高中数学北师大版必修54数列在日常经济生活中的应用课时训练

1.4数列在日常经济生活中的应用同步练习北师大版高中数学必修五

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫九百一十人筑堤，只云初日差二十六人，次日转多六人，每人日支米一升”其大意为“官府陆续派遣910人前往修筑堤坝，第一天派出26人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多6人，修筑堤坝的每人每天分发大米1升”，在该问题中的910人全部派遣到位需要的天数为

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

2. 数列中，，则数列的极限为

A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 不存在

3. 已知等比数列的各项都为正数，则，，成等差数列，则的值是

A.  B.  C.  D.

4. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则     

A. 9 B. 6 C. 3 D. 1

5. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为 

A.  B.  C.  D.

6. 某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝，经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调若抽调的翻斗车每隔才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车 

A. 25辆 B. 24辆 C. 23辆 D. 22辆

7. 数列中，，，则

A.  B. 0 C.  D. 2

8. 已知等比数列中，，，成等差数列．则

A. 4或 B. 4 C.  D.

9. 已知数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项，为的前n项和，则

A.  B.  C. 0 D. 15

10. 一同学在电脑中打出若干个圈：若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2012个圈中的的个数是

A. 59 B. 60 C. 61 D. 62

11. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则     

A. 9 B. 6 C. 3 D. 1

12. 已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设等比数列满足，，则的最大值为          ．
14. 已知无穷等比数列的前n项和为，所有项的和为S，且，则其首项的取值范围______．
15. 设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列．已知数列的前n项和，则的值是______．
16. 已知数列是公差不为零的等差数列，为其前n项和，且，，，成等比数例，设向量，则的模的最大值是______．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则      ，数列的前n项和的最小值是      ．
18. 设数列为等差数列，数列为等比数列．若，则          ；若，且，则          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 设是公比为q的等比数列，为数列的前n项和，已知，且，，构成等差数列．
    求数列的通项公式；
    当时，令，求数列的前n项和．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    设，数列的前n项和为，求．
    
    
    
    
    
    
     
21. 设集合，其中，，，是正整数，记对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
    Ⅰ若2，4，，5，7，，写出，的值；
    Ⅱ求的最大值；
    Ⅲ设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．
    
    
    
    
    
    
     
22. 设是等差数列，，且，，成等比数列，
    求的通项公式：
    记的前n项和为，求使得成立的n的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
23. 设是公比为q的等比数列，为数列的前n项和，已知，且，，构成等差数列．
    求数列的通项公式；

当时，令，求数列的前n项和．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项，公差的等差数列，设910人全部派遣到位需要的天数为n，利用等差数列前n项和公式能求出结果．
本题考查等差数列的性质及应用，考查等差数列前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是一般题．

【解答】

解：根据题意设每天派出的人数组成数列，
分析可得数列是首项，公差的等差数列，
设910人全部派遣到位需要的天数为n，
则，
即，由n为正整数，解得．
故选：A．

2.【答案】D
 

【解析】解：当时，，
当时．
所以数列的极限不存在．
故选：D．
直接利用极限的应用求出结果．
本题考查的知识要点：极限的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：设等比数列的公比为q，且，
，，成等差数列，
，则，
化简得，，解得，
则，
，
故选：A．
设等比数列的公比为q，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．
本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题．
根据题意可得，则，解得舍去或，所以．

【解答】

解：设等比数列公比为q．
由，，成等差数列，可得，
所以，
因等比数列的各项均为正数，
则，解得舍去或．
所以．
故选A．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的实际应用，属于基础题．
由乌龟每次爬行的距离构成公比为等比数列，利用等比数列的求和公式求解即可．

【解答】

解：根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为，

当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为

．

故选B．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查数列的实际运用，属中档题，
由题意总工程量为小时，可依次计算每辆车的工程量，再求和即可求解，
【解答】
解：由题意，总工程量为小时，
第一辆车的工程量为24小时；
第二辆车的工程量为小时；
第n辆车的工程量为，
所以n辆车的总工程量为
，
令，即．
记，其对称轴为，
且，
所以．
所以至少要辆．
故选C．  

7.【答案】A
 

【解析】解：，，
，
，
，
，
于是可得，
故选：A．
根据数列的递推公式和三角函数的性质可得该数列的周期为2，即可求出答案．
本题考查了数列的递推公式公式和三角函数的性质，属于基础题．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：设等比数列的公比为q，为保证有意义，则，
，，成等差数列，
，
即，
解得，
从而，
故选：B．
根据等比数列的定义和等差中项的性质即可求出．
本题考查了等比数列的定义和等差数列的性质，考查了运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于基础题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：由题意可得，公差，
代入数据可得，
解得，
．
故选：D．
由题意和等差数列的通项公式可得的方程，解方程代入求和公式计算可得．
本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查数列的求和，利用分组求和法求和，考查了灵活运用数列的能力，属于中档题．
把这些圈看作是数列：1，1，2，1，3，1，4，求前n项和小于等于2012时的最大的整数项数． 

【解答】
解：，
  ，
最大的整数是61，
在前2012个圈中的个数是61，
故选C．  

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题．
根据题意可得，则，解得舍去或，所以．

【解答】

解：设等比数列公比为q．
由，，成等差数列，可得，
所以，
因等比数列的各项均为正数，
则，解得舍去或．
所以．
故选A．

12.【答案】C
 

【解析】解：由，
得，
即，
即，
，，
则．
故选：C．
由条件利用等差数列的性质可得，求得  的值，再根据计算．
本题考查等差数列、等比数列的性质，求出是解题的关键，属于基础题．
 

13.【答案】64
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式，等差数列求和公式，属于中档题．
首先根据等比数列的通项公式求出，q，求出，从而计算进而求得最大值．

【解答】

解：数列是等比数列，
设等比数列的公比为q，首项为 ，
由题意得： ，解得，

，，
，

当或4时，取到最小值，

此时取到最大值，

所以 的最大值为64．

故答案为64．

14.【答案】
 

【解析】解：由，，
，
，
，
无穷等比数列，
，，
，，
，
，
解可得，且，
故答案为：
由，，，知，由，可知，由此能求出首项的取值范围．
本题考查数列的极限的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式的灵活运用．
 

15.【答案】4
 

【解析】解：因为的前n项和，
因为是公差为d的等差数列，设首项为；是公比为q的等比数列，设首项为，
所以的通项公式，所以其前n项和：，
 中，当公比时，其前n项和，
所以的前n项和，显然没有出现，所以，
则的前n项和为：，
所以，
由两边对应项相等可得：解得：，，，，
所以，
故答案为：4．
由的前n项和，由是公差为d的等差数列，设首项为；求出等差数列的前n项和的表达式；是公比为q的等比数列，设首项为，讨论当q为1和不为1时的前n项和的表达式，由题意可得，由对应项的系数相等可得d，q的值，进而求出的值．
本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n项和求通项的性质，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项性质，以及向量的模的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
设公差为d，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得d，进而得到数列的通项与前n项和，求得向量的坐标，再由向量模的计算公式求解．
【解答】
解：数列是公差d不为零的等差数列，且，为其前n项和，
由，，成等比数例，可得，
即，可得，
则，，
向量，
可得，
则当时，取得最大值1，
可得．
故答案为：．  

17.【答案】

【解析】解：等差数列的公差d为2，
若，，成等比数列，
可得，
即有，
化为，
解得，；
数列的前n项和
，
当或5时，取得最小值．
故答案为：，．
运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】 ；

  32 

【解析】

【分析】
由已知分别利用等差数列与等比数列的性质即可求得与的值．
本题考查等差数列与等比数列的性质，考查三角函数值的求法，是基础题．
【解答】

解：在等差数列中，由，得，即．
．
；
在等比数列中，由，得，即．
．
故答案为：；32．
 

19.【答案】解：，且，，构成等差数列，
可得，，即，
解得，或，，
则或；
当时，，
，
则前n项和
．
 

【解析】运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；
运用对数的运算性质可得，，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和方法，以及方程思想和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设的公差为d，，
，，成等比数列，，
可得，又，得，
又，联立可得，，
；
，
．
 

【解析】设的公差为d，，由已知列方程组求解首项与公差，则通项公式可求；
，再由数列的分组求和得答案．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了数列的分组求和，是中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ根据条件所给定义，，故，
，故，
Ⅱ不妨设，
因为，
所以，不能整除；
因为最多有，，，，，六种情况，
而，不满足题意，所以，
当5，7，时，，所以的最大值为4；
Ⅲ假设，
由Ⅱ可知，当取到最大值4时，，，，均能整除，
因为，
故，
所以，
设，，则u，v是的因数，
所以v是的因数，且u是的因数，
因为，所以，
因为v是的因数，所以，
因为u是的因数，所以的因数，
因为，所以，所以或，
故A，或，
所以当取到最大值4时，5a，7a，或11a，19a，．
 

【解析】Ⅰ根据定义得到，，即可得到，的值；
Ⅱ结合条件得到最多有，，，，，六种情况，排除，即可得到的最大值；
Ⅲ假设，，，根据定义可得或，进而得到A
本题考查学生对新定义的理解，考查集合的应用，属于难题
 

22.【答案】解：是等差数列，，且，，成等比数列．
，
，
解得，
；
由，，得，
由，得，即，
解得或．
又，
的取值范围为或．
 

【解析】利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出，由此能求出的通项公式；
求出等差数列的前n项和，再由得到关于n的一元二次不等式，求解得答案．
本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项公式与前n项和，考查计算能力，是中档题．
 

23.【答案】解：，且，，构成等差数列，
可得，，即，
解得，或，，
则或；
当时，，
，
则前n项和
．
 

【解析】运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；
运用对数的运算性质可得，，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和方法，以及方程思想和运算能力，属于中档题．