高中数学沪教版高中二年级 第一学期7.8无穷等比数列各项的和教案及反思

无穷等比数列各项的和

【教学目标】

进一步理解和掌握无穷等比数列的各项和的公式；利用无穷等比数列的各项和公式解决一些实际应用问题；发展逻辑思维能力，强化应用意识。

【教学重难点】

1．无穷等比数列的各项和公式的应用；

2．无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件。

【教学过程】

一、复习回顾

思考并回答下列问题：

1．无穷等比数列的各项和公式的回顾：

。

2．无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件：

当且仅当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在，在此基础上定义无穷等比数列的各项和，进一步得出计算公式。

二、讲授新课

1．无穷等比数列的各项和概念的进一步强化。

例题1：

已知无穷等比数列{an}的各项之和为4，求首项a1的取值范围。

分析：无穷等比数列的各项和定义的前提条件是。

解：设无穷等比数列{an}的公比为q，

由题设知：

，得；

又，故，

解得：，

所以。

另解：（），利用一次函数的值域来求解。

说明：

（1）数学概念的深刻理解；

（2）两种解法的比较：不等式的求解与函数思想。

2．无穷等比数列的各项和的实际应用。

例题2：

在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，求所有正方形的面积之和。

分析：

解决该实际问题的关键在于转化成一个无穷等比数列的各项和。

解：由题设知：，解得。

由，得；

所以正方形的面积是一个首项为，公比为的无穷等比数列，于是所有正方形的面积之和为：

。

另解：所有正方形的面积之和等于Rt△ABC的面积减去所有内部的三角形的面积之和，而第n个正方形的面积与内部对应的第n个三角形的面积之比为4：1，所以所有正方形的面积之和等于Rt△ABC面积的。

说明：

（1）问题的实质：所有正方形的面积是一个无穷等比数列的各项和；

（2）另解的关键在于图形中正方形与三角形的对应分析。

三、巩固练习

补充练习：

如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，… ，Pn，…，记纸板Pn的周长、面积分别为、，

求（1）；（2）。

分析：纸板Pn的周长等于n个半圆的周长（依次构成一个等比数列）与一条线段的长度的和，即是一个无穷等比数列的各项和；纸板Pn的面积等于一个半圆面积减去n-1个半圆的面积（依次构成一个等比数列）的和，即是一个半圆面积减去一个无穷等比数列的各项和所得的差。

解：

（1）；

（2）。

说明：问题的关键在于转化为无穷等比数列的各项和。

四、课堂小结

1．无穷等比数列的各项和公式：S=（）的理解；

2．如何将某些实际问题转化为一个无穷等比数列的各项和；

3．学会表达：等比数列无穷等比数列的前n项和无穷等比数列的各项和。