高中数学北师大版必修52三角形中的几何计算精品同步训练题

2.2三角形中的几何运算 同步练习

北师大版高中数学必修五

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为

A.  B.  C.  D.

2. 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则的外接圆的直径为

A.  B. 5 C.  D.

3. 在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为     

A.  B.  C. 2 D. 4

4. 在中，角的对边分别为，的面积为S，若，则的值是 

A.  B.  C.  D.

5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，则的面积

A.  B.  C.  D.

6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则

A. 2 B.  C.  D.

7. 的面积为S，角的对边分别为，若，则的值是   ．

A.  B.  C.  D.

8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为S，且，，则外接圆的面积为

A.  B.  C.  D.

9. 希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学特别是与“月牙形”有关的问题如图所示阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为   

A.
B.
C.
D.

10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则       

A.  B.  C.  D.

11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为S，，则的外接圆的面积为   

A.  B.  C.  D.

12. 在中，，，，下列说法中正确的是

A. 用、、为边长不可以作成一个三角形
B. 用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形
C. 用、、为边长一定可以作成一个直角三角形
D. 用、、为边长一定可以作成一个钝角三角形

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在中，若，的面积为，则边a的长为___________．
14. 中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为________．
15. 记的面积为S，且满足，则的值为_______
16. 如图，在中，，，M为边BC上的一点，，，则的面积是______，______．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 在中，若，，，则          ，          ．
18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，的平分线交BC于点D，且，若的面积为，则          ；          ．
19. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，若，，则          ，面积的最大值为          ．
20. 在中，若，，，则      ，      ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

21. 如图，在中，，，点D在线段BC上．
     

若，求AD的长；

若，的面积为，求的值．






 

22. 在中，角所对的边分别为已知．

若，求的周长；

若为锐角三角形，求的取值范围．






 

23. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

求A；

在，，这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若________，________，求的面积．






 

24. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
    若，，求的面积；
    若 A， B， C成等比数列，试判断的形状．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知分别是内角的对边，且满足

求A；

若的面积为，，求的周长．






 

26. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

求A；

若的面积为，求a的最小值．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理和三角形面积公式，由余弦定理得，得，再由三角形面积公式即可得出结果．

【解答】

解：由，得，
又，，
，即，即，
，
故选C．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．
先由三角形的面积得到，再由余弦定理得，最后利用正弦定理即可得解．
【解答】

解：，
，
，
．
，

，
．

设的外接圆半径为R．
，
．
故选C．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式，属于基础题．
由三角形的面积可求出c，再利用正弦定理即可求出三角形外接圆的半径．

【解答】

解：中，，，
三角形的面积，，
故B．
再由正弦定理可得，
三角形外接圆的半径，
故选C．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理以及三角函数的基本关系式的化简求值问题，属于中档题．
根据三角形的面积公式和余弦定理，得出，再利用同角三角函数的基本关系式进行求解是解题的关键．
【解答】
解：由题意，因为，由余弦定理得．
所以由，可得，整理得，
所以，所以，化简得．
因为，所以，所以．
故选C．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理以及三角形的面积公式，是基础题．
结合正弦定理求出cosB，再结合即可求解
【解答】
解：由及正弦定理得：
，
，
 ，  ，
又  ，，
 ．
故选D．  

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了余弦定理的应用和三角形面积公式的应用，先利用三角形面积公式求得c，最后利用余弦定理求得a．
【解答】
解：依题意得，
解得，
由余弦定理可得．
故选D．  

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理、三角形面积公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．
利用余弦定理、三角形面积公式，结合题目条件得，再利用同角三角函数的基本关系得，最后再利用同角三角函数的基本关系，计算得结论．

【解答】

解：在中，
，，
且，
，
整理得，
，
因此，
化简可得．
又，
，
故选B．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求，结合范围，可求A的值，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得R，利用圆的面积公式即可求解．
【解答】
解：由余弦定理：，可得：，
又，可得，
由，可得：，可得，
，，
设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：，
，，可得：，
外接圆的面积．
故选D．  

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形和圆的有关计算，扇形的面积公式，属于中档题．
由题意可得，的外接圆半径为1，进一步进行求解即可．
【解答】
解：由余弦定理可得，
，
解得，
设的外接圆半径为R，
则由正弦定理得，，解得．
由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，
则弓形ABC的面积为，
外侧圆弧以AB为直径，所以外侧半圆的面积为，
则月牙形的面积为．
故选A．  

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．
利用已知条件和正弦定理求得，再根据余弦定理和三角形面积公式解得，根据三角形内角和，即可得到角B．

【解答】

解：，
根据正弦定理：，
，，
为内角，，
，，
，
根据余弦定理：
，
又，
则，
则，即，
又，所以，
为内角，．
故选D．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由余弦定理及三角形面积公式得和，结合条件，可得，求得角A，再由正弦定理即求得结果．

【解答】

解：由余弦定理得，，

所以，

又，，

所以有，即，

又，所以，

由正弦定理得，，R为外接圆的半径，得，

所以外接圆的面积为．

故选D．

12.【答案】B
 

【解析】解：对于取，，，可以作成三角形，因此不正确．
对于B，不妨设，则，则，，可得：C为锐角，因此必然为锐角三角形．正确．
对于由B可知C，D不正确．
因此只有B正确．
故选：B．
利用三角形三边大小关系、余弦定理，先判断的正误，进而判断出的正误．
本题考查了三角形三边大小关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
应用余弦定理结合三角形面积公式进行计算即可； 
【解答】
解：， ，
，
由余弦定理可知： 
 
即 ．
故答案为 ．  

14.【答案】2
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式．
先根据面积公式求出c，再用余弦定理求出a，再用正弦定理可求解．
【解析】
解：，解得．

，

解得，

，

解得．

故答案为：2．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查向量的数量积公式，考查三角形面积公式及同角三角函数关系式，属于中档题．
先出三角形面积公式及向量的数量积公式，解得tanC，再由同角关系求得cosC即可．
【解答】
解：依题意，
，
由可得，
解得，故C为钝角，
，

故答案为．  

16.【答案】 
 

【解析】解：中，，，
由，得，所以，；
又，中，由余弦定理得，，
所以，
计算，
所以的面积是；
中，由余弦定理得，，所以；
所以．
故答案为：；．
由题意求出，，在中利用余弦定理求出，利用补角关系求出，即可求出，再计算的面积；在中利用余弦定理求出AC，再求的值．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】

【解析】解：中，若，，，
利用正弦定理：，
则：，
所以：．
故答案为：．
直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题；
由，可得，即，故
由的平分线与BC边交于点D，，可得， 即；由余弦定理可得，即可求解
【解答】
解：，
即
即
故
故
的平分线与BC边交于点D，，
，
即，即；
故
故
故答案为．
  

19.【答案】1

【解析】

【分析】
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用正弦定理化简已知等式可得，由于，解得，根据范围，可得，利用三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】
解：，
由正弦定理，可得：，
，
，
解得：，
，，
，即ABC面积的最大值为．
故答案为：1；．  

20.【答案】

【解析】解：中，若，，，
利用正弦定理：，
则：，
所以：．
故答案为：．
直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．
 

21.【答案】解：中，，．
，．
在中，由正弦定理可得，
即，；
设，则，
，的面积为，
的面积为，
，
，
在由正弦定理可得，
．
在由正弦定理可得，
，
，
．
 

【解析】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
中，由正弦定理可得AD的长；
利用，的面积为，求出BD，DC，利用余弦定理求出AC，利用正弦定理可得结论．
 

22.【答案】解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为
所以 ，
因为 ，且，
所以，即，
则的周长为；
因为 ，
所以，
则 ，
因为为锐角三角形，所以
所以，则 ，
从而，
故的取值范围是．
 

【解析】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由利用正弦定理得，再由余弦定理可求得a，从而可求的周长；
由正弦定理可得，再利用锐角三角形的性质可求角A的取值范围，从而可求的范围．
 

23.【答案】解：，
由正弦定理得，
又，
，
，

整理得，即，
又，；

方案一：选条件和，

由正弦定理，得，

由余弦定理，得，

解得，
所以的面积．

方案二：选条件和，

由余弦定理，
得，

即，解得，
，，
即为直角三角形，

所以的面积．

【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，是中档题．
由正弦定理得，结合化简可得，可得A的值．
方案一：选条件和，由正弦定理得b，由余弦定理可得c，运用三角形面积公式可得结果；
方案二：选条件和，由余弦定理得b和c，可得三角形的面积．
 

24.【答案】解：、B、C成等差数列，可得．
结合，可得．
，，
由正弦定理，得．
，可得，为锐角，得，从而．
因此，的面积为．
、sinB、sinC成等比数列，即．
由正弦定理，得，
又根据余弦定理，得，
，整理得，可得，
，，可得为等边三角形．
 

【解析】本题考查三角形内角和定理，利用正、余弦定理解三角形的知识，属于中档题．
根据A、B、C成等差数列，结合算出，再由正弦定理得根据得C为锐角，得到，从而，是直角三角形，由此不难求出它的面积；
根据正弦定理，结合题意得，根据利用余弦定理，得，从而得到
，整理得得，由此即可得到为等边三角形．
 

25.【答案】解：，

根据正弦定理，知，即．

由余弦定理，得．
又，所以．

 ，
，

由余弦定理得：，

，解得，

的周长．

【解析】本题主要考查了正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，三角形面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
 根据题意由正弦定理化简可得，从而利用余弦定理可得cosA，进而即可求得A的值．
根据题意由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得的值，进而可得
的周长．
 

26.【答案】解：由已知得，
．
．
由正弦定理，得．
又因为A，，
，
，
．
由的面积为，得，
由余弦定理得，
当且仅当时，取得等号，
所以a的最小值为2．
 

【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由三角函数恒等变换的应用、正弦定理化简已知等式，结合，可求，即可求解A的值．
由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理、基本不等式即可求解a的最小值．