北师大版必修3本节综合当堂检测题

1.4数据的数字特征同步练习北师大版高中数学必修三

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
   甲 7  8  10  9  8  8  6
   乙 9  10  7  8  7  7  8
   则下列判断正确的是

A. 甲射击的平均成绩比乙好
B. 乙射击的平均成绩比甲好
C. 甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
D. 甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差

2. 甲、乙、丙三名同学在军训的实弹射击各射击10发子弹，三人的射击成绩如表．，，分别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准差，则

A.  B.  C.  D.

3. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是   

A. 成绩在分的考生人数最多
B. 不及格的考生人数为1000人
C. 考生竞赛成绩的平均分约为分
D. 考生竞赛成绩的中位数为75分

4. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是

A. 平均数中位数众数 B. 平均数中位数众数
C. 中位数众数平均数 D. 众数中位数平均数

5. 甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙成绩的平均数分别为，标准差分别为，则   

A.  B.
C.  D.

6. 下列说法中，正确的是

A. 数据5，4，4，3，5，2的众数是4
B. 一组数据的标准差的平方是这组数据的方差
C. 数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半
D. 频率分布直方图中各小矩形的面积等于相应各组的频数

7. 为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图所示的频率分布直方图由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是，用样本估计总体，则下列描述正确的是
    

A. 甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐
B. 乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐
C. 甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长的整齐
D. 甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐

8. 已知一个样本为x，1，y，5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

9. 高一A班参加合唱比赛，有8位评委，演唱结束后，各位评委打分的平均数为9，方差为3，又加入一个特邀嘉宾的打分为9，此时这9个分数的平均数为，方差为，则

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量单位：分别为，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 

A. ，，，的平均数 B. ，，，的标准差
C. ，，，的最大值 D. ，，，的中位数

11. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是     

A. ，， B. ，
C. ，， D. ，

12. 已知x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是

A.  B.  C.  D. 不存在

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图是某工厂对一批新产品长度单位：检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为          mm．

14. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是          ．
15. 甲、乙两人在我校举行的“传承红色经典，纪念抗美援朝70周年”演讲比赛中，6位评委的评分情况如下方茎叶图所示，其中甲的成绩的中位数是82，乙的成绩的平均数是84，若正实数a，b满足：x，，y成等差数列，则的最小值为________．
16. 若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差_______．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛．已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为          ，分位数是          ．

18. 某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为          ，分位数是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

19. 某城市100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，分组的频率分布直方图如图．
     

求直方图中x的值；

求月平均用电量的众数和中位数；

在月平均用电量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？






 

20. 某城市100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

求直方图中x的值；          

求月平均用电量的众数和中位数；

在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？






 

21. 2021年春天，某市疫情缓解，又值春暖花开，于是人们纷纷进行户外运动．现统计某小区10000人的每日运动时间分钟的频率分布直方图如下．
    Ⅰ求x的值；
    Ⅱ以每个分段区间的中点值代替该区间的平均值，请计算该小区居民户外活动的平均时间．

22. 为调查高一、高二学生心理健康达标情况，某学校采用分层随机抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试满分：10分经初步统计，参加测试的高学生成绩2，3，，的平均分，方差，高二学生的成绩2，3，，的统计表如下：

计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差；
估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差．






 

23. 某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年龄在内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格：
     
    由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在的样本人数比年龄在的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：
     

求该市年龄在的教师人数；

试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数及方差同一组的数据用该组区间的中点值作代表．






 

24. 某中学A、B两名同学最近几次的英语考试成绩记录如下：

A的得分：62，93，81，116，72，98，73，74，87，95，107；

B的得分：83，76，85，98，97，96，89，104，95，115，102．

画出两人英语成绩的茎叶图；

根据茎叶图对两人的成绩进行比较．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查平均数、众数、极差的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、众数、极差的定义的合理运用．
分别求出甲、乙命中的环数的平均数、众数、极差，由此能求出结果．

【解答】

解：甲命中的环数的平均数为：
，
乙命中的环数的平均数为：
，
甲、乙射击的平均成绩相等，故A，B均错误；
甲射击的成绩的众数是8，乙射击的成绩的众数是7，
甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故C错误；
甲射击的成绩的极差为，乙射击的成绩的极差为，
甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，
故选：D．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：，
，
同理可得，，，，
故，
或者观察法：乙的数据比较集中，方差最小，丙的数据比较离散，方差最大，
故选：A．
求出平均数，代入计算方差即可，或者用观察法，判断离散情况估计．
本题考查了求平均数与方差和标准差的问题，基础题．
 

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查频率分布直方图和平均数、中位数、众数的计算，属基础题．
逐项进行分析判断即可得到答案．
【解答】
解：通过频率分布直方图可看到成绩在70分分的人的比重最大，所以人数也最多，所以A正确；
不及格的人数为人，所以B正确；
根据公式算出平均分为，故C正确；
，故中位数在之间，设为x，则，解得，故中位数是，故D错误；
故选D．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了平均数、中位数和众数的计算问题，是基础题．
计算这组数据的平均数、中位数和众数，即可得出它们的大小关系．

【解答】解：一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，
它的平均数为，
中位数为，
众数为50，
它们的大小关系是平均数中位数众数．
故选D．  

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查两组数据的平均数、标准差的大小的判断，考查折线图的性质等基础知识，属于基础题．
通过观察折线图比较两组数据的平均数、标准差的大小．

【解答】

解：由甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图，知：
甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
甲的成绩的波动小于乙的成绩的波动，
甲、乙两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，，
则，．
故选C．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查众数、方差、标准差及频率分布直方图
根据题意逐项进行判断即可得到结果．

【解答】

解：数据5，4，4，3，5，2的众数是4和5，故A错误；
B.方差是标准差的平方，故B正确； 
C. 数据2，3，4，5；数据4，6，8，10是数据2，3，4，5的2倍，
则前一组的方差是后一组的四分之一，故C错误； 
D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故D错误．

故选B 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
根据平均数、方差的数字特征即可说明结果．

【解答】

解：甲、乙两个品种高度的平均值都是，说明甲、乙品种的平均高度差不多；
从甲、乙两个品种的频率分布直方图来看，乙品种的频率分布直方图体现的果树树苗高度更为集中，
说明乙品种比甲品种长的整齐．
故选D．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了求数据的方差问题，考查基本不等式的应用，是基础题．
求出，根据方差的定义列式即可求出其最小值．
【解答】
解：样本x，1，y，5的平均数为2，
故，
故


当且仅当时，取等号，
故方差的最小值是3，
故选C．  

9.【答案】B
 

【解析】【解析】
本题考查平均数、方差的求法，考查推理论证能力与计算能力，是基础题．
利用平均数、方差的定义直接求解．
【解答】
解：某8个数据的平均数为9，方差为3，现又加入一个新数据9，
此时这9个数的平均数为，方差为，
，．
故选B．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查中位数，平均数，标准差，属于基础题．
根据方差和标准差的定义可得答案．

【解答】解：方差：反映一组数据偏离平均数的程度，
用来衡量一批数据的波动大小即这批数据偏离平均数的大小．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度，
所以评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，
故选B．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查样本标准差的计算，属于中档题．

根据各项数据，先求样本平均数，再计算标准差．

【解答】

解：A中，平均数为，

标准差为，

同理可得B中，平均数为，标准差为，
C中，平均数为，标准差为，
D中，平均数为，标准差为，
故选B．

12.【答案】A
 

【解析】解：x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，则；
1，3，，这四个数据的平均数为1，
，
；
；
，；
是单调增函数，
的最小值是．
故选：A．
根据x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数得；1，3，，这四个数据的平均数为1得，再求的最小值．
本题考查了平均数与中位数的应用问题，也考查了函数的单调性与最值问题，是基础题．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了频率分步直方图和平均数，属于基础题．
根据平均数的定义直接求出．

【解答】解：根据频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为
．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．

【解答】

解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：
，
该组数据的方差为：
．
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查茎叶图及基本不等式，属基础题．
关键是结合茎叶图求解x，y，结合等差数列性质得到，结合条件型基本不等式求解最小值．
【解答】
解：因为甲的成绩的中位数是82，所以，乙的成绩的平均数是84，
所以，，
所以
，当且仅当时，等号成立，
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平均数及方差的概念及计算公式，属于容易题．
先利用平均数为5求出a，再求方差即可．
【解答】
解：由平均数为5，解得，
．
故答案为．  

17.【答案】7

【解析】

【分析】

本题考查极差和分位数，属于基础题．
根据极差和分位数的公式代入求值即可．

【解答】

解：依题意，极差为；
由，按从小到大排序后取第8个数和第9个数的平均数就是位分数，
则分位数为．
故答案位7，．

18.【答案】7

【解析】

【分析】

根据数表写出这组数据，再求极差和分位数．
本题考查了根据数表写出数据，以及极差和分位数的应用问题，是基础题．

【解答】

解：由题意知，
数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是；
所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的分位数是．
故答案为：  ．

19.【答案】解：由直方图的性质可得，

解方程可得，

直方图中x的值为；
由直方图知：月平均用电量的众数是，
，
月平均用电量的中位数在内，
设中位数为a，
由，
可得，
月平均用电量的中位数为224；
月平均用电量为的用户有，
月平均用电量为的用户有，
月平均用电量为的用户有，
月平均用电量为的用户有，
抽取比例为，
月平均用电量在的用户中应抽取．

【解析】本题考查频率分布直方图及众数和中位数以及分层随机抽样．

由直方图的性质可得，解方程可得； 

由直方图中众数为最高矩形的中点，求得众数，分析得中位数在内，

设中位数为a，解方程即可得； 
可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数． 

20.【答案】解：由直方图的性质可得，
解方程可得，
直方图中x的值为；
月平均用电量的众数是，
，
月平均用电量的中位数在内，
设中位数为a，由，
可得，
月平均用电量的中位数为224；
月平均用电量为的用户有，
月平均用电量为的用户有，
月平均用电量为的用户有，
月平均用电量为的用户有，
抽取比例为，
月平均用电量在的用户中应抽取户．
 

【解析】本题考查频率分布直方图，中位数，众数的求法，以及分层抽样的概念，属于中档题．
利用各组频率之和为1求得x的值；
利用众数为最高小矩形底边中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得答案；
根据分层抽样的概念得到抽样比例即可得解．
 

21.【答案】解：由频率分布直方图的性质可得，
，解得．
由频率分布直方图可得，
该小区居民户外活动的平均时间．
 

【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，即可求解．
根据频率分布直方图，结合平均值公式，即可求解．
本题主要考查频率分布直方图的性质，以及平均值公式，属于基础题．
 

22.【答案】解：由题意可得，，
；
由可得，，
．
 

【解析】利用平均数和方差的计算公式求解即可；
由平均数和方差的计算公式求解即可．
本题考查了特征数平均值与方差的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了化简运算能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：设样本容量x，
则，
解得，
年龄在的教师在样本中共有人，
年龄在和的教师在样本中共有人，
设年龄在的教师在样本中的人数为y，
由题意可知：，
，
该市年龄在的教师人数为人，
故该市年龄在的教师人数为800人；
由可知，
年龄在的教师人数为人，
频率为，
年龄在的教师人数为2000人，频率为，
年龄在的教师人数为1300人，频率为，
年龄在的教师人数为800人，频率为，
由此做出频率分布直方图：

，

．
 

【解析】本题考查分层抽样，频率分布表、频率分布直方图，考查平均数及方差，考查分析与计算能力，属于中档题．
设样本容量x，则，解得，计算求解即可；
由计算求解年龄在、、、的频率，即可做出频率分布直方图，计算求解即可．
 

24.【答案】解：先确定茎十位及百位数，再确定叶个位数，画出茎叶图．

、B两人的英语成绩的茎叶图如图所示，从这个茎叶图上可以查看，B同学的得分情况大致对称，中位数是96分；A同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，但相较B更分散，中位数为87分．因此B同学发挥比较稳定，总体得分情况比A同学好．
 

【解析】本题考查利用茎叶图对数据进行简单分析，属于一般题．
先确定茎十位及百位数，再确定叶个位数，即可画出茎叶图．
同学的得分情况大致对称，中位数是96分；A同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，但相较B更分散，中位数为87分．因此B同学发挥比较稳定，总体得分情况比A同学好．