高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时精练

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1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
解析：选B．根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D．然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C．故选B．
2.设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(f(3))＝( )
A． eq \f(1,5) B．3
C． eq \f(2,3) D． eq \f(13,9)
解析：选D．f(3)＝ eq \f(2,3)，f(f(3))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)＋1＝ eq \f(4,9)＋1＝ eq \f(13,9).
3.设f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－3(x≤－1)，,x2(－1A．－12 B．±3
C．－12或±3 D．－12或3
解析：选D．f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－3(x≤－1)，,x2(－14.函数f(x)＝x2－2|x|的图象是( )
解析：选C．f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,x2＋2x，x<0，))分段画出f(x)的图象，应选C．
5.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝( )
A．－ eq \f(1,3) B． eq \f(1,3)
C．－ eq \f(2,3) D． eq \f(2,3)
解析：选B．由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1，0所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝ eq \f(1,3)－1＝－ eq \f(2,3)，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－ eq \f(2,3)＋1＝ eq \f(1,3).
6.已知f(n)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n－3，n≥10，,f(f(n＋5))，n<10，))则f(8)＝_________．
解析：因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13)).因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
答案：7
7.已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2，x<1，,x2－ax，x≥1，))若f(f(0))＝a，则实数a＝_________．
解析：依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，得a＝ eq \f(4,3).
答案： eq \f(4,3)
8.设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，x＞0，,x2＋bx＋c，x≤0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝_________．
解析：因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((－4)2－4b＋c＝c，,(－2)2－2b＋c＝－2，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝2.))所以f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，x＞0，,x2＋4x＋2，x≤0.))
答案： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，x＞0，,x2＋4x＋2，x≤0))
9.已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋4，x≤0，,x2－2x，04.))
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象．
解：(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，
即f(f(f(5)))＝－1.
(2)图象如图所示．
10.如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0解：当0当2当4所以函数f(t)的解析式为
f(t)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)t2,2)，0[B 能力提升]
11.已知f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,0，x<0，))则不等式xf(x)＋x≤2的解集是( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x<0}
解析：选A．当x≥0时，f(x)＝1，
xf(x)＋x≤2⇔x≤1，
所以0≤x≤1；
当x<0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2⇔x≤2，
所以x<0.综上，x≤1.
12.(多选)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2，－1＜x＜2，))关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若f(x)＝3，则x的值是 eq \r(3)
D．f(x)＜1的解集为(－1，1)
解析：选BC．由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1].当－1＜x＜2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1＜x＜2时，x2＝3，解得x＝ eq \r(3)或x＝－ eq \r(3)(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2＜1，解得x＜－1，当－1＜x＜2时，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f(x)＜1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．故选BC．
13.设f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x)，0＜x＜1，,2(x－1)，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝_________．
解析：若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)得 eq \r(a)＝2(a＋1－1)，所以a＝ eq \f(1,4)，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．综上，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝6.
答案：6
14.设集合A＝ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，B＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)，x∈A，,2(1－x)，x∈B，))若x0∈A，且f(f(x0))∈A，求x0的取值范围．
解：因为x0∈A，所以0≤x0＜ eq \f(1,2)，
且f(x0)＝x0＋ eq \f(1,2)，又 eq \f(1,2)≤x0＋ eq \f(1,2)＜1，
所以x0＋ eq \f(1,2)∈B，所以f(f(x0))＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x0－\f(1,2)))＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x0))，
又f(f(x0))∈A，
所以0≤2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x0))＜ eq \f(1,2)，
解得 eq \f(1,4)＜x0≤ eq \f(1,2)，又0≤x0＜ eq \f(1,2)，
所以 eq \f(1,4)＜x0＜ eq \f(1,2).所以x0的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))).
[C 拓展探究]
15.讨论方程x2－4|x|＋5＝m的实数根的个数．
解：将方程x2－4|x|＋5＝m的实数根个数问题转化为函数y＝x2－4|x|＋5的图象与直线y＝m的交点个数问题．
作出函数y＝x2－4|x|＋5＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4x＋5，x≥0，,x2＋4x＋5，x＜0))的图象，如图所示．
由图象可以看出：
①当m＜1时，直线y＝m与该图象无交点，此时方程无解；
②当m＝1时，直线y＝m与该图象有2个交点，此时方程有2个实数根；
③当1＜m＜5时，直线y＝m与该图象有4个交点，此时方程有4个实数根；
④当m＝5时，直线y＝m与该图象有3个交点，此时方程有3个实数根；
⑤当m＞5时，直线y＝m与该图象有2个交点，此时方程有2个实数根．