江西省靖安中学2021届高三上学期第四次月考数学（理）试题+Word版含答案

 2020～2021学年度上学期高三年级第四次月考数学（理）试卷

分值：   150分       考试时间： 120分钟

一．选择题 （12小题。每小题5分，共60分）

1．已知集合，若，则实数的取值

范围为（   ）

A.  B.      C.      D.

2．已知实数满足，则（   ）

A.         B.       C.       D.

3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)

A．　　      B．           C．　　    　 D．1

4．若定义在R上的偶函数满足，且当时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 的零点个数是（   ）

A. 6个        B. 4个      C. 3个      D. 2个

5．若将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（    ）

A.         B.       C.       D.

6．用数学归纳法证明“（）”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（    ）

A．             B．          C．             D．

7.已知实数x，y满足约束条件则的最大值是(　　)

A．    B．    C．1    D．2

8．函数的图象大致为(      )

9．给出下列命题

①已知,“且”是“”的充分条件;

②已知平面向量,是“”的必要不充分条件;

③已知,“”是“”的充分不必要条件;

④命题“,使且”的否定为“,都有且”.其中正确命题的个数是（   ）

A. 0        B. 1       C. 2       D. 3

10．已知数列的前项和为，且，在等差数列中，，且公差.使得成立的最小正整数为（    ）

  A．2     B．3   C．4   D．5

11．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时， ，若，，，则的大小关系正确的是（   ）

A.      B.    C.       D.

12.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A. B.   C.    D.

二．填空题 （4小题，每小题5分，共20分）

13．已知________.

14．若球与棱长为2的正方体的各棱相切，求该球的表面积__________

15．已知数列{}的前n项和Sn＝2n＋1(n∈)，则＝__________

16． 若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的两个实根都大于－1，则m的取值范围____

三．解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）

17．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，△ABC的面积为，求a，c的值．

18.新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．

（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；

（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

19．（本小题12分）已知数列为等差数列，公差为，其前项和为，

且， .

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）若数列满足， ，求满足的所有的值.

20.（本小题满分12分）已知向量，且．

（Ⅰ）求及； 

（Ⅱ）若函数．

①当时求的最小值和最大值；    ②试求的最小值．

21．如图，在等腰梯形中， ，上底，下底，点为下底的中点，现将该梯形中的三角形沿线段折起，形成四棱锥.

（1）在四棱锥中，求证： ；（2）若平面与平面所成二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值.

22．（本小题12分）已知，函数，(是自然对数的底数).

（1）讨论函数极值点的个数；

（2）若对任意的恒成立，求实数的值；

（3）在第（2）小题的条件下，，，求实数的取值范围.

第四次月考高三数学（理）试卷参考答案

一、  选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

  13.     14．  15．　 16．m<－2或m≥5＋2

三、解答题

17.【解析】（1）∵，

∴由正弦定理得，

又A∈（0，π），sinA≠0，∴，，∴．

（2）∵∴ 

∴或

18.（1）；（2）90万箱.

（1）当时，

；

当时，，

∴，

（2）当时，，

∴当时，取最大值，最大值为1600万元；

当时，，

当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1800万元．

综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．

19．试题解析：（1）∵， ，  

∴， ，得， ，∴，

∴ ，得，

∴ ．

（2）∵， ，

∴

 ，又∴，故由得

∴或．

20

（2）①∵，

21．试题解析：（1）证明：由三角形沿线段折起前， ， ， ，点为的中点，得三角形沿线段折起后，四边形为菱形，边长为， ，如图，

取的中点，连接， ， ，

∵由题得和均为正三角形， ∴， ， 又∴平面，∵∥∴平面，

∵平面，∴．

（2）解：以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，

由平面，有轴在平面内，

在（1）中，∵， ，

∴为平面与平面所成二面角的平面角，

∴，

而，∴且，

得点的横坐标为，点的竖坐标为，

则， ， ， ，

故， ， ，

设平面的一个法向量为，

∴得

令，得， ，∴平面的一个法向量为，

∴ ，

∵直线与平面所成角为锐角或直角， ∴直线与平面所成角的正弦值为．

22（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点；（2）；（3）.

（1）因为，所以，

当时，对，，

所以在是减函数，此时函数不存在极值，

所以函数没有极值点；

当时，，令，解得，

若，则，所以在上是减函数，

若，则，所以在上是增函数，

当时，取得极小值；

函数有且仅有一个极小值点，

所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.

（2）因为对任意的恒成立.

当时，，不合题意舍去.

当时，由（1）可知当时，取得极小值；因为对任意的恒成立，

所以

又因为且，

则，可得：

（3）因为：，，即不等式在区间内有解.

设，且

所以，且

设，且

则，且在上是增函数，

所以

当时，，所以在上是增函数，

，即，所以在上是增函数，

所以，即在上恒成立.

当时，因为在是增函数，

因为，，

所以在上存在唯一零点，

当时，，在上单调递减，

从而，即，所以在上单调递减，

所以当时，，即.

所以不等式在区间内有解

综上所述，实数的取值范围为.