高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试课堂检测，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＞3}，则M∪N＝( )
A．{x|x＞－3} B．{x|－3＜x≤5}
C．{x|3＜x≤5} D．{x|x≤5}
解析：选A．在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x＞－3}．
2．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{4}
C．{1，3} D．{1，4}
解析：选D．由题意得，B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}．
3．命题“∀x∈R，x2＋3x－1≥0”的否定是( )
A．∃x∈R，x2＋3x－1＜0 B．∃x∈R，x2＋3x－1≥0
C．∃x∈R，x2＋3x－1≤0 D．∀x∈R，x2＋3x－1＜0
解析：选A．由全称量词命题的否定的定义可知，该全称量词命题的否定为∃x∈R，x2＋3x－1＜0.故选A．
4．“ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,y＞0))”是“ eq \f(1,xy)＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．因为“ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,y＞0))”⇒“ eq \f(1,xy)＞0”，“ eq \f(1,xy)＞0”⇒“ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,y＞0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜0，,y＜0，))”所以“ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,y＞0))”是“ eq \f(1,xy)＞0”的充分不必要条件．故选A．
5．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁RB)＝( )
A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}
C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}
解析：选D．因为B＝{x|x＜1}，所以∁RB＝{x|x≥1}．
所以A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．
6．2020年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )
A．7 B．8
C．10 D．12
解析：选B．由题可得参加比赛的学生共有31人，因为参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，所以田赛和径赛都参加的学生人数为16＋23－31＝8.故选B．
7．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的所有元素之和为( )
A．0 B．2
C．3 D．6
解析：选D．依题意A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6.故选D．
8．已知非空集合M，P，则M⃘P的充要条件是( )
A．∀x∈M，x∉P
B．∀x∈P，x∈M
C．∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉P
D．∃x∈M，x∉P
解析：选D．由M⃘P，可得集合M中存在元素不在集合P中，结合各选项可得，M⃘P的充要条件是∃x∈M，x∉P.故选D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列存在量词命题中，为真命题的是( )
A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．∃x∈R，|x|＜0
D．有些自然数是偶数
解析：选ABD．A中，当x＝－1或x＝3时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD．
10．命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥9 B．a≥11
C．a≥10 D．a≤10
解析：选BC．当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max.因为当1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9eq \(⇒,\s\up0(/))a≥10，a≥10⇒a≥9，又a≥9eq \(⇒,\s\up0(/))a≥11，a≥11⇒a≥9.选BC．
11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
解析：选ABC．因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．②当a≠0时，由Δ＝22－4a2＝0，即a2＝1，所以a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．综上，a＝0或a＝±1.
12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab， eq \f(a,b)∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，则下列说法正确的是( )
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域
D．数域必为无限集
解析：选AD．数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0， eq \f(m,m)＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z， eq \f(1,2)∉Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{ eq \r(2)}，则1∈M， eq \r(2)∈M，但1＋ eq \r(2)∉M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．用列举法表示集合：M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(10,m＋1)∈Z，m∈Z))))＝________．
解析：由 eq \f(10,m＋1)∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1，2，5，10，从而m的值为－11，－6，－3，－2，0，1，4，9.
答案：{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}
14．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
解析：由于A∪B＝A，所以B⊆A，又因为B≠∅，所以有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4.
答案：2＜m≤4
15．若“x＞2m－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：依题意，可得{x|－1＜x＜4}{x|x＞2m－3}，所以2m－3≤－1，解得m≤1.
答案：m≤1
16．若集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，则a的值为________；若A的真子集的个数是3个，则a的取值范围是________．
解析：由集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，
易知a＝0，或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≠0，,Δ＝9－4a＝0，))解得a＝0或a＝ eq \f(9,4).
若A的真子集个数是3个，则ax2－3x＋1＝0有两个实数根，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≠0，,Δ＝9－4a>0，))解得a<0或0故a的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a<0或0答案：0或 eq \f(9,4) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a<0或0四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，C＝{3，5，7，9}．
求：(1)A∩B，A∪B；
(2)A∩(∁UB)，A∪(B∩C).
解：(1)A∩B＝{4，5}，A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．
(2)因为B＝{4，5，6，7，8}，所以∁UB＝{1，2，3，9，10}，所以A∩(∁UB)＝{1，2，3}．又B∩C＝{5，7}，所以A∪(B∩C)＝{1，2，3，4，5，7}．
18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定．
(1)每一个奇数都是正数；
(2)∀x∈R，x2－x＋1≥0；
(3)有些实数有平方根；
(4)∃x∈R，x2＋1＝0.
解：前两个命题都是全称量词命题，即具有形式“∀x∈M，p(x)”．
命题(1)的否定是存在一个奇数不是正数；
命题(2)的否定是∃x∈R，x2－x＋1＜0；
后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“∃x∈M，p(x)”．
其中命题(3)的否定是所有实数都没有平方根；
命题(4)的否定是∀x∈R，x2＋1≠0.
19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．
(1)若a＝1时，求A∩B，A∪B；
(2)设C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．
解：(1)由集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，
B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，
所以当a＝1时，A＝{1，3}，B＝{1，4}，
所以A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}．
(2)因为C＝A∪B，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而1，3，4∈C，故实数a的取值集合为{1，3，4}．
20．(本小题满分12分)已知集合M＝{x|x＜－3或x＞5}，P＝{x|a≤x≤8}．
(1)求M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件．
解：(1)由M∩P＝{x|5＜x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是－3≤a≤5.
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如果取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5＜x≤8}；反之，M∩P＝{x|5＜x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件．(答案不唯一)
21．(本小题满分12分)已知“存在x∈{x|－1＜x＜1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合M；
(2)设N＝{x|2－a＜x＜a，a＞1}，若“x∈N”是“x∈M”的必要条件，求a的取值范围．
解：(1)由x2－x－m＝0可得m＝x2－x＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)－ eq \f(1,4)，
因为－1＜x＜1，所以－ eq \f(1,4)≤m＜2，所以M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)≤m＜2)))).
(2)若“x∈N”是“x∈M”的必要条件，则M⊆N，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－a＜－\f(1,4)，,a≥2，,2－a＜a，))得a＞ eq \f(9,4)，故a的取值范围是a＞ eq \f(9,4).
22．(本小题满分12分)已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．
(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；
(2)y求能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围．
解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}．又B＝{x|3≤x≤22}．所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}．
(2)由A⊆(A∩B)，可知A⊆B.又因为A为非空集合，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋1≥3，,3a－5≤22，,2a＋1≤3a－5，))解得6≤a≤9.