高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时当堂检测题，共6页。
1.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ eq \f(1,x) D．y＝－|x＋1|
解析：选B．y＝3－x，y＝ eq \f(1,x)，y＝－|x＋1|在区间(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在区间(0，2)上是增函数．
2.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 eq \f(f(a)－f(b),a－b)>0成立，则必有( )
A．f(x)在R上是增函数
B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)是先增后减
D．函数f(x)是先减后增
解析：选A．由 eq \f(f(a)－f(b),a－b)>0知f(a)－f(b)与a－b同号，即当af(b)，所以f(x)在R上是增函数．
3.函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上( )
A．递减 B．递增
C．先减后增 D．先增后减
解析：选C．因为y＝|x＋2|＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x＜－2.))作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知y＝|x＋2|在区间[－3，－2)上为减函数，在区间[－2，0]上为增函数．
4.函数y＝ eq \r(2x－3)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－3] B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)
解析：选B．由2x－3≥0，得x≥ eq \f(3,2).又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝ eq \r(t)在定义域上是增函数，所以y＝ eq \r(2x－3)的单调递增区间是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
5.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，则－1＜f(x)＜1的解集是( )
A．(－3，0) B．(0，3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选B．由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，所以－1＜f(x)＜1等价于f(0)＜f(x)＜f(3).因为f(x)在R上单调递增，所以0＜x＜3.
6.已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，xf(3－a).
因为f(x)在定义域[1，4]上单调递减，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1≤1－2a≤4，,1≤3－a≤4，,1－2a1))的图象，并指出函数的单调区间．
解：f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,(x－2)2＋3，x>1))的图象如图所示．
由图可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]；
单调递增区间为(2，＋∞).
10.已知函数f(x)＝mx＋ eq \f(1,nx)＋ eq \f(1,2)(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝ eq \f(11,4).
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明．
解：(1)因为f(1)＝m＋ eq \f(1,n)＋ eq \f(1,2)＝2，f(2)＝2m＋ eq \f(1,2n)＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(11,4).
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝2.))
(2)由(1)知f(x)＝x＋ eq \f(1,2x)＋ eq \f(1,2)，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，证明如下：
设1≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝x1＋ eq \f(1,2x1)＋ eq \f(1,2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2x2)＋\f(1,2)))＝(x1－x2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2x1x2)))
＝ eq \f((x1－x2)(2x1x2－1),2x1x2).
因为1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞1，
所以2x1x2＞2＞1，即2x1x2－1＞0，
所以 eq \f((x1－x2)(2x1x2－1),2x1x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
[B 能力提升]
11.已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋3a，x≥0，,x2－ax＋1，x0，,－\f(4(a－3),4a)≥3，))解得a≤ eq \f(3,4)且a>0，
所以a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))，D正确．
13.设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为_________．
解析：由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，所以不等式f(x)＋f(－2)＞1，即为f(－2x)＞f(3).因为f(x)是定义在R上的增函数，所以－2x＞3，解得x＜－ eq \f(3,2).故不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(3,2))))).
答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＜－\f(3,2)))))
14.已知函数f(x)＝x－ eq \f(a,x)＋ eq \f(a,2)在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设1