人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试课后测评

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试课后测评，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知f(x)＝x2＋x，则f(x－1)等于( )
A．x2－x＋1 B．x2－x
C．x2－2x－1 D．x2－2x
解析：选B．因为f(x)＝x2＋x，所以f(x－1)＝(x－1)2＋(x－1)＝x2－x.
2.函数y＝ eq \f(\r(－x2－3x＋4),x)的定义域为( )
A．[－4，1] B．[－4，0)
C．(0，1] D．[－4，0)∪(0，1]
解析：选D．由－x2－3x＋4≥0可得{x|－4≤x≤1}，又因为分母x≠0，所以原函数的定义域为[－4，0)∪(0，1].
3.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ eq \f(1,x)
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
解析：选B．由x1f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．A选项，y＝x2在区间(0，＋∞)上为增函数，不符合题意．B选项，y＝ eq \f(1,x)在区间(0，＋∞)上为减函数，符合题意．C选项，y＝|x|在区间(0，＋∞)上为增函数，不符合题意．D选项，f(x)＝2x＋1在区间(0，＋∞)上为增函数，不符合题意．故选B．
4.若 eq \r(x)为实数，则函数y＝x2＋3x－5的值域为( )
A．(－∞，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[－7，＋∞) D．[－5，＋∞)
解析：选D．因为x≥0，且函数y＝x2＋3x－5的对称轴为x＝－ eq \f(3,2)<0，所以x2＋3x－5≥－5.故选D．
5.函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )
A．m> eq \f(1,2) B．m< eq \f(1,2)
C．m>－ eq \f(1,2) D．m<－ eq \f(1,2)
解析：选B．根据题意，函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则有2m－1<0，解得m< eq \f(1,2)，故选B．
6.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
解析：选D．因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，f(1)＝0，则可知开口向上，排除A，C，然后根据f(0)＝c<0，可知函数图象与y轴的交点在x轴下方．
7.若函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((3a－1)x＋4a，x<1，,－ax，x≥1))是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,3)))B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，＋∞))D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,8)))∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
解析：选A．因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a－1<0,－a<0,3a－1＋4a≥－a))，解得 eq \f(1,8)≤a< eq \f(1,3).
8.已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)＋2，x<0，,－x2－1，x≥0，))，则f(x)的最大值是( )
A．2＋2 eq \r(2) B．2－2 eq \r(2)
C．－1 D．1
解析：选B．(1)当x<0时，f(x)＝x＋ eq \f(2,x)＋2，任取x10，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)单调递减；所以f(x)max＝f(－ eq \r(2))＝2－2 eq \r(2)；
(2)当x≥0时，f(x)＝－x2－1单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝－1；而2－2 eq \r(2)>－1，所以f(x)max＝2－2 eq \r(2).故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.下列各组函数表示的是同一个函数的是( )
A．f(x)＝ eq \r(－2x3)与g(x)＝x· eq \r(－2x)
B．f(x)＝|x|与g(x)＝ eq \r(x2)
C．f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0
D．f(x)＝ eq \f(x,x)与g(x)＝x0
解析：选BD．对于A：f(x)＝ eq \r(－2x3)与g(x)＝x· eq \r(－2x)的对应关系不同，故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数；对于B：f(x)＝|x|与g(x)＝ eq \r(x2)的定义域和对应关系均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数；对于C：f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数；对于D：f(x)＝ eq \f(x,x)与g(x)＝x0的对应关系和定义域均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数．
10.已知函数f(x)＝ax2－2ax－3(a>0)则( )
A．f(－3)>f(3) B．f(－2)C．f(4)＝f(－2) D．f(4)>f(3)
解析：选ACD．f(x)＝ax2－2ax－3(a>0)对称轴为x＝1.且在[1，＋∞)是增函数，f(－3)＝f(5)>f(3)，选项A正确；f(－2)＝f(4)>f(3)，选项B错误；f(4)＝f(－2)，选项C正确；f(4)>f(3)，选项D正确．故选ACD．
11.函数f(x)＝ eq \f(x,x2＋a)的图象可能是( )
解析：选ABC．由题可知，函数f(x)＝ eq \f(x,x2＋a)，若a＝0，则f(x)＝ eq \f(x,x2)＝ eq \f(1,x)，选项C可能；若a>0，则函数定义域为R，且f(0)＝0，选项B可能；若a<0，则x≠± eq \r(－a)，选项A可能，故不可能是选项D．故选ABC．
12.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(－x)＝f(x)；②∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有 eq \f(f(x2)－f(x1),x2－x1)>0；③f(－1)＝0.则下列选项成立的是( )
A．f(3)>f(－4)
B．若f(m－1)C．若 eq \f(f(x),x)>0，x∈(－1，0)∪(1，＋∞)
D．∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M
解析：选CD．由条件①得f(x)是偶函数，条件②得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(3)0，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0,f(x)>0))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<0,f(x)<0))，因为f(－1)＝f(1)＝0，所以x>1或－1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若幂函数图象过点(8，4)，则此函数的解析式是y＝_________．
解析：设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数图象过点(8，4)，故有4＝8α，解得α＝ eq \f(2,3)，所以该函数的解析式是y＝x eq \s\up6(\f(2,3)).
答案：x eq \s\up6(\f(2,3))
14.设函数f(x)＝ eq \f(ax,2x＋3)，若f(f(x))＝x恒成立，则实数a的值为_________．
解析：因为f(f(x))＝x恒成立，所以f(f(1))＝ eq \f(\f(a2,5),\f(2a,5)＋3)＝1，即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3，当a＝5时，f(x)＝ eq \f(5x,2x＋3)，f(f(x))＝ eq \f(25x,16x＋9)≠x，则a＝5不满足条件，当a＝－3时，f(x)＝ eq \f(－3x,2x＋3)，f(f(x))＝x，则a＝－3满足条件．
答案：－3
15.设f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋a，x≤0,x＋\f(1,x)，x>0))，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为_________．
解析：当x≤0时，f(x)≥f(0)＝a.又x>0时，f(x)＝x＋ eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，由题意得a≤x＋ eq \f(1,x)，所以a≤2.
答案：(－∞，2]
16.已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－ax，x≥0，,－x2－x，x<0))是奇函数，且在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，m＋\f(1,2)))上单调递减，则实数a＝________；实数m的取值范围用区间表示为_________．
解析：因为函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－ax，x≥0，,－x2－x，x<0))是奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－a＋(－1)＋1＝0，解得a＝1；因此f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x，x≥0，,－x2－x，x<0，))根据二次函数的性质，可得，当x>0时，函数f(x)＝x2－x在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减，在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增；又因为f(0)＝0，所以由奇函数的性质可得：函数f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减；因为函数f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，m＋\f(1,2)))上单调递减，所以只需 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，m＋\f(1,2)))⊆ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥－\f(1,2)，,m＋\f(1,2)≤\f(1,2)，))解得－ eq \f(1,2)≤m≤0.
答案：1 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2x－ eq \f(a,x)且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝3.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
解：(1)因为f(x)＝2x－ eq \f(a,x)且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝3，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－2a＝3，解得a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝2x＋ eq \f(1,x)，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
证明如下：
设x1＞x2＞1，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋ eq \f(1,x1)－2x2－ eq \f(1,x2)＝(x1－x2) eq \f(2x1x2－1,x1x2).
因为x1＞x2＞1，
所以x1－x2＞0，2x1x2－1＞0，x1x2＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
18.(本小题满分12分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式；
(2)若f(x)＝ eq \f(1,2)，求实数x的值．
解：(1)根据图象可知f(4)＝0，则f(f(4))＝f(0)＝1.
设直线段对应的方程为y＝kx＋b(k≠0).
将点(0，1)和点(－1，0)代入可得b＝1，k＝1，即y＝x＋1.
当x＞0时，设y＝ax2＋bx＋c.
因为图象过点(4，0)，(2，－1)且对称轴 eq \f(b,－2a)＝2，代入可得y＝ eq \f(1,4)x2－x.
所以f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x≤0，,\f(1,4)x2－x，x＞0.))
(2)当x＋1＝ eq \f(1,2)时，x＝－ eq \f(1,2)，符合题意；
当 eq \f(1,4)x2－x＝ eq \f(1,2)时，解得x＝2＋ eq \r(6)或x＝2－ eq \r(6)(舍去).
故x的值为－ eq \f(1,2)或2＋ eq \r(6).
19.(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.
又因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.
当x＝0时，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，
所以f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x－1(x＞0)，,0(x＝0)，,－x2－x＋1(x＜0).))
(2)作出函数图象，如图所示．
由函数图象易得函数f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ eq \f(\r(3－ax),a－1)(a≠1).
(1)若a＞0，求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤ eq \f(3,a)，
即函数f(x)的定义域是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,a))).
(2)当a－1＞0，即a＞1时，要使f(x)在区间(0，1]上是减函数，
则需－a<0且3－a×1≥0，此时1＜a≤3.
当a－1＜0，即a＜1时，要使f(x)在区间(0，1]上是减函数，则需－a＞0且3－a×1≥0，此时a＜0.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，3].
21.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且f(1)＝6，f(3)＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，使得在[－1，3]上f(x)的图象恒在直线y＝2mx＋1的上方？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)由二次函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，又知f(1)＝6，则设f(x)＝a(x－1)2＋6(a≠0).
由f(3)＝2，得a(3－1)2＋6＝2，解得a＝－1，所以f(x)＝－(x－1)2＋6＝－x2＋2x＋5.
(2)假设存在实数m，使得在区间[－1，3]上f(x)的图象恒在直线y＝2mx＋1的上方，则有f(x)>2mx＋1在区间[－1，3]上恒成立，即x2＋2(m－1)x－4<0在区间[－1，3]上恒成立．设g(x)＝x2＋2(m－1)x－4，
则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g(－1)＝－1－2m<0，,g(3)＝6m－1<0，))解得－ eq \f(1,2)22.(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
解：(1)由题意可知，2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))≥30.
所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，解得x≤－ eq \f(1,5)或x≥3.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
(2)易知获得的利润为y＝ eq \f(120,x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x＋1－\f(3,x)))＝120 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,x2)＋\f(1,x)＋5))，x∈[1，10]，
令t＝ eq \f(1,x)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，1))，则y＝120(－3t2＋t＋5).
当t＝ eq \f(1,6)，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元．