初中数学4.2 平行四边形综合训练题

4.2平行四边形及其性质同步练习浙教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，M是▱ABCD的边AD上任意一点，若的面积为S，的面积为，的面积为，则下列S，，的大小关系中正确的是          

A.  B.
C.  D. S与的大小关系无法确定

2. 如图，，直线a与直线b之间的距离是                               

A. 线段PA的长度
B. 线段PB的长度
C. 线段PC的长度
D. 线段CD的长度

3. 如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米时乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米时两船均于出发，两岸平行，水面宽为千米，则两船距离最近的时刻为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，且，CE交GH于点Q，已知，，则

A.  B.  C.  D.

5. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且两条对角线的和为36cm，AB的长为10cm，则的周长为   

A. 46cm
B. 22cm
C. 28cm
D. 26cm

6. 可伸缩的遮阳篷是依据平行四边形的   

A. 不稳定性 B. 稳定性 C. 伸缩性 D. 可变性

7. 在中，若，则   

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知直线，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，，若的面积为5，则的面积为   

A. 2
B. 4
C. 5
D. 10

9. 如图，设点P是▱ABCD的边AB上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则   

A.
B.
C.
D.
 

10. 如图，在▱ABCD中，下列结论中错误的是   

A.
B.
C.
D. AB到CD的距离与AD到BC的距离相等

11. 如图，已知，，，DE，FG都垂直于，垂足分别为E，G，则下列选项中，一定成立的是   

A.
B.
C.
D.
 

12. 如图，，则直线a到直线b的距离是   

A. 13
B. 14
C. 17
D. 25

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在▱ABCD中，，，，则比的周长长             cm．
     

14. 如图，在▱ABCD中，，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则的度数为      ．
     

15. 已知一个平行四边形，两邻边长分别为6和8，两长一边之间的距离为3，则两短边之间的距离为      ．
16. 如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC的长为5，则的周长为          ．
     

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

17. 如图，已知平行四边形ABCD，DE是的角平分线，交BC于点E，连结AE，
    
    求证：
    若，，求的度数
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，四边形ABCD为平行四边形，，，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．
    求证：；
    若，，，求DE的长．
    
     

19. 如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，，BC边上的高为4，求图中红色部分的面积．

20. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，，垂足为E，在平行四边形的边上有一点O，且将平行四边形折叠，使点C与点O合，折痕所在直线与平行四边形交于点M、N．
    求DE的长；
    请补全图形并求折痕MN的长．

四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）

21. 如图，在中，D，E，F分别是AB，BC，AC边的中点，试找出图中所有的平行四边形．
    
     

22. 如图，已知点、，▱ABCD的对角线交于坐标原点O．
     

请直接写出点C、D的坐标

写出从线段AB到线段CD的变换过程

直接写出▱ABCD的面积．






 

23. 如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点，P是线段AB上的一个动点点P与A、B不重合．

求直线BC的函数表达式；

设动点P的横坐标为t，的面积为S．

求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

在线段BC上存在点Q，使得四边形COPQ是平行四边形，求此时点Q的坐标．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：设▱ABCD的高为h．
四边形ABCD是平行四边形，
，
的面积，的面积，
的面积，
，
，，的大小关系是．
故选B．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：由题图可得，，
又，所以线段PA的长度是直线a与直线b之间的距离，
故选A．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：设x小时后两船距离最近，

如图，当甲船行驶到点E处，乙船行驶到点F处，且时，两船距离最近，

根据题意得千米，千米，

，

解得，

小时分钟分钟，

两船均于出发，

两船距离最近的时刻为．
故选C．

4.【答案】D
 

【解析】四边形ABCD为平行四边形，
，， 
且，
 ，，
 ，
在与中， 
， 
， 
，故选D．
 

5.【答案】C
 

【解析】略
 

6.【答案】A
 

【解析】略
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质：对角相等，得出．
【解答】
解：四边形ABCD是平行四边形，
．
故选A．  

8.【答案】C
 

【解析】【解析】
与是等底等高的两个三角形，它们的面积相等．
【解答】
解：因为直线，点A、B、C在直线a上，
所以点D到直线a的距离与点C到直线B的距离相等．
又因为，
所以与是等底等高的两个三角形，
所以，
故选：C．
 

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质、三角形的面积公式，根据平行四边形的性质可知，平行四边形的高即为三个三角形的高，然后利用三角形的面积公式进行计算，最后通过平行四边形的对边相等推导出
【解答】
解：设平行四边形的高为h，
则 ，，，
又平行四边形的对边相等，
，
．
故选：A．  

10.【答案】D
 

【解析】略
 

11.【答案】A
 

【解析】略
 

12.【答案】A
 

【解析】略
 

13.【答案】4
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，，根据勾股定理得到，，于是得到结论．
【解答】
解：在▱ABCD中，
，，，，
，
，
，
，
，
的周长的周长，
故答案为4．  

14.【答案】
 

【解析】略
 

15.【答案】4
 

【解析】略
 

16.【答案】15
 

【解析】 由平行四边形的对边相等和周长为20，
可得，
所以的周长．
 

17.【答案】证明：如图，在平行四边形ABCD中，


又，
，
；
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
又，，
，
．
，
，
．
 

【解析】本题考查了平行四边形的性质定理和等腰三角形的判定，灵活应用平行线的性质进行证明和计算．
根据DE是的角平分线得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，根据等角对等边即可得证；
先根据，结合得到是等腰三角形，求出的度数，再根据平行四边形邻角互补得到，所以可求．
 

18.【答案】证明：过点E作交AF的延长线于点G，
则，，
在平行四边形ABCD中，
，，
．
，
四边形ABEG是平行四边形．
．
≌．
．

解：，，
．
，
，
，
又，
．
在中
，
．
 

【解析】先过点E作交AF的延长线于点G，由，，可得，，再由，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，，而，会出现两对内错角相等，故≌，即．
有，，可得，利用勾股定理，可求，而，那么再利用勾股定理，又可求DF，而由知，，故可求．
本题利用了平行四边形的性质及判定，还有平行线的性质，全等三角形的判定与性质，还有勾股定理等知识．
 

19.【答案】解：由平行四边形的性质可知，红色部分的面积就是平行四边形ABCD面积的一半，
即，
因此，红色部分的面积为：12．
 

【解析】根据平行四边形的性质可得出红色部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可．
本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分．
 

20.【答案】解：，，，
．
．
．
如图1所示，当点O在AB上时，

，，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，，．
．
将平行四边形折叠，使点C与点O重合，
折痕MN垂直平分OC，即，．
折痕MN与平行四边形ABCD的边AB交于点N，
点B与点N重合．
，
．
．
．
，
是等边三角形．
．
如图2所示，当点O在AD上时，

过点N、O分别作，，垂足分别为K、H，连接OM，CN．
四边形ABCD是平行四边形，，
，，，
，，
，，
．
在中，，
．
，．
在中，，
由折叠可知，，．
在中，，
即．
．
，，
．
四边形DENK为矩形．
，
，

．
综上所述，折痕MN的长为5或．
 

【解析】求出AE的长，由勾股定理可得出答案；
当点O在AB上时，证明是等边三角形．得出当点O在AD上时，过点N、O分别作，，垂足分别为K、H，连接OM，由勾股定理求出OC，OG，得出求出CM，由三角形CMN的面积可求出MN的长．
本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：图中的平行四边形有：，，．
 

【解析】见答案
 

22.【答案】四边形ABCD是平行四边形，

四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是点O，

，，

，．

线段AB到线段CD的变换过程：绕点O旋转．

由得，A到y轴的距离为4，D到y轴的距离为1，A到x轴的距离为2，B到x轴的距离为2，

．

【解析】略
 

23.【答案】解：直线分别交x轴、y轴于A、B两点，
点A的坐标为，点B的坐标为．

设直线BC的函数表达式为，

则，解得

故直线BC的函数表达式是．

点，点，

，

动点P的横坐标为t，P是线段AB上的一个动点点P与A、B不重合，

动点P的纵坐标为，

，

即S与t的函数关系式是．

如图，过点P作轴，交直线BC于点Q．

点P的坐标为，

点Q的纵坐标为，

点Q在直线上，

，

解得，

点Q的横坐标为．

四边形COPQ是平行四边形，

，

又，
，

解得，
，．

点Q的坐标为

【解析】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、平行四边形的性质、待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据直线分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点，可以得到点B的坐标，从而可以得到直线BC的函数表达式；
根据题意，可以用含t的代数式表示出点P的坐标，从而可以得到S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
根据题意和平行四边形的性质，可以用含t的代数式表示出点Q的坐标，再根据，即可得到点Q的坐标．