北师大版必修2本节综合当堂达标检测题

1.7简单几何体的再认识同步练习北师大版高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A.  B.  C.  D.

2. 轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是

A. 1：2 B. 2：3 C. 1：3 D. 1：4

3. 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为

A.  B.  C.  D.

4. 一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没在底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了

A.  B.  C.  D.

5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为   

A.  B.  C.  D.

6. 某几何体三视图如图，则该几何体体积为

A.
B.
C. 1
D.

7. 某圆锥的母线长为2，底面半径为1，则其表面积为   

A.  B.  C.  D.

8. “堑堵”是中国古代数学名著九章算术中记载着的一种多面体．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于 

A. 12
B. 8
C. 6
D. 4

9. 在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为

A.  B.  C.  D.

10. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为

A.  B.  C.  D.

11. 三棱柱的侧棱和上各有一动点P，Q满足，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为

A. 3：1
B. 2：1
C. 4：1
D.

12. 在等腰梯形ABCD中，，，E为AB中点，将与分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合点为F，则三棱锥的外接球体积为

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知三棱锥中，AB，AC，AD两两相互垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为          ．
14. 圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为______．
15. 已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为______
16. 如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知是绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是______．
    动点在平面ABC上的射影在线段AF上；
    平面；
    三棱锥的体积有最大值．
     

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 已知某个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为          ，表面积为          

18. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为       ， 表面积为       ．

四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

19. 如图所示，在三棱柱中，，，，D为AB的中点，且．
    求证：平面ABC；
    求三棱锥的体积．
    
     

20. 如图，中，，ABED是边长为1的正方形，平面底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．
    求证：底面ABC；
    求证：平面平面EBC；
    求几何体的体积V．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图所示，在三棱柱中，侧面为菱形，，，侧面为正方形，平面平面点M为的中点，点N为AB的中点．
    

证明：平面；

求三棱锥的体积．






 

22. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，点E在线段AD上，且．
     

求证：平面

若，，，求四棱锥的体积．






 

23. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，点E在线段AD上，且．
     

求证：平面PAD；

若，，，求四棱锥的体积．






 

24. 如图所示的是一个正四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥，其中，，F为线段BC的中点，EO是正四棱锥的高．
     

求正四棱锥的表面积；

求正四棱锥的体积．






 

25. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，垂足为E，，垂足为F．
    求证：平面EFD；
    若，求平面BDE将四棱锥分成的两部分体积之比．

26. 如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，，平面将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点到达点Q的位置，且平面平面ABD．
    求证：平面QBD；
    若，求多面体ABDQP体积．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．属于基础题．
根据三视图可知，该几何体是四棱锥右侧内部挖去一个半圆锥，圆锥的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高也为2，利用棱锥和圆锥的体积公式求解．
【解答】
解：根据三视图可知，该几何体是四棱锥右侧内部挖去一个半圆锥，圆锥的底面半径为1，高为2，
四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高也为2，
则该几何体的体积为．
故选C．  

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆柱体的表面积，考查了学生的分析能力，计算能力，属于基础题．
利用圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的高为h，底面半径为r，即，由此即可求出其侧面积与全面积，即可求解．
【解答】
解：由于圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的高为h，底面半径为r，
即；
所以圆柱的侧面积为：；全面积为：；
即圆柱的侧面积与全面积的比为：：：3．
故选：B．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．
由三角形全等可得，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．
【解答】
解：，，AD为公共边，

又，即，，
设AD的中点为O，则，
为棱锥的外接球的球心．
，，
当时，取得最小值8，即AD的最小值为，
棱锥外接球的最小半径为，
外接球的最小体积为．
故选：C．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查球的体积和圆柱的体积的求解，属于基础题．
由题意球的体积等于水面下降高度那部分圆柱体的体积，由此列式即可求解本题．

【解答】

解：设水面下降了hcm，由题意，知，
解得．
故选D．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查空间几何图的三视图，考查空间几何体的体积公式应用，属基础题．
结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为2，高为的正四棱锥，上半部分是一个直径为2的半球，根据体积公式计算即可．
【解答】
解：结合三视图可得该几何体是一个组合体，
下半部分是一个底面边长为2，高为的正四棱锥，
上半部分是一个直径为2的半球，
所以该几何体的体积为：，
故选A．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了三视图与直观图的应用问题，也考查了空间想象能力与转化能力，是基础题．
由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，由此求出它的体积．
【解答】
解：由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，如图所示；

则该三棱锥的体积为．
故选：B．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键，是基础题．
根据已知中圆锥的底面半径和母线长，代入圆锥的表面积公式，可得答案．
【解答】
解：圆锥的底面半径，母线长，
圆锥的表面积，
故选C．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查简单几何体的三视图，以及棱柱的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，属中档题．
由三视图还原几何体知，该“堑堵”是一个以正视图为底面的直三棱柱，从而利用三视图的数据求解即可．
【解答】
解：由已知可得该“堑堵”是一个以正视图为底面的直三棱柱，

则其体积为，
故选C．  

9.【答案】B
 

【解析】解：如图，作出圆锥的轴截面，设内接圆柱的高为h，底面半径为，
则根据三角形相似，可得，可得，
内接圆柱的侧面积为，
当且仅当时，侧面积有最大值
故选B
作出圆锥的轴截面，设内接圆柱的高为h，底面半径为r，利用平面几何知识算出，从而得到侧面积关于r的二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质即可得到侧面积的最大值．
本题求圆锥内接圆柱的侧面积的最大值，着重考查了圆柱圆锥的简单性质和二次函数求最值等知识点，属于中档题．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：几何体的直观图如图：

是三棱柱，底面边长与侧棱长都是2，
几何体的表面积为：．
故选：D．
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，是基本知识的考查．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：设三棱柱的体积为V
侧棱和上各有一动点P，Q满足，
四边形PQBA与四边形的面积相等
故四棱椎的体积等于三棱锥的体积等于
则四棱椎的体积等于
故过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2：1
故选B
由已知中三棱柱的侧棱和上各有一动点P，Q满足，我们可得四边形PQBA与四边形的面积相等，等于侧面的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱椎的体积转化三棱锥的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出四棱椎的体积，进而得到答案．
本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中根据四边形PQBA与四边形的面积相等，等于侧面的面积的一半，将四棱椎的体积转化三棱锥的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出上下两部分的体积，是解答本题的关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】本题主要考查了正四面体的外接球，是中档题．
由题意可得三棱锥是正四面体，且每条边长为1，把正四面体放入正方体中，利用正方体的外接球即可求出三棱锥的外接球半径，从而得到三棱锥的外接球体积．

【解答】
解：由题意可得三棱锥是正四面体，且每条边长为1，
则正四面体所在的正方体的棱长为，
所以外接球的半径为，
所以外接球体积为：，
故选：D．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题，求出球的半径是解答的关键．
三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也内接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．

【解答】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，
所以把它扩展为长方体，
它也外接于球，对角线的长为球的直径，，
它的外接球半径是，
外接球的表面积是，
故答案为．  

14.【答案】2
 

【解析】解：法一、如图，

，，
设，则，，
．
当，即时，截面面积的最大值为2；
法二、由高，底面半径，
可知母线长，两母线夹角的最大值等于，
设过圆锥顶点的截面的两母线得夹角为
则截面面积，当时，S有最大值为2．
故答案为：2．
法一、由题意画出图形，，把截面面积化为关于x的函数求解；
法二、由已知求出圆锥的母线长及两母线所成夹角的最大值，代入三角形面积公式求得截面面积的最大值．
本题考查圆锥截面面积最值的求法，考查函数与方程思想的应用，是中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设正三棱锥的底面边长为2a，高为h，如图所示：
则圆柱高为，底面圆半径为，
利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径．
由，可求得．
设正三棱锥的外接球的半径为r，
则球心到底面距离为，，
利用勾股定理，
可得，故，
故答案为：．
设正三棱锥的底面边长为2a，高为h，则圆柱高为，底面圆半径为，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径R，再求出正三棱锥的外接球的半径为r，即可求出结果．
本题主要考查了几何体的外接球，是中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，
为AF和DE的中点，且于G点
则与均为等边三角形，
且
又，，平面
平面
又由平面ABC
平面平面
故动点在平面ABC上的射影在两个平面的交线线段AF上；故正确
由，当平面，即与A，F两点不重合时，平面；
但与A，F两点重合时，平面；故错误
当平面平面时，三棱锥的高取最大值，三棱锥的体积取最大值．故正确
故正确的命题有
故答案为：
根据已知结合等腰三角形三线合一，线面垂直及面面垂直的判定定理，可证得平面平面，进而根据面面垂直的性质可判断；由与A，F两点重合时，平面可判断；当平面平面时，三棱锥的高取最大值，三棱锥的体积取最大值，可判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了直线与平面平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定与性质，棱锥的体积，难度不大，属于基础题．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查空间几何体的三视图和空间几何体的表面积与体积，属于基础题．
根据三视图可得该几何体是底面为正方形的四棱锥，面面四棱锥的高为，底面正方形的边长为20，
再由棱锥的体积公式和表面积公式即可求解；
【解答】
解：根据三视图可得该几何体是底面为正方形的四棱锥，
如图，面面四棱锥的高为，底面正方形的边长为20，

所以此四棱锥的体积为
所以

   
故答案为，     

18.【答案】12

36

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．

【解答】

解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，底面面积，
高，故体积，表面积为，

故答案为12；36．

19.【答案】证明：，D为AB的中点，，
又，平面．
又，，平面ABC．
解：由知平面，故CD是三棱锥的高．
在中，，，又，

．
 

【解析】证明，，推出平面得到结合，推出平面ABC．
通过，转化求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
 

20.【答案】解：证明：连接AE，如下图所示．

为正方形，
，且F是AE的中点，
又G是EC的中点，
，又平面ABC，平面ABC，
平面ABC．
证明：为正方形，，
又平面平面ABC，平面平面，平面ABED，
平面ABC，．
又，
，
．
又，平面BCE．
取AB的中点H，连GH，，
，且，又平面平面ABC，
平面ABCD，．
 

【解析】本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．
连接AE，证明，即可证明平面ABC．
证明利用直线与平面垂直的判定定理证明平面BCE．
取AB的中点H，连GH，说明平面ABCD，然后利用体积个数求解即可．
 

21.【答案】证明：连接，，
因为为菱形，点M为的中点，
所以．
又点M为的中点，点N为AB中点，
所以，
而平面，平面，
所以平面；
解：侧面为菱形，，
为等边三角形，．
取AC的中点H，连接，则．
又平面平面ABC，平面平面，
平面，
平面ABC，平面ABC，
．
而为正方形，．
又，，
又，和在平面上，
平面，
又的面积，
．
 

【解析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，考查三棱锥的体积公式，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
连接，，由题可得根据点M为的中点，点N为AB中点，即可得到，再根据线面平行的判定定理即可得证平面；
根据侧面为菱形可知，即可得到为等边三角形，取AC的中点H，连接，则再证明，，根据线面垂直的判定定理即可得平面，求出的面积，根据即可得到三棱锥的体积．
 

22.【答案】证明：底面ABCD，平面ABCD，
，
，，
，
又，平面PAD，平面PAD，
平面PAD．
，，，
四边形ABCE是矩形，
，，
又，
，
，即，

．
 

【解析】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
由，，即可得出平面PAD；
计算DE，得出BC，代入棱锥的体积公式计算即可．
 

23.【答案】证明：底面ABCD，平面ABCD，
，
，，
，
又，平面PAD，平面PAD，
平面PAD．
解：，，，
四边形ABCE是矩形，
，，
又，，
，即，
．
 

【解析】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
由，即可得出平面PAD；
计算DE，得出AD，代入棱锥的体积公式计算即可．
 

24.【答案】解：因为，F为线段BC的中点，所以，
因为所以，
所以正四棱锥的表面积为，
因为EO是正四棱锥的高，所以，因为
由知，，
所以，
所以正四棱锥的体积．
 

【解析】本题考查棱锥的表面积及体积的求法，属于较易题．
求出斜高EF即可求解，
求出四棱锥的高EO即可求解．
 

25.【答案】证明：因为底面ABCD为矩形，平面ABCD，平面ABCD，
所以，，
又因为，所以面PDC，而面PDC，
所以，而，，
所以面BCP，而面BCP，
所以，而，，
所以面EFD；
解：，
因为，，
所以E为PC的中点，
因为面ABCD，
所以，
所以，
所以．
平面BDE将四棱锥分成的两部分体积之比为3：1．
 

【解析】先根据线面垂直的判定定理证得面PDC，再利用线面垂直的判定定理证得面BCP，最后再利用线面垂直的判定定理证得结论；
先判断出E为PC的中点，然根据，最后根据，即可求出所求．
本题主要考查了线面垂直的判定定理，以及几何体的体积，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．
 

26.【答案】解：证明：取BD中点H，连接QH，四边形ABCD是边长为4的菱形，，
则为正三角形，所以，而平面平面ABD，
平面平面，平面QBD，
所以平面ABD．
因为平面ABD，所以，平面QBD，所以平面QBD．
依题意，，
由知，平面QBD，
所以点P到平面QBD的距离与点A到平面QBD的距离相等，则，
而，
所以多面体ABDQP的体积为．
 

【解析】取BD中点H，连接QH，即可得平面利用平面ABD，可得，从而证明平面QBD．
依题意有，从而有多面体ABDQP的体积为．
本题考查了空间线面位置关系，几何体体积计算，属于中档题．