初中浙教版3.3 垂径定理同步测试题

3.3垂径定理同步练习浙教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，C、D是以AB为直径的上的两个动点点C、D不与A、B重合，在运动过程中，弦CD的长度始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作于点若，，，则x的最大值是     

A. 3
B.
C.
D.

2. 如图，AB是的一条弦，于点C，交于点D，连结若，，则的半径为     

A. 5
B.
C. 3
D.

3. 如图，点A、B是上两点，，点P是上的动点与A、B不重合，连结AP、PB，过点O分别作于点E，于点F，则     

A. 4
B. 5
C.
D. 6

4. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心作半径为3的，交直线于A、B两点，且弦，则a的值是     

A. 4 B.  C.  D.

5. 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，，的中点分别是P，Q，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是以AC，BC为直径的半圆弧的中点，若，，则AB的长是     

A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

6. 如图，点O为圆心，点C是优弧ACB的中点，弦，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒的速度沿AB方向向点B匀速运动，若，动点F的运动时间为秒，则y与x之间的函数关系式为     

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在圆O中，弦，点C在AB上移动，连接OC，过点C做交圆O于点D，则CD的最大值为

A.
B. 2
C.
D.

8. 如图，在半径为3的中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点若E是BD的中点，则AC的长是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，中，于点C，，，则OC的长为

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

10. 一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11. AB和CD是的两条平行弦，，，的半径为5，则AB与CD间的距离为

A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 3或4

12. 如图，的直径，AB是的弦，，垂足为M，OM：：5，则AB的长为

A. 8
B. 12
C. 16
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，已知的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过弦AB的中点C，则CD的长为          ．
    
    
     

14. 在中，弦AB和弦AC构成的，M，N分别是AB和AC的中点，则的度数为          ．
15. 如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的与y轴的正半轴交于点，与y轴的负半轴交于点E，过点的直线l与相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有          个
    
     

16. 半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为          cm．
     

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

17. 如图，在中，半径弦AB，垂足为D，，，求的半径．
    
    
     

18. 如图，内接于，，，．
    求的度数；
    将沿AC折叠为，将沿AB折叠为，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；
    若，，求AD的长．
     

19. 高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．
    某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，到第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？
    为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条毕直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图所示，有一圆弧形拱桥，拱的跨度，拱形的半径，则拱形的弧长为多少？
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理，三角形中位线定理等内容，解题关键是根据垂径定理得到PM是三角形CND的中位线．
由，得，结合M是弦CD的中点，得PM是三角形CND的中位线即可解得．
【解答】
解：如图，延长CP交于点N，连结DN．

，，又是弦CD的中点，

，

当DN为直径时，PM的长度最大，即x的值最大，最大值为．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理，勾股定理等内容，掌握垂径定理是解题关键．
设的半径为r，则，，根据垂径定理得，由勾股定理解答即可．
【解答】
解：设的半径为r，则，，

，，，

在中，，
，
．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理和三角形中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．
先根据垂径定理得出，，故可得出EF是的中位线，再根据中位线定理即可得出，即可．
【解答】
解：于E，于F，
，，
是的中位线，
，；
故选：B．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形的性质、正比例函数图象上点的坐标的特征、勾股定理、垂径定理以及等腰直角三角形的性质作轴于C，交AB于D，作于E，连结先求出D点的坐标为，由垂径定理得出，再由勾股定理求出PE、PD，即可根据求解．
【解答】
解：作轴于C，交AB于D，作于E，连结PB，如图，
 

的圆心坐标是，
，，

把代入，得，
点的坐标为，

，为等腰直角三角形，

易知也为等腰直角三角形，

，
，

在中，，
，

，
，
．
故选B．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了中位线定理、垂径定理的知识，解题的关键是正确作出辅助线连接OP，OQ，根据M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，得到，，从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到和，从而利用求解．
【解答】
解：连结OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，

，N分别是以AC，BC为直径的半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
，，H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
，I分别是AC，BC的中点，
又为AB的中点，
，
，，

，

．
故选C．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了函数关系式、勾股定理以及垂径定理等知识．
由垂径定理可得，，再根据勾股定理可得函数关系式．
【解答】
解：延长CO交AB于G，点C是优弧ACB的中点，
，，
，，
当时，，，
．
故选C．

7.【答案】B
 

【解析】解：如图，连接OD，
，
，
，
当OC的值最小时，CD的值最大，
时，OC最小，此时D、B两点重合，
，
即CD的最大值为2，
故选：B．
连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当时，OC最小，根据垂径定理计算即可．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出，，进而证得，根据三角形中位线定理求得，从而求得，利用勾股定理即可求得AC．
本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【解答】
解：连接OD，交AC于F，

是的中点，
，，
，
，，
，
是直径，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选D．  

9.【答案】C
 

【解析】解：，
，
在中，．
故选：C．
先利用垂径定理得到，然后利用勾股定理计算OC的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：车宽米，
欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线米处的高度与车高．
在中，由勾股定理可得：
，
米，
卡车的外形高必须低于米．
故选：A．
根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案．
此题主要考查了垂径到了和勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：当AB、CD在圆心两侧时；
过O作交CD于E点，过O作交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
半径，弦，且，，
，，，E、F、O在一条直线上，
为AB、CD之间的距离
在中，由勾股定理可得：

，
在中，由勾股定理可得：

，
，
AB与CD的距离为7；
当AB、CD在圆心同侧时；
同可得：，；
则AB与CD的距离为：；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：C．
过O作交CD于E点，过O作交AB于F点，连接OA、OC，由题意可得：，，，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解、，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．
本题考查了垂径定理以及解直角三角形的运用，关键是根据题意画出图形，要注意有两种情况．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：连接OA，

的直径，OM：：5，
，，
，
，
．
故选：C．
连接OA，先根据的直径，OM：：5求出OC及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

13.【答案】2
 

【解析】解：连结OA，半径OD过弦AB的中点C，，，
，
弦AB的长为8，，
，由勾股定理得，．

14.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了垂径定理，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
连接OM，ON，利用垂径定理得，，再分类讨论，当AB，AC在圆心异侧时如图，利用四边形内角和得结果；当AB，AC在圆心同侧时如图，利用相似三角形的性质得结果．
【解答】
解：连结OM，ON，
，N分别是AB和AC的中点，
，．
当AB，AC在圆心异侧时，如图1，在四边形AMON中，
，
 

当AB，AC在圆心同侧时，如图2，
，，
．

综上，的度数为或．

15.【答案】3
 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂直弦的直径平分弦，本题需要讨论两个极值点，有一定难度．
求出线段CD的最小值，及线段CD的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的整数值．
【解答】
解： 点A的坐标为，圆的半径为5，

点B的坐标为，又点P的坐标为，，

当时，CD的长度最小，连结BC，

在中，，故CD

当CD经过圆心时，CD的长度最大，此时，
，
长的所有可能的整数值有8，9，10，共3个．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理、垂径定理以及翻折变换折叠问题等知识．
 连结MO交CD于E，连结CO，根据垂径定理以及翻折变换可得、、，再由勾股定理求解即可．
【解答】
解：连结MO交CD于E，连结CO，

为半圆弧的中点，
，，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
 cm，
在直角三角形COE中， cm，
折痕CD的长为．
故答案为：．  

17.【答案】解：设的半径为r，则，
，
，
在中，，
，解得，
即的半径为5．
 

【解析】设的半径为r，则，根据垂径定理得到，然后在中根据勾股定理得到，再解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

18.【答案】解：连接OB和OC；
，
；
，
，
；

证明：，
；
由折叠可知，，，
，，
；
；
四边形AFHG是正方形；

解：由得，，，，；
设AD的长为x，则，．
在中，，
；
解得，，不合题意，舍去；
．
 

【解析】连接OB、OC，由垂径定理知E是BC的中点，而，可判定是直角三角形，则，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得的度数；
由折叠的性质可得到的条件是：，，且；由可判定四边形AGHF是矩形，联立的结论可证得四边形AGHF是正方形；
设，由折叠的性质可得：即正方形的边长为，，；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在中，由勾股定理求得AD的长．
此题主要考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质以及图形的翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为，
到第5天得禽流感病鸡数为
到第6天得禽流感病鸡数为
所以，到第6天所有鸡都会被感染；

过点O作交CD于E，连接OC、OA．
，

在中，分
在中，，


．
答：这条公路在该免疫区内有千米．
 

【解析】根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个1；
过点O作交CD于E，连接OC、OA，在中，就可以求出OE，在中求出AE，进而求出AC，进而求出．
本题主要考查了垂径定理．可以把问题转化为直角三角形的问题．
 

20.【答案】解：过O作，交AB于点C，交于点D，如图所示，
为AB的中点，即，
在中，，
，
，
则拱形的弧长．
 

【解析】过O作，交AB于点C，交于点D，如图所示，利用垂径定理得到C为AB的中点，由AB长求出AC长，在直角三角形AOC中，利用锐角三角函数定义求出的值，利用特殊角的三角函数值求出度数，进而求出度数，利用弧长公式即可求出拱形的弧长．
此题考查了垂径定理的应用，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．