随着工程的进行，路面变窄，两队再同时施工，对交通影响较大，为了减小对中山大道的交通秩序的影响，后期只能由一个工程队施工．工程总指挥部结合实际情况现拟定两套工程方案：①先由甲、乙两个工程队合做个月后，再由甲队单独施工，保证恰好按时完成．②先由甲、乙两个工程队合做个月后，再由乙队单独施工，也保证恰好按时完成．（1）求两套方案中和的值；（2）通过计算，并结合施工费用及施工对交通的影响，你认为该工程总指挥部应该选择哪种方案？【规范解答】解：（1）                                                                                     ．答：方案①中两队合作6天，方案②中两队合作8天． （2）方案①需要资金万元，方案②需要资金万元，即两种方案所需资金相同．[来源:学科网]由于方案①合作时间较短，对交通影响较小，所以应选择方案①．5．（2019•丹阳市校级模拟）各工程队完成某项工程天数和日工资如下表：工程队独做天数日工资（元甲2018乙3011丙408（1）请你选两个队合作完成这项工程，如工期很紧，想尽快完工，应选哪两个队，需几天？（2）如果工期不很紧，而且想节省费用，应该选哪两个队，需几天完工？【规范解答】解：甲的工作效率：，乙的工作效率：，丙的工作效率：．（1）选择甲乙合做，（天；答：选择甲乙二队合做，需要12天．（2）单独完成三队的所需的工资分别是：甲队：（元乙队：（元丙队：（元，所以要选乙丙合做．（天；答：应选乙丙二队，它们的工作时间是天．小升初专项培优测评卷（十一）工程问题1．（2019•成都）一项工程，由甲队承租，需工期80天，工程费用100万元，由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元．为了节省工期和工程费用，实际施工时，甲乙两队合做若干天后撤出一个队，由另一个队继续做到工程完成．结算时，共支出工程费用86.5万元，那么甲乙两队合做了多少天？【规范解答】解：设甲队工作天，则甲队完成的工作量是，乙队完成的工作量是．，             ，                  ，                  ，                    ，                    ；答：甲乙共合作了26天．2．（2019•郑州）有一个水箱上装有两个进水管，单开1号水管15分钟可以把空水箱注满水，单开2号水管10分钟可以把空水箱注满水．如果要求不超过8分钟把空水箱注满水，那么两个水管至少应同时打开多长时间？【规范解答】解：（分钟）答：两个水管至少应同时打开3分钟．3．（2019•中山市）某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，天可以完成，需支付1600元．在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？【规范解答】解：由题意得：甲乙合作一天完成，支付元，乙丙合作一天完成，支付元，甲丙合作一天完成，支付元，三人合作一天完成，三人合作一天支付元，甲单独做每天完成，支付元，乙单独做每天完成，支付元，丙单独做每天完成，支付元，所以通过比较，丙队单独承包费用最少，但是要用10天，不符合题意舍掉．所以选择乙来做，在天完工，且只用元费用最少．答：在保证一星期内完成的前提下，选择乙队单独承包费用最少．【名师点评】本题是一个难度较高的工程问题应用题，解题关键是通过计算甲乙丙合干的速度及费用，来分别求出他们各自单干时的用时和费用．4．（2019•长沙）一个水池有甲进水管和乙出水管，单独开甲管10分钟可以注满水池，单独开乙管15分钟可以把满池水放尽．一次，由于工作人员的疏忽，在打开甲管后若干分钟才匆忙关闭乙管，又过了相同的时间才注满全池，造成了浪费．问甲管一共注水多少时间？【规范解答】解：，，，，（分钟）；答：甲管一共注水15分钟．[来源:学.科.网Z.X.X.K]【名师点评】解答此题的关键是求出打开甲管后关闭乙管经过的时间，然后根据“又过了相同的时间才注满全池”，得出结果．5．（2019•长沙）某蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，循环开各水管，每次每管1小时．问多少时间后水开始溢出水池？【规范解答】解：循环1次可以灌：，循环开各自水管几次后，再开甲管1小时可以灌，需循环：（次，循环5次可以灌：，这时池内有水：，还需灌：，单开甲管还需要：小时分钟，20小时分钟小时45分钟；答：20小时45分钟后水开始溢出水池．【名师点评】此题主要考查有关进水管与出水管的工程问题的解答方法，关键先求出循环几次．6．（2019•台湾模拟）蓄水池有甲、乙两条进水管和丙、丁两条出水管，要灌满一池水，单开甲管要3小时，单开乙管要5小时，要排完一池水，单开丙管要4小时，单开丁管要6小时．现在池内有池水，按甲、乙、丙、丁的顺序轮流各开1小时，经过多少小时后，水池第一次注满？【规范解答】解：（小时）（小时）（小时）答：经过小时，水池第一次注满．7．甲工程队每工作5天必须休息1天，乙工程队每工作6天必须休息2天．一项工程，甲工程队单独做需62天，乙工程队单独做需51天．请问：甲、乙两个工程队合作完成这项工程需要多少天？【规范解答】解：甲工程队以6天为一周期，甲工程队单独做需62天，可以推出单独完成要10个周期加2天，并可得出工作的每天可完成总量的，周期内完成；乙工程队以8天为一周期，乙工程队单独做需51天，可以推出单独完成要6个周期加3天，并可得出工作日每天可完成总量的，周期内完成；[来源:学科网ZXXK]甲在六天里工作五天，乙在八天里工作六天，也就是说，在6跟8的最小公倍数24天里，甲工作了20天，乙工作了18天；也就是说，到第24天的时候两人是同时停工的．那么在24天后剩余的工作量是．所以剩下的的工程甲乙合作需要时间：，且；即均未到要休息的时间，所以两队合作的总时间为为完成一个大周期24天加，即：（天．答：甲、乙两个工程队合作完成这项工程需要天．8．（2019•锦江区校级自主招生）一项工程，甲单独做需要12小时才能完成，乙单独做需要18小时才能完成．若甲做1小时后乙接着做一小时，再由甲接替乙做1小时，，两人如此交替完成工作，完成任务时共用了多少小时？【规范解答】解：，，，，（小时）；，，，（小时）；（小时）；答：完成任务用小时．9．完成某项工作，由甲独做要10小时，由乙独做要12小时，由丙独做要20小时．实际上先由甲、乙合做一段时间，由丙接着独做直到完成工作，先后共用了9小时20分．甲、乙合做了多少小时？【规范解答】解：9小时20分小时，设甲、乙合做用了小时，，，              ，                 ，                    ，                      ，答：甲、乙合做了4小时．10．某县农机厂金工车间共有77个工人．已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个，或乙种部件4个，或丙种部件3个．每3个甲种部件、1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套．问：分别安排多少人加工甲、乙、丙三种部件时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？【规范解答】解：设每天加工乙种部件个，则加工甲种部件个，丙种部件个；从而可知，加工甲种部件应安排人，加工乙种部件应安排人，加工丙种部件应安排人；，          ；甲：（人；乙：（人；丙：（人；答：加工甲、乙、丙三种部件应分别安排12人、5人和60人．