北师大版本节综合课堂检测

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 3.3指数函数同步练习北师大版高中数学必修一一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）若不等式恒成立，则实数a的取值范围是   A.  B.  C.  D. 指数函数，在R上是减函数，则函数在R上的单调性为A. 单调递增
B. 在上递减，在上递增
C. 单调递减
D. 在上递增，在上递减若，，则函数的图象一定不经过A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限有下列函数：；；；其中指数函数的个数是   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3若函数且的图象经过第二、三、四象限，则一定有A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且设函数，且，若，则      A.  B.  C.  D. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是A.  B.  C.  D. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为    A. 1，2， B. 1， C. 2， D. 函数的图象可能是    A.  B.  C.  D. 函数，且恒过定点，其定点坐标是A.  B.  C.  D. 函数的图象的大致形状是A.  B.
C.  D. 函数的图象的大致形状是      A.  B.
C.  D. 二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．已知函数，，则、满足______．
A.，
B.，
C.
D.函数的单调递减区间是          ．三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）函数的值域是          ，单调递增区间是          ．函数的单调增区间为          ；值域是          定义若函数，则最小值为          ，不等式的解集为          ．函数且的图象恒过定点          ，若该函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数          ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）设b为正实数，若是奇函数．求a，b的值；若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．






 已知定义在R上的函数满足：对任意x，都有，且当时，．求的值，并证明为奇函数；判断函数的单调性，并证明；若对任意恒成立，求实数k的取值范围．






 已知函数且在上的最大值与最小值之和为20，记．
求a的值；
证明；
求的值．






 设函数，且函数的图象关于直线对称．求函数在区间上的最小值；
设，不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．






 已知不等式．求不等式的解集A； 若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围






 函数的定义域为．
Ⅰ设，求t的取值范围；
Ⅱ求函数的值域．







答案和解析1.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查指数不等式，考查指数函数的单调性，二次函数恒成立问题，中档题．
根据指数函数的单调性，将给定不等式等价转化为恒成立，结合二次函数的图象和性质得到a的取值范围．【解答】解：原式变形为：恒成立，
函数是R上的单调递增函数，
恒成立，
即恒成立，
，
解得．
故选B．  2.【答案】C
 【解析】【分析】
本题考查了指数函数的单调性以及幂函数的性质的问题，是基础题．
根据指数函数的单调性判定a的取值范围，从而判定函数的单调性，得出正确选项．
【解答】
解：指数函数在R上是减函数，
，
，
而函数在R上是递增的，
函数在R上递减，
故选：C．  3.【答案】D
 【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数的应用及函数图象的平移，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
由可得函数单调递增，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论．
【解答】
解：由可得函数单调递增，且过第一、二象限，
，，
的图象向下平移个单位即可得到的图象，
的图象一定在第一、二、三象限，一定不经过第四象限，
故选：D．  4.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查指数函数的概念，属于基础题．
根据指数函数的定义和表达式的要求即可得解．【解答】解：形如，且的函数称为指数函数，
只有是指数函数．
故选：B．  5.【答案】C
 【解析】【分析】
本题考查指数函数及其性质，考查函数图像的平移，属于基础题．
根据，且的图象不经过第一象限，可得a的范围，经过第二、三、四象限，则需将的图象向下平移至少大于1个单位，由此可得b的范围．
【解答】
 解：，且的图象是由的图象经过向上或向下平移而得到的，
因其图象不经过第一象限，所以．
又因为经过第二、三、四象限，
所以需将的图象向下平移至少大于1个单位，
即．
故选C．  6.【答案】A
 【解析】【分析】本题考查指数型函数性质，属于基础题．
先求出函数的解析式，再求出函数值比较大小即可．

【解答】解：由题意可得，，
，
则．
故选A．  7.【答案】B
 【解析】【分析】本题考查分段函数的值域问题，涉及指数函数的性质，属基础题．
分段研究函数值域，考虑何时取并集之后符合要求，列关于a的不等式组，即可得解．【解答】解：由于时，， ，
要使的值域为R，则，解得．
故选B．  8.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查了新定义的理解和应用，要求学生掌握利用分离常数法求函数的值域的方法，是中档题．
分离常数法化简，根据新定义即可求得函数的值域．【解答】解：因为，
而，，，
则，，
所以．
当时，；
当时，．
综上可知，函数的值域为．
故选D   9.【答案】D
 【解析】【分析】本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数的图象可以看成把函数的图象向下平移个单位得到的，
当时，函数在R上是增函数，且图象过点，故排除A，B；
当时，函数在R上是减函数，且图象过点，故排除C．
故选D．  10.【答案】D
 【解析】解：令，解得：，
此时
故函数恒过定点，
故选：D．
根据，求出对应的x，y的值即可．
本题考查了指数幂的性质，考查函数恒过定点问题，是一道基础题．
 11.【答案】D
 【解析】【分析】本题考查分段函数及指数函数的图象和性质，属于基础题．
先将函数写成分段函数的形式，然后利用指数函数的性质求解．【解答】解：因为 ，
由指数函数的性质知：在函数单调递减，在单调递增，
观察四个图象只有D符合．
故选D   12.【答案】D
 【解析】【分析】
本题考查了指数函数的图象与性质，考查了函数的单调性，属于基础题．
先将函数转化为：，判断出单调性，进而求出结果． 
【解答】
解：将函数化简为：， 
， 
在上减函数， 在上增函数．
故选D．  13.【答案】
 【解析】【试题解析】【分析】
本题考查一元二次不等式恒成立问题，以及指数函数的性质，属中档题．
函数在上是减函数，恒成立等价于，求m取值范围．
【解答】解：原不等式变形为，
因为函数在上是减函数，
所以．
当时，恒成立等价于，解得．
故答案为．  14.【答案】ABC
 【解析】解：，故A正确，
为增函数，则，成立，，，故B正确，
，故C正确，
，故D错误，
故答案为：ABC．
根据函数解析式分别代入进行验证即可．
本题主要考查函数解析式的应用，结合指数幂的运算法则是解决本题的关键．
 15.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性，属于基础题．
利用复合函数的单调性求解，先将函数转化为两个基本函数，，由同增异减的结论求解．【解答】解：令，
在上是增函数，上是减函数，
又是减函数，
根据复合函数的单调性可知：
函数的单调递减区间为，
故答案为：．  16.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查配方法求二次函数的值域、指数函数和复合函数的单调性，属于基础题．
，根据可得函数的值域；根据复合函数单调性的求法可得函数单调性．【解答】解：，R，，，
函数的值域为
在单调递增，在R上单调递增，
的单调递增区间为．
故答案为；．  17.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了复合函数单调性和值域的求解，复合函数值域的求解方法通常用换元法，其中需要注意的是要准确求得新元的范围，解题中用到了整体思想．
先令，则函数在单调递减，在单调递增，利用复合函数单调性的求法可得答案；根据函数的值域，可得原函数的值域．【解答】解：令，其对称轴为，且开口向上，由二次函数性质得：函数在单调递减，在单调递增，且；
又函数为单调递减函数，所以由复合函数单调性判断法则得：原函数的单调增区间是；因为，
所以原函数的值域为．
故答案为；．  18.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查分段函数的运用，考查新定义的理解和运用，同时考查一次函数与指数函数的单调性及应用，属于中档题．
在中，令，得x的值，对x讨论，即可求的最小值，讨论和，即可求解
【解答】
解：令，解得，
即为增函数，为减函数，
当时，，
即，
当时，，
，
故的最小值为，
当，解得，
当，解得，
故不等式的解集为，
故答案为，．  19.【答案】2
 【解析】【分析】本题主要考查了指数型函数过定点问题，考查了指数函数的单调性，是中档题．
令即可求出函数过的定点坐标，根据函数在区间上的最大值与最小值在区间端点处取得，得到，从而求出a的值．【解答】解：，
令得：，此时，
函数的图象恒过定点，
函数在区间上的最大值与最小值的差为2，
，
，
整理得，
或，
解得或，
又且，
．
故答案为：；2．  20.【答案】解：定义域为R的函数是奇函数．
，解得．
令，则，解得．
．
检验：其定义域为R，
且
，
是奇函数．，．
由得：．
在R上单调递增，在R上单调递减，
在R上单调递减．
由对任意的，不等式恒成立，

，化为，
．
的取值范围为
 【解析】本题考查了函数的奇偶性与单调性、指数函数的运算性质，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
由定义域为R的函数是奇函数可得，，联立即可解得a，b，并验证即可．
由得：，利用在R上单调递增，可得在R上单调递减再利用奇偶性可得：对任意的，不等式恒成立，求解即可．
 21.【答案】解：令，得 ，所以 ．
证明： 令，得，
所以，所以为奇函数．
设
，
时，，又，

即当时
是R上的增函数．
由题知：，
即，
又是定义在R上的增函数，
所以对任意恒成立，
所以，
即，
令，，
则，所以，
当 时，，
所以．
即实数k的取值范围为．
 【解析】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性和奇偶性的判断及应用，不等式恒成立问题．
先利用赋值法，求证，令即可求证；
设，由已知条件得即，判断的正负结合单调性定义即可证明；
由函数的奇偶性和单调性，可将不等式转化为，利用换元法令，转化为求关于t的二次函数的最值即可．
 22.【答案】解：函数且在上单调递增或单调递减，
所以舍去，
即
由知
所以
；
由知，

，
所以原式．
 【解析】本题考查指数与指数幂的运算，考查指数函数的性质，属于中档题．
利用指数函数的单调性即可；
利用指数幂的运算即可；
寻求规律易得结果．
 23.【答案】解：因为关于直线对称，所以，故  ，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，  的最小值为 可化为，化为，令，则， 因故，记，其对称轴为，因为，
故当时，取得最小值，，所以k 的取值范围是．
 【解析】本题考查指数函数和二次函数的性质，同时考查不等式恒成立问题．利用二次函数的性质求出t，进而求出在上的最小值；由不等式在上恒成立，分离参数k，构造函数，借助二次函数的性质求出函数的最小值，求出k的取值范围．
 24.【答案】解：由已知可得：
因此，原不等式的解集为；令，则原问题等价于，且，令可得，当时，即当时，函数取得最小值，即，．因此，实数m的取值范围是．
 【解析】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了指数不等式恒成立问题，将问题转化为二次不等式在区间上恒成立是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题．利用对数函数的单调性以及真数大于零得出关于实数x的不等式组，解出即可；令，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数m的取值范围．
 25.【答案】解：Ⅰ在上单调递增，
；
Ⅱ 函数可化为：，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
比较得，
，，
函数的值域为
 【解析】本题考查了指数函数的值域的求法，指数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，属于中档题．
Ⅰ由题意，可先判断函数，单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；
Ⅱ由于函数是一个复合函数，可由，将此复合函数转化为二次函数，此时定义域为，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数的值域．