河北省正定中学2021届高三上学期第三次半月考数学试题+Word版含答案

河北正定中学高三第三次半月考试卷

数    学

(考试时间:120分钟  分值:150分)

一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，1--8题为单选题，9—12为多选题)

1．已知集合，，则（     ）

A．   B．      C．    D．

2．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（     ）

A．1   B．   C．    D．

3.已知直线在轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线的方程是（    ）

A． B．或

C．或 D．

4．能够把椭圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（     ）

A．      B．

C．     D．

5．设，是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中正确的是（     ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．  C．  D．

7.已知函数的定义域为，对任意实数恒成立，若真，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9.(多选)设等差数列的前n项和是，已知，，正确的选项有（    ）

A．， B．

C．与均为的最大值 D．

10.(多选)若，则下列不等式中不一定成立的是（　　）

A． B．

C． D．

11.(多选)在正方体中，如图，分别是正方形，的中心.则下列结论正确的是（    ）

A．平面与的交点是的中点

B．平面与的交点是的三点分点

C．平面与的交点是的三等分点

D．平面将正方体分成两部分的体积比为1∶1

12.(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是周期为的奇函数 

B．在上为增函数

C．在内有21个极值点

D．在上恒成立的充要条件是

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13.已知平面向量，满足，，，则＝__________．

14.已知数列{}满足，，，则·的值为               .

15.已知函数，.若该函数图像的对称轴与函数图像的对称轴完全相同，则______.若函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，则的最小值是______.

16.已知点是曲线上任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，点是曲线上任意一点，则的最小值为__________．

三、解答题（本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17（本小题满分10分）．(开放题)在锐角△ABC中，,________，求△ABC的周长l的范围．

在①且，

②，③,

注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．

18.（本小题满分12分）已知数列满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝(n∈N*).

（1）

（2），

19（本小题满分12分）．在中，，．已知E，F分别是BC，AC的中点．将沿EF折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成二面角的大小．

20（本小题满分12分）．红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害．每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中，

（1）根据散点图判断，与（其中e=2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．（计算结果精确到小数点后第三位）

（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为．

（ⅰ）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率．

（ⅱ）当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．

21（本小题满分12分）．设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限．与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值．

22（本小题满分12分）．已知函数，其中，，2.71828．．．为自然对数的底数．设是的导函数．

（1）若时，函数在处的切线经过点，求的值；

（2）求函数在区间上的单调区间；

（3）若，函数在区间内有零点，求的取值范围．

河北正定中学高三第三次半月考试卷答案

数    学

1-6:CABBCD 

7.【详解】由于命题为真命题，则命题、均为真命题.

若命题为真命题，则，解得.

若命题为真命题，构造函数，则，且.

（1）当时，对任意的恒成立，此时，函数单调递增，

且当时，，不合乎题意；

（2）当时，恒成立；

（3）当时，令，得.

当时，，当时，.

，即，解得.

所以，当命题为真命题时，.

因此，实数的取值范围是.

故选A.

8.A  构造函数，

则，，，

当时，，当时，

，所以在上单调递增，

得，，在上恒成立，

设，，

当时，，单调增，当时，，单调减，

，所以

故选: A.

9．CD【解析】对于A选项，，

，则，，所以，，则，

A选项中的不等式成立；

对于B选项，，，则，

所以，，B选项中的不等式成立；

对于C选项，，

若，则，，则，

此时，C选项中的不等式不成立；

对于D选项，，

，则，则，D选项中的不等式不成立.

故选：CD.

10．ABD【解析】根据题意，等差数列的前n项和是，且，，

则，即，

，即，则；

故等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，则，.

则有为的最大值.故A，B，D正确；故选：ABD.

11．BC【解析】如图，取的中点，延长，，并交于点，

连接并延长，设，，

连接并延长交于点.连接，，

则平面四边形就是平面与正方体的截面，如图所示.

，

为的中位线，为中点，连，

，三点共线，取中点，连，

则，，

为中点，

分别是正方形的中心，

所以点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点，

点是线段靠近点的三等分点.

做出线段的另一个三等分点，做出线段靠近的三等分点，

连接，，，，，所以

从而平面将正方体分成两部分体积比为2∶1.故选:BC.

12．BD【解析】的定义域为R，，是奇函数，

但是，

不是周期为的函数，故选项A错误；

当时，，，单调递增，

当时，，，单调递增，

且在连续，故在单调递增，故选项B正确；

当时，，，

令得，，

当时，，，

令得，,

因此，在内有20个极值点，故选项C错误；

当时，，则，

当时，，

设，，

令，

，单调递增，，

，在单调递增，又由洛必达法则知：

当时，，故答案D正确.

故选：BD.

13.【答案】

【详解】 两边平方得到：，即

故答案为：

14. 【答案】

【详解】，，，

当为奇数时：化简得到，隔项成等差数列.

设，，故

当为偶数时：化简得到，隔项成等比数列.设，，故

故·

15.【答案】2；

【详解】的周期，的周期也是

所以；的增区间为，

减区间，

令，的增区间，

令，的减区间为，

令，

所以，且①，

令，

所以②

由①②及知，的最小值是.

故答案为：2；.

16.【答案】

【详解】如图所示： ， 即求最小值

设，则

设函数，

，单调递增

故在上单调递减，在上单调递增.

，的最小值为

当，共线时，有最小值为,故答案为

17．（本小题满分10分）

【解析】若选①，∵且

....................3分

......................6分

.........10分

②∵

..................3分

.....................6分

....................10分

③

，...............................3分

.........................5分

...............7分

.....................10分18．（本小题满分12分）

【解析】（1）当n＝1时，,当时a1＋a2＋a3＋…＋＝②

得............4分   经检验不符合上式.............5分................6分

(2)由（1）得当n＝1时

当时....................8分

∴...10分

...............12分

19．（1）F是AC的中点，．设的中点为G，连接FG．

设的中点为H，连接GH，EH．易证：，，

即为二面角的平面角．

，而E为BC的中点．

易知，为等边三角形，．①

，，，平面．

而，平面，，即．②

由①②，，平面．

，分别为，的中点．

，四边形EHGF为平行四边形．

，平面，又FG平面．

平面平面．

（2）如图，建立空间直角坐标系，设AB=2．

则，，，，．

显然平面的法向量，

设平面的法向量为，，，

.

，

由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角．

平面与平面所成二面角大小为45°．

20．解：（1）根据散点图可以判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型．

对两边取自然对数得，令，，，

得．因为，

所以，

所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为．

（2）（ⅰ）由，得，

因为，令得，解得；

令得，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以有唯一极大值，也为最大值．

所以当时，，此时相应的概率．

（ⅱ）由（ⅰ）知，当取最大值时，，所以，

所以，．

21．解：（1）设椭圆的焦距为，由已知得，，

所以，椭圆的方程为．

（2）设点，，由题意，且

由的面积是面积的3倍，可得，

所以，从而

所以，即．

易知直线的方程为，由消去，可得

由方程组消去，可得．

由，可得，

整理得，解得，或．

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，舍去．所以的值为．

22．解：（1）时，，，

切线斜率，切点坐标 切线方程

切线经过点，

（2） ．

在单调递增，

，即时，，所以单调递增区间为

②当，即时，，所以单调递减区间为

③当时，令，得，

令，得，令，得，

函数单调递减区间为，单调递增区间为

综上①②③可得：

当时，单调递增区间为；

当时，单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，单调递减区间为．

（3）由得：，

由已知，设为在区间内的一个零点，

则由可知，在区间上至少有三个单调区间．

在区间内存在零点，在区间内也存在零点．

在区间内至少有两个零点．

由（2）可知，

当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意．

当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意．

，

此时在区间上单调递减，在区间上单调递增

令， ，

令

，令得；

令得；

在单调递增，在单调递减．

在恒成立．

即在时恒成立．

由得，的取值范围是．