高中7.6归纳-猜想-论证教案

归纳—猜想—论证

【教学目标】

1．对数学归纳法的认识不断深化。

2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法。

3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系。

【教学重难点】

用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明。

【教学过程】

一、复习引入

师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法。请问：它适用于哪些问题的证明？

生：与连续自然数n有关的命题。

师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？

生：共有两个步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；

（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确。

师：这两个步骤的作用是什么？

生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程。

师：这实质上是在说明这个证明具有递推性。第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据。递推是数学归纳法的核心。用数学归纳法证题时应注意什么？

生：两个步骤缺一不可。证第（2）步时，必须用归纳假设。即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立。

师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。

今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题。

二、归纳、猜想、证明

1．问题的提出。

a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。

师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理。

（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上。）

师：正确。怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下。

2．归纳与猜想。

生：我猜出了一个an的计算公式。（许多学生在偷笑）。

师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好。人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾。我想他的“猜”，也一定不是胡蒙乱猜，一定会有他的道理的，说说你是怎么“猜”的。

师：大家也一定觉得他说的有道理，但为什么用“猜想”呢？

生：我只是通过对a1，a2，a3，a4的观察，就去归纳an的计算公式，这个公式不一定对，所以还只能是“猜想”。

师：他是经观察有限个特例从中获取一定信息、分析它们共同具有的特征后，归纳出对一切自然数的一般结论。他用的是不完全归纳法。他的结论虽不一定正确，但这却是探索新知识，发现新规律的重要途径，归纳法是可以用于猜测与发现的。

我们一起把他的“猜想”记录下来。

（教师板书。）

师：这个“猜想”的正确性怎么能保证？

生：用数学归纳法证明。

3．证明。

（学生口述，教师板书。）

师：证得非常好。在证明n=k+1时，每一步的依据是什么？

生：因为在这里，能否用上归纳假设是关键。因此先根据定义用ak表示ak+1，然后就可代入归纳假设，再化简整理，即可证出n=k+1的相应结论。

师：这才能体现出递推性。必须注意要由归纳假设（n=k时）的正确性来推n=k+1时的正确性，这是用数学归纳法证题的核心与关键。

回顾我们的解题过程，光用不完全归纳法对事物的一部分特例，通过观察，加以归纳，得到猜想，再用数学归纳法对猜想加以证明。这种从观察到归纳到猜想到证明的过程，是一种科学的思维模式，也正是我们今天要研究的课题。

（板书课题：归纳、猜想、证明。）

4．不完全归纳法中的“猜测”二法。

师：高斯说过：“发现和创新比命题论证更重要，因为一旦抓住真理之后，补行证明往往是时间问题。”

在“归纳、猜想、证明”的过程中，猜想准确是关键。我们再看一个例题，在解题过程中重点思考：如何猜想。

且n≥2）。先求出f（2），f（3），f（4）的值，再由此推测f（n）的计算公式，并对其正确性作出证明。

（学生们在笔记本上解答，教师巡视完成情况，请两位同学把自己的解法写到黑板上。）

（学生甲书写如下。）

则f（n）=f（n-1）+lg2n-1（n≥2）。

f（3）=f（2）+lg23-1=0+2lg2=2lg2，

f（4）=f（3）+lg24-1=2lg2+3lg2=5lg2．

猜想：……

（学生乙书写如下。）

得f（n）=f（n-1）+lg2n-1（n≥2）。

则f（2）=f（1）+lg22-1=-lg2+（2-1）lg2=（-1+2-1）lg2，

f（3）=f（2）+lg23-1=（-1+2-1+3-1）lg2，

f（4）=f（3）+lg24-1

=（-1+2-1+3-1）lg2+（4-1）lg2

=（-1+2-1+3-1+4-1）lg2．

由此可以推测：

f（n）=[-1+（2-1）+（3-1）+…+（n-1）]lg2

=[-1+1+2+…+（n-1）]lg2

f（k+1）=f（k）+lg2（k+1）-1

师：我们一起来看两位同学的解题过程。学生甲的计算结果正确，但没有猜出来。学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明。题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧。

生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg2，0，2lg2，5lg2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了。

师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？

生乙：我是看f（2），f（3），f（4）每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上（n-1）lg2，也就是从n=2，3，4，…分别代入递推关系式f（n）=f（n-1）+（n-1）lg2的求值计算过程中得到的。这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表示，这样就容易发现规律了。

师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧。

其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考。但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识。

学生乙在用数学归纳法证明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正确。这个问题解决得非常好。

归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的一把钥匙。

三、练习

已知数列{an}和{bn}，其中：

an=1+3+5+…+（2n+1），bn=1+2+22+…+2n-1，（n∈N+）。

当n∈N+时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论。

（教师巡视学生的解题情况，适时点评。）