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    2021学年1.4 充分条件与必要条件课后练习题

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    这是一份2021学年1.4 充分条件与必要条件课后练习题,共5页。

    1.下列语句是命题的是( )
    A.今天天气真好啊!
    B.你怎么又没交作业?
    C.x>2
    D.方程x2+2x+3=0无实根
    解析:选D.A项是一个感叹句,不能判断真假,所以不是命题;B项是问句,不能判断真假,不是命题;C项不知道x的值是多少,所以不能判断真假,不是命题;D项是真命题.
    2.俗语云:“好人有好报.”这句话的意思中,“好人”是“有好报”的( )
    A.充分条件
    B.必要条件
    C.既不充分也不必要条件
    D.无法判断
    解析:选A.这句话的意思中,“好人”⇒“有好报”,所以“好人”是“有好报”的充分条件.故选A.
    3.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )
    A.充分条件但不是必要条件
    B.必要条件但不是充分条件
    C.既是充分条件,也是必要条件
    D.既不是充分条件,也不是必要条件
    解析:选A.x≥2且y≥2可以推出x2+y2≥4,但x=1且y=3满足x2+y2≥4但不满足x≥2且y≥2.故选A.
    4.设x,y是两个实数,命题:“x,y中至少有一个数大于1”成立的充分条件但不是必要条件是( )
    A.x+y=2 B.x+y>2
    C.x2+y2>2 D.xy>1
    解析:选B.对于选项A,当x=1,y=1时,满足x+y=2,但命题不成立;对于选项C,D,当x=-2,y=-3时,满足x2+y2>2,xy>1,但命题不成立,也不符合题意.
    5.设x∈R,则“ eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(<\f(1,2)))))”是“x3<1”的( )
    A.充分条件
    B.必要条件
    C.充分且必要条件
    D.既不充分也不必要条件
    解析:选A.因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)))< eq \f(1,2),所以- eq \f(1,2)<x- eq \f(1,2)< eq \f(1,2),解得0<x<1,由x3<1得x<1.据此可知“ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)))< eq \f(1,2)”是“x3<1”的充分条件.故选A.
    6.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件.
    解析:若“四边形ABCD为菱形”,则“对角线AC⊥BD”成立;而若“对角线AC⊥BD”成立,则“四边形ABCD不一定为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件但不是必要条件.
    答案:充分条件但不是必要
    7.已知a,b都是实数,那么“ eq \r(a)> eq \r(b)”是“|a|>|b|”的______条件.
    解析: eq \r(a)> eq \r(b)可得a>b≥0,可以推出|a|>|b|,但|a|>|b|推不出 eq \r(a)> eq \r(b).
    答案:充分条件但不是必要
    8.下列式子:
    ①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a.
    其中能使 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)成立的充分条件有________.(填序号)
    解析:根据 eq \f(1,a)< eq \f(1,b),可得 eq \f(b-a,ab)<0,故b-a与ab异号.对于①,由a<0<b,可得b-a>0,ab<0,故①能使 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)成立;对于②,由b<a<0,可得b-a<0,ab>0,故②能使 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)成立;对于③,由b<0<a,可得b-a<0,ab<0,故③不能使 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)成立;对于④,由0<b<a,可得b-a<0,ab>0,故④能使 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)成立.故能使 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)成立的充分条件有①②④.
    答案:①②④
    9.判断下列语句中哪些是命题,是真命题还是假命题.
    (1)末位是0的整数能被5整除;
    (2)平行四边形的对角线相等且互相平分;
    (3)对顶角相等;
    (4)二次函数的图象一定开口向上吗?
    解:(1)是命题,真命题;(2)是命题,假命题.因为平行四边形的对角线不一定相等;(3)是命题,真命题;(4)不是命题,因为该语句不是陈述句.
    10.下列各题中,p是q的什么条件?
    (1)p:a+b=0,q:a2+b2=0;
    (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形;
    (3)p:x=1或x=2,q:x-1= eq \r(x-1).
    解:(1)因为a+b=0推不出a2+b2=0,而a2+b2=0⇒a+b=0,所以p是q的必要条件但不是充分条件.
    (2)因为四边形的对角线相等推不出四边形是矩形,而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等,所以p是q的必要条件但不是充分条件.
    (3)因为x=1或x=2⇒x-1= eq \r(x-1),x-1= eq \r(x-1)⇒x=1或x=2,所以p既是q的充分条件又是q的必要条件.
    [B 能力提升]
    11.(多选)一元二次方程x2+4x+n=0有正实数根的充分不必要条件是( )
    A.n=4 B.n=-5
    C.n=-1 D.n=-12
    解析:选BCD.设y=x2+4x+n,则函数的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-2,要使得一元二次方程x2+4x+n=0有正实数根,则满足当x=0时,y<0,即n<0.所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以为B,C,D.故选BCD.
    12.(多选)下列说法中正确的是( )
    A.“A∩B=B”是“B=∅”的必要不充分条件
    B.“x=3”的必要不充分条件是“x2-2x-3=0”
    C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
    D.“|x|=1”是“x=1”的充分条件
    解析:选ABC.由A∩B=B,得B⊆A,所以“B=∅”可推出“A∩B=B”,反之不成立,A正确;解方程x2-2x-3=0,得x=-1或x=3,所以“x=3”的必要不充分条件是“x2-2x-3=0”,B正确;“m是有理数”可以推出“m是实数”,反之不一定成立,C正确;解方程|x|=1,得x=±1,则“|x|=1”不是“x=1”的充分条件,D错误.故选ABC.
    13.若“-1≤x≤1”是“不等式|x-m|≤2”成立的充分条件,则实数m的取值范围是________.
    解析:因为|x-m|≤2,所以m-2≤x≤m+2.记A={x|-1≤x≤1},B={x|m-2≤x≤m+2}.又因为“-1≤x≤1”是“不等式|x-m|≤2”成立的充分条件,所以A⊆B,则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m-2≤-1,,m+2≥1,))解得-1≤m≤1,即实数m的取值范围是{m|-1≤m≤1}.
    答案:{m|-1≤m≤1}
    14.已知p:4x+m<0,q:x2-x-2>0,若p是q的一个充分不必要条件,求实数m的取值范围.
    解:因为4x+m<0,
    所以x<- eq \f(m,4) ,
    所以p:x<- eq \f(m,4) .
    因为x2-x-2>0,
    所以x<-1或x>2.
    所以q:x<-1或x>2.
    因为p是q的一个充分不必要条件,
    所以- eq \f(m,4) ≤-1,所以m≥4.
    即实数m的取值范围是[4,+∞).
    [C 拓展探究]
    15.(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件?
    (2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件?
    解:(1)若2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,
    则只要 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<-\f(m,2)))))⊆{x|x<-1或x>3},即只需- eq \f(m,2)≤-1,所以m≥2.
    故存在实数m≥2,使2x+m<0是x<-1或x<3的充分条件.
    (2)若2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3}⊆ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<-\f(m,2))))),这是不可能的.
    故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
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