数学本节综合同步达标检测题

4.2实际问题的函数建模同步练习北师大版高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量微克与时间小时之间近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为 

A. 4小时 B. 小时 C. 小时 D. 5小时

2. 某企业准备投入适当的广告费给甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量万件与广告费万元之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完，若每件甲产品售价元定为“平均每件甲产品所占生产成本的”与“年平均每件甲产品所占广告费的”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为   

A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元

3. 国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的纳税；超过4000元的按全部稿酬的纳税．已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费扣税前为

A. 2800元 B. 3000元 C. 3800元 D. 3818元

4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为

A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

5. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了参考数据：       

A.  B.  C.  D.

6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为参考数据   

A. 60 B. 62 C. 66 D. 63

7. 已知函数，则

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

8. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为 

A. 15 B. 40 C. 25 D. 130

9. 已知函数，当时，，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，若，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为

A.  B.  C.  D.

12. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了    参考数据：

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为不超过按起步价付费；超过但不超过时，超过部分按每千米元收费；超过时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了          km．
14. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超出800元部分的纳税；超过4000元的按全稿酬的纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为______元．
15. 已知函数，若，，则实数m的取值范围是______．
16. 已知，不等式在上恒成立，则a的取值范围是______．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 设函数，则      ；若，则实数m的取值范围是      ．
18. 太阳光通过一层普通玻璃时，其中的紫外线只会损失原来强度的，而通过某型号的防紫外线玻璃则能将其中的紫外线过滤为原来强度的设太阳光中原来的紫外线的强度为，通过x层普通玻璃后紫外线强度为y，则y与x的之间的函数关系是          N要达到上述型号的防紫外线玻璃的过滤效果，至少需要的普通玻璃层数为          ．
    参考数据：．
19. 已知，函数，当时，不等式的解集是          若函数恰有2个零点，则的取值范围是          ．
20. 某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润单位：元与时间，单位：天之间的函数关系式为，且日销售量单位：箱与时间t之间的函数关系式为．

第4天的销售利润为          元；

在未来的这20天中，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象．为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，则m的最小值是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

21. 节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中n是指改良工艺的次数．
    试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
    依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．参考数据：取
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示的面积，求函数的解析式．
     

23. 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备改造设备时间不计，一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间n个月的二次函数是常数，且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
    求前8个月的累计生产净收入的值；
    问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．
    
    
    
    
    
    
     
24. 声音通过空气的振动所产生的压强叫声压强，简称声压，单位为帕把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级．声压级以符号表示，单位为分贝，公式为：声压级，式中为待测声压的有效值，为参考声压，在空气中参考声压一般取值根据上述材料，回答下列问题．
    若某两人小声交谈时的声压有效值，求其声压级；
    已知某班开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90dB，求此时该班教室内声压的有效值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 素有“钒钛之都”美称的中国西部某城市矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的和，占全球的和攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值值越大产品的性能越好与这种新合金材料的含量单位：克的关系为：当时，y是x的二次函数；当时，测得部分数据如下表：

求y关于x的函数关系式；

求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．






 

26. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图注：利润和投资单位：万元
    
    分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
    已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．
根据图象先求出函数的解析式，然后解不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．

【解答】

解：由题意，当时，函数图象是一条线段，
由于图象过原点与点，
故其解析式为，；
当时，函数的解析式为，
此时在曲线上，
将此点的坐标代入函数解析式得，
解得，
故函数的解析式为，．
所以．
当时，令，解得，
当时，令，解得，
服药一次治疗疾病有效的时间为个小时．
故选C．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
根据所给函数关系式，结合利润收入成本，即可作答．
【解答】
解：当广告费为1万元时，，产品的生产成本为万元，
每件产品的销售价格为元，
因此年收入为万元，
年利润为万元
故选：B．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
先求出纳税额元与稿费元之间的函数关系，分别求出和的x值，即可得到答案．

【解答】

解：由题意知，纳税额元与稿费元之间的函数关系式为
令，解得，
令，得舍去．
故这个人应得稿费扣税前元，
故选C．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题．
根据所给材料的公式列出方程，即可得解．

【解答】

解：由已知，，当时，标志着已初步遏制疫情，
可得，解得，
两边取对数有，
解得，
故选：C．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查对数的运算，属于基础题．
C的增加值，利用对数的运算求得结果，再由利用运算法则以及换底公式求得结果．
【解答】
解：C的增加值为，
所以增加的百分比为，
故选A．  

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题．
根据所给材料的公式列出方程，解出即可．
【解答】
解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得．
故选D．  

7.【答案】C
 

【解析】解：函数，
，
．
故选：C．
推导出，从而，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数，在解答的过程当中充分体现了应用题的特性、分段函数的知识以及问题转化的思想，属于基础题．
已知函数值求自变量的问题，分类讨论求解即可．

【解答】

解：令，若，则，不合题意；
若，则，满足题意；
若，则，不合题意．
故拟录用人数为25．
故选：C．

9.【答案】A
 

【解析】解：函数当时，，在上单调递减；
在每段上都递减，再根据减函数的定义可得：
；
解得；
的取值范围为
故选：A．
判断函数是单调减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得出a的取值范围．
考查分段函数的应用，一次函数、对数函数的单调性，以及减函数的定义，分段函数单调性的判断．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：若，则，则，
若，则，则，
故，
则函数为偶函数，且当时，函数单调递增，
则不等式等价为，
即，
即，
则，
解得，
故选：C．
根据条件判断函数的奇偶性和单调性，把不等式转化为进行求解即可．
本题考查分段函数求值及不等式的解法，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：根据题意，，
则，即函数为偶函数，
且，则函数在上为增函数，
，又由，
则，
故选：B．
根据题意，分析可得为偶函数且在上为增函数，进而又由，且，分析可得答案．
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及分段函数的解析式，注意分析的奇偶性与单调性，属于基础题．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了对数运算，考查了实际运用能力和计算能力，属于基础题．
取值为1000和5000分别代入进行计算即可求解．

【解答】

解：由题意，当时，，
当时，，
则C增加的百分比为：

．
故选B．

13.【答案】9
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的实际应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
设出租车行驶时，付费y元，则令即可求解．

【解答】

解：设出租车行驶时，付费y元，
则
由，当时，，
所以令，
解得．
故答案为9．

14.【答案】3800
 

【解析】解：由题意，纳税额y与稿费x函数关系为，
由于此人纳税420元，令，解得元
令，得舍去，
故可得这个人应得稿费扣税前为3800元．
故答案为：3800．
分析知，纳税额与稿费的关系可以用一个分段函数来描述，求出函数的解析式再根据函数的解析式由纳税额为420元建立方程求出稿酬即可．
本题考查分段函数的应用，求解的关键是正确理解所给的实际问题建立起符合实际的函数的模型，本题考查建立函数模型的能力．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，当直线与相切时，
由，可得，
由，解得，正值舍去，
即直线的斜率为，
当直线与相切时，设切点为，
则切线斜率为，
则切线方程为
代入点，可得，．
即直线的斜率为2e，
故实数m的取值范围是．
故答案为：．
求出直线与相切时m的值和直线与相切时m的值，结合图象，即可得实数m的取值范围．
本题考查了分段函数的图象问题，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：作出分段函数的图象如图，

要使不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
，解得：．
故答案为：．
作出分段函数的图象，由图象得到函数的单调性，然后把不等式在上恒成立转化为不等式求解．
本题考查了恒成立问题，考查了分段函数的应用，解答此题的关键是把恒成立问题转化为含a的不等式，是中档题．
 

17.【答案】0

【解析】解：根据题意，函数，
则，则，
对于，分3种情况讨论：
，当时，，，符合题意；
，当时，，则，
若，即，
又由，解可得，
此时m的取值范围为；
，当时，，
当时，，此时，满足，
当时，，分析可得：，
此时恒成立，
此时m的取值范围为；
综合可得：m的取值范围为；
故答案为：0，
根据题意，由分段函数的解析式可得，进而计算的值即可得答案；对于，按m的取值范围分3种情况讨论，分别求出每种情况下不等式解集，综合三种情况即可得答案．
本题考查分段函数的应用，涉及函数值的求法，注意分段函数解析式的形式，是基础题．
 

18.【答案】

11

【解析】

【分析】

本题考查函数模型应用，考查对数运算，考查运算求解能力，属于拔高题．
通过1块后强度为：，通过2块后强度为：，，由此规律可得过x层普通玻璃后紫外线强度为；由题意得，化得，求解即可．

【解答】

解：由题意通过1块后强度为：，
通过2块后强度为：，

经过x块后强度为：；
由题意得，化得，
两边同时取常用对数，可得，
因为，所以，
则至少通过11块普通玻璃，
故答案为；11．

19.【答案】

，

【解析】

【分析】

本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，属于中档题．
利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．

【解答】

解：当时函数
显然时，不等式的解集：；
时，不等式，
化为：，解得，
综上，不等式的解集为：．
函数恰有2个零点，
函数的草图如图：

函数恰有2个零点，则或．
故答案为：；，．

20.【答案】1232

5

【解析】

【分析】
本题主要考查函数模型的运用，涉及到二次函数的性质，属于中档题．
先根据条件列出每天的销售利润与时间t的函数关系式，将代入即可求出第4天的销售利润；求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可得解．
【解答】
解：设每天的销售利润为w元，
则由条件可知：，
当时，则有元；
设捐赠之后每天的利润为Q元，
则，
设
因为是关于t的二次函数，且对称轴为，
要使捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，
则有，解得：，，
所以m的最小值为5，
故答案为．  

21.【答案】解：由题意得，，
所以当时，，
即，解得，
所以，
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为；
由题意可得，，
整理得，，即，
两边同时取常用对数，得，
整理得，
将代入，得，
又因为，所以，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．
 

【解析】由题意得，，所以当时，，解得，所以，
由题意可得，，即，解不等式，即可解，所以至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．
本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
 

22.【答案】解：当点P在BC上运动，即时，；
当点P在CD上运动，即时，；
当点P在DA上运动，即时，．
综上可知，
 

【解析】的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解即可．
本题主要考查了分段函数式的求法，背景是动点的轨迹特征不同，三角形的面积也会随着变化，其中蕴藏着函数的思想方法，属于中档题．
 

23.【答案】解：据题意，解得，
，
第5个月的净收入为万元，
所以，万元．
即
若不投资改造，则前n个月的总罚款，
令，
得：．
显然当时，上式不成立；
当时，，即，
又，解得．
所以，经过9个月投资开始见效．
 

【解析】根据计算k，再计算和，于是；
求出投资前后前n个月的总收入，列不等式解出n的范围即可．
本题考查了分段函数的应用，数列求和，属于中档题．
 

24.【答案】解：由声压有效值，
根据
两人小声交谈时声压级为40dB
根据声压级，
可得帕．
教室内最高声压级达到90dB，此时该班教室内声压的有效值为帕．
 

【解析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的应用，考查学生的计算能力．
利用公式，代入帕，即可求得结论；
利用公式，代入，即可求得结论．
 

25.【答案】解：当时，y是x的二次函数，可设，
由，，可得，由，，即，
由，，可得，解得，，
即有；
当时，，
由，，可得，即有；
综上可得；
当时，，
即有时，取得最大值12；
当时，递减，可得，
当时，取得最大值3．
综上可得当时产品的性能达到最佳．
 

【解析】本题考查函数的解析式的求法，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．
当时，y是x的二次函数，可设，利用已知条件求出a，b，c得到函数的解析式当，求出m，则分段函数解析式可得．
利用分段函数求出函数的最值，推出结论．
 

26.【答案】本题考查函数模型的应用，二次函数求最值，属中档题．
设出函数解析式，根据图象，即可求得答案；
确定总利润函数，换元，利用配方法可求最值；
 

【解析】解：根据题意可设，．
由图知：，，
则，．
设B产品投入x万元，A产品投入万元，
该企业可获总利润为y万元．
则，，
令，，
则．
所以当时，，此时，．
所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为万元．