高中数学北师大版必修5本节综合复习练习题

这是一份高中数学北师大版必修5本节综合复习练习题，共22页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】A，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
已知3a+27b=6，则a+3b的最大值是( )
A. 23B. 6C. 2D. 22
若实数a，b满足ab>0，则a2+4b2+1ab的最小值为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
已知a>0，b>0，如果不等式2a+1b≥m2a+b恒成立，那么m的最大值等于( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
已知0A. 253B. 8C. 20D. 10
现要用篱笆围成一个面积为S扇形菜园(如图所示)，问要使这个菜园所用篱笆最短，则这个扇形的半径和圆心角各为( )
A. S和1
B. 2S和2
C. S和2
D. 2S和1
若a>0，b>0，ab=a+b+1，则a+2b的最小值为( )
A. 32+3B. 32−3C. 3+13D. 7
设x<12，则2x+12x−1的最大值是( )
A. 2B. 1C. −2D. −1
已知正实数a，b满足2a+b=3，则2a2+1a+b2−2b+2的最小值是( )．
A. 83B. 135C. 72D. 6722
已知a>32，则2a+12a−3的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
若两个正实数x,y满足1x+1y=2，且不等式x+yA. −1,2B. −4,1
C. −∞,−1∪2,+∞D. −∞,−1∪4,+∞
如图所示，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足AP=mAB+nAD (m,n均为正实数)，则1m+1n的最小值为( )
A. 5
B. 74+3
C. 185
D. 103
下列函数中，最小值为2的函数是( )
A. y=x2+2+1x2+2B. y=x2+1x
C. y=x(22−x),(0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且AD+AE=xAB+yAC，则1x+4y的最小值为__________；
已知在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2bcsC=ccsB，则1tanA+1tanB+1tanC的最小值为 ．
已知a>b>0则a2+16b(a−b)的最小值是___________;
设x>0,y>0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为___________．
三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图，在▵ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+13AB，m= ；若▵ABC的面积为23，则|AP|的最小值为 ．
若实数x、y满足x>y>0，且lg2x+lg2y=1，则2x+1y的最小值是 ，x−yx2+y2的最大值为 ．
函数f(x)=x+1x−1(x>1)的最小值是 ；此时x= ．
设▵ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.若b2+3a2=c2，则tanCtanB= ，tanA的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
已知a>0，b>0，a+b=2．
(1)求证：a2+b2≥2;
(2)求证：2a+1b≥1+22．
已知a>0，b>0，a3+b3=2，证明：
(1)(a+b)(a5+b5)≥4；
(2)a+b≤2．
已知函数，g(x)=x2−ax+6．
(1)若g(x)为偶函数，求a的值并写g(x)的增区间；
(2)若关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|21时，求的最小值；
(3)对任意的x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
某公司生产的某批产品的销售量p万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足p=x4(其中2⩽x⩽a，a为正实数)，已知生产该批产品还需投入成本6(p+1p)万元(不包含促销费用)，产品的销售价格定为(4+20p)元/件．
(1)将该产品的利润y(万元)表示为促销费x(万元)的函数；
(2)当促销费用投入多少元时，该公司的利润最大？
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b+2ccsB=2a．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的面积为332，求△ABC的周长的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，涉及到指数式的运算，属于基础题．
根据题意可得6=3a+27b≥23a·33b=23a+3b，即可求得结果．
【解答】
解：∵6=3a+27b≥23a·33b=23a+3b，
即3a+3b≤9=32，
∴a+3b≤2，当且仅当3a=33b，即a=1，b=13时等号成立．
故a+3b的最大值是2．
故选C．

2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
两次利用基本不等式a2+4b2≥2a2×4b2和4ab+1ab≥24ab×1ab，注意等号成立的条件．
【解答】
解：因为a2+4b2≥2a2×4b2=4ab，
当且仅当a2=4b2，即a=2b时取等号，
因为ab>0，所以4ab+1ab≥24ab×1ab=2×2=4，
当且仅当4ab=1ab即ab=12时取等号，
所以a2+4b2+1ab≥4，当且仅当a=2bab=12,
即a=1b=12或a=−1b=−12时取等号，
故当a=1b=12或a=−1b=−12时，a2+4b2+1ab取最小值，最小值为4．
故选C．

3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式求最值，不等式恒成立问题，属于基础题．
a>0，b>0，不等式2a+1b≥m2a+b恒成立，可得m≤[(2a+b)(2a+1b)]min，利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：∵a>0，b>0，不等式2a+1b≥m2a+b恒成立，
∴m≤[(2a+b)(2a+1b)]min，
∵(2a+b)(2a+1b)=5+2ba+2ab
≥5+2×2ba·2ab=9，
当且仅当a=b时取等号．则m⩽9,
∴m的最大值等于9．
故选B．

4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查对勾函数的性质，属于基础题．
解决问题的关键利用对勾函数判断函数的单调性，进而确定最值．
【解答】
解：由对勾函数的性质可得y=x+16x在(0,4)上单调递减，
∴0∴当x=3时，y取得最小值为3+163=253．
故选A．

5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了扇形面积公式以及基本不等式的运用，属于基础题．
由题意得扇形面积，再运用基本不等式求出当扇形周长最小时，圆心角和半径的取值，得出结果．
【解答】
解：设扇形的半径为R，所对圆心角为α，
则面积S=12R2α，周长C=αR+2R⩾22R2α=4S，
当且仅当αR=2R，即α=2，R=S时，
这个菜园所用篱笆最短，
故选C．

6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，考查转化能力与计算能力，属于中档题．
由ab=a+b+1得a=b+1b−1，代入a+2b得a+2b=2b−1+2(b−1)+3，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值．
【解答】
解：由ab=a+b+1，可得a(b−1)=b+1，得a=b+1b−1，由于a>0，b>0，则b>1，
所以，a+2b=b+1b−1+2b=(b−1)+2b−1+2b
=2b−1+2b+1=2b−1+2(b−1)+3
≥22b−1⋅2(b−1)+3=7，
当且仅当2(b−1)=2b−1b>1时，即当b=2时，等号成立，
因此a+2b的最小值为7，
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，考查化简变形的能力，解题的关键在于凑成积为定值，注意应用条件一正二定三相等，属于基础题．
由2x+12x−1变形为2x−1+12x−1+1，x<12，可得−(2x−1)>0，利用基本不等式可得出最大值．
【解答】
解：∵x<12，可得2x−1<0，−(2x−1)>0，
∴−(2x+12x−1)=−(2x−1)+1−(2x−1)−1⩾2−(2x−1)·1−(2x−1)−1=1，
当且仅当2x−1=12x−1，即x=0时，取等号，
∴2x+12x−1⩽−1，故2x+12x−1的最大值是−1．
故选D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由2a2+1a+b2−2b+2=2a+1a+(b+2)2−4b+2+2b+2，代换后利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：正实数a，b满足2a+b=3，
∴2a+b+2=5，
则2a2+1a+b2−2b+2=2a+1a+(b+2)2−4b+2+2b+2
=2a+b+2+1a+2b+2−4
=1+1a+2b+2=1+15(1a+2b+2)[2a+(b+2)]
=1+15(4+b+2a+4ab+2)≥1+154+4=135，
当且仅当b+2a=4ab+2且2a+b=3，即a=54，b=12时取等号，
即2a2+1a+b2−2b+2的最小值是135．
故选B．

9.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
由已知可得2a−3>0，则2a+12a−3=2a−3+12a−3+3，利用基本不等式即可求其最值．
【解答】解：因为a>32，所以2a−3>0，
2a+12a−3=2a−3+12a−3+3≥2(2a−3)⋅12a−3+3=5，
当且仅当2a−3=1，即a=2时等号成立．
故选B．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键，属于中档题．
将不等式x+y(x+y)min即可，利用1的代换结合基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：正实数x，y满足1x+1y=2，
则x+y=12x+12yx+y=1+y2x+x2y⩾1+214=2，
当且仅当y=x=1,x+y取得最小值2．
由x+y2，
解得m>2或m<−1．
故选C

11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值和平面向量的基本定理及其应用．
利用平面向量的基本定理的应用得m+34n=1，再利用基本不等式求最值计算得结论．
【解答】
解：由题意得DC//AB，
∴AD=AC−DC=AC−14AB，
∴AP=mAB+nAD=mAB+n(AC−14AB)
=(m−n4)AB+nAC．
又∵C，P，B三点共线，
∴m−n4+n=1，即m+34n=1，
又∵m，n均是正实数，
∴1m+1n=(1m+1n)(m+34n)
=74+mn+3n4m
≥74+2mn·3n4m=74+3，
当且仅当mn=3n4m，即m=4−23,n=−4+833时，等号成立．
故1m+1n最小值为74+3．
故选B．

12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本不等式，属于中档题．
根据基本不等式逐一分析判断即可，注意等号成立的条件．
【解答】
解：选项A，令x2+2=t≥2，则y=t+1t，t≥2，
函数y=t+1t在[2,+∞)上单调递增，
则最小值为2+22=322，故选项A不满足；
选项B，y=x2+1x中取x=−1，则y=−2，故B不满足；
选项C，y=x(22−x)≤ (x+22−x2)2 =2，当且仅当x=2时取等号，故C不满足；
选项D，y=x2+2x2+1=x2+1+1x2+1≥2，当且仅当x=0取等号，故最小值为2正确；
故选D．

13.【答案】92
【解析】
【分析】
本题考查平面向量基本定理的运用及利用基本不等式求最值，属于基础题．
当D与B，E与C重合或D与C，E与B重合时，x+y=2，当点D与E只有一点与B或C重合时，x+y=2，当点D与E都不与B或C重合时，设AD=m1AB+n1ACm1>0,n1>0，AE=m2AB+n2ACm2>0,n2>0，由平面向量基本定理可知，m1+n1=1及m2+n2=1，结合条件可得x+y=2，进而由基本不等式求得最小值．
【解答】
解：当D与B，E与C重合或D与C，E与B重合时，x+y=2，
当点D与E只有一点与B或C重合时，x+y=2，
当点D与E都不与B或C重合时，
设AD=m1AB+n1ACm1>0,n1>0，则m1+n1=1，
设AE=m2AB+n2ACm2>0,n2>0，则m2+n2=1，
又AD+AE=xAB+yAC，
∴m1AB+n1AC+m2AB+n2AC=xAB+yAC，
∴x+y=m1+m2+n1+n2=2，
易得x>0，y>0，
∴1x+4y=12x+y1x+4y
=125+4xy+yx
≥125+24xy+yx=92，
当且仅当4xy=yx且x+y=2，即x=23，y=43时取等号，
故答案为92．
14.【答案】273
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、利用基本不等式求最值，属于较难题．
利用正弦定理，由已知式子得出，即，根据，代入所求式子，利用基本不等式，即可求出结果．
【解答】
解：∵2bcsC=ccsB，
∴由正弦定理可得，
，
又，
=−tanB+tanC1−tanBtanC=3tanB2tan2B−1，
，
又，
当且仅当时，取等号，
的最小值为273．
故答案为273．

15.【答案】16
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的运用，由b(a−b)≤(b+a−b2)2=a24，
故可得a2+16b(a−b)≥a2+64a2可得答案．
【解答】
解：因为b(a−b)≤(b+a−b2)2=a24，
故可得a2+16b(a−b)≥a2+64a2≥2a2×64a2=16，当且仅当a−b=ba4=64时等号成立，
故答案为16．
16.【答案】43
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
利用已知化(x+1)(2y+1)xy=2 xy + 6 xy，再利用基本不等式即可解答．
【分析】
解：x>0，y>0，x+2y=5，
则
(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1 xy=2xy+6 xy=2 xy + 6 xy；
由基本不等式有： 2 xy + 6 xy ≥2 2 xy ⋅ 6 xy =4 3；
当且仅当2 xy = 6 xy时，
即xy=3，x+2y=5时，即 x=3 y=1或x=2 y= 3 2时等号成立，
故(x+1)(2y+1)xy的最小值为43；
故答案为：43．
17.【答案】12
2
【解析】
【分析】
本题考查向量运算、向量平行条件应用、三角形面积公式、向量的模及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意得AP=mAC+12AD，利用C，D，P三点共线，可得m+12=1，即可得m；
利用▵ABC的面积为23可得|AB|⋅|AC|=8，进而得AB⋅AC=4，根据|AP|2|=|12AC+13AB|2
=14|AC|2+19|AB|2+43，利用基本不等式可得|AP|的最小值为2．
【解答】
解：∵AD=2DB
∴AB=32AD
∴AP=mAC+13AB=mAC+13×32AD
=mAC+12AD
∵C，D，P三点共线
∴m+12=1
解得m=12，
∵S△ABC=12|AB|⋅|AC|⋅sin∠BAC
=12|AB|⋅|AC|⋅sinπ3=34|AB|⋅|AC|=23
∴|AB|⋅|AC|=8
∴AB⋅AC=|AB|⋅|AC|⋅cs∠BAC=8×12=4
∵AP=12AC+13AB，
∴|AP|2|=|12AC+13AB|2=14AC|2+13AB⋅AC+19|AB|2
=14|AC|2+19|AB|2+43≥214|AC|2×19|AB|2+43
=2×12|AC|×13|AB|+43=13×8+43=4
当且仅当12|AC|=13|AB|时等号成立
∴|AP|≥2当且仅当|AB|=23|AC|=433时等号成立
即|AP|的最小值为2
故答案为：12;2．
18.【答案】2
14
【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中档题．
先根据对数的运算性质可得xy=2，再根据基本不等式求最值即可．
【解答】
解：实数x、y满足x>y>0，且lg2x+lg2y=1，则xy=2，
则2x+1y≥22x⋅1y=2，
当且仅当x=2，y=1时取等号，
故2x+1y的最小值是2，
因为x−y>0，
x−yx2+y2=x−y(x−y)2+2xy=x−y(x−y)2+4
=1(x−y)+4x−y≤12(x−y)×4x−y=14，
当且仅当x−y=4x−y且xy=2，即x=3+1,y=3−1时取等号，
故x−yx2+y2的最大值为14，
故答案为：2；14．

19.【答案】3
2
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形：x=x−1+1，属于基础题．
由x>1可得x−1>0，函数f(x)=1x−1+x=x−1+1x−1+1，利用基本不等式即可得出．
【解答】
解：∵x>1，
∴x−1>0．
∴函数f(x)=1x−1+x=x−1+1x−1+1≥2(x−1)⋅1x−1+1=3，
当且仅当x−1=1x−1，即x=2时取等号．
∴函数f(x)=1x−1+x的最小值是3，此时x=2．
故答案为：3；2．

20.【答案】−2
24
【解析】
【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，正余弦定理，基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是较难题．
由已知可得b2−c2=−3a2，利用同角三角函数基本关系式，正余弦定理可求tanCtanB的值；利用诱导公式与三角形内角和得tanA=−tan(C+B)，利用两角和的正切公式展开，结合第一空结论化简得11tanB+2tanB，利用基本不等式即可求解其最大值．
【解答】
解：设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.b2+3a2=c2，
∴b2−c2=−3a2，
∴则tanCtanB=sinCcsC×csBsinB=c×a2+c2−b22acb×a2+b2−c22ab
=a2+c2−b2a2+b2−c2=4a2−2a2=−2．
∵b2−c2=−3a2<0，即b∵tanA=−tan(C+B)=−tanB+tanC1−tanBtanC
=tanB1+2tan2B=11tanB+2tanB≤122=24，
当且仅当1tanB=2tanB即tanB=22时等号成立，
故tanA的最大值是24．
故答案为：−2，24．

21.【答案】解：(1)由基本不等式，得a2+b2≥2ab，
且2a2+2b2≥(a+b)2=4，
所以a2+b2≥2，当且仅当a=b=1时等号成立．
(2)2a+1b=a+b2×(2a+1b)
=32+ba+a2b
≥32+2ba⋅a2b
=32+2
=(2+2)24，
当且仅当ba=a2b时等号成立，
故2a+1b≥1+22成立．
【解析】本题考查基本不等式，属于中档题．
(1)由基本不等式，得a2+b2≥2ab，2a2+2b2≥(a+b)2=4，即可得证;
(2)2a+1b=a+b2×(2a+1b)=32+ba+a2b，然后利用基本不等式即可证明，注意等号成立的条件．
22.【答案】证明：(1)由柯西不等式得：(a+b)(a5+b5)
≥(a⋅a5+b⋅b5)2=(a3+b3)2=4，
当且仅当ab5=ba5，即a=b=1时取等号；
(2)∵a3+b3=2，
∴(a+b)(a2−ab+b2)=2，
∴(a+b)[(a+b)2−3ab]=2，
∴(a+b)3−3ab(a+b)=2，
∴(a+b)3−23(a+b)=ab，
由均值不等式可得：
(a+b)3−23(a+b)=ab≤(a+b2)2，
∴(a+b)3−2≤3(a+b)34，
∴14(a+b)3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
【解析】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．
(1)由柯西不等式即可证明，
(2)由a3+b3=2转化为(a+b)3−23(a+b)=ab，再由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab≤(a+b2)2，即可得到14(a+b)3≤2，问题得以证明．
23.【答案】解：(1)∵g(x)为偶函数，g(x)=x2−ax+6，
∴g(−x)=g(x)，
∴x2−ax+6=x2+ax+6，
∴a=0，
∴g(x)=x2+6，
∴g(x)的增区间为(0,+∞)；
(2)∵关于x的不等式g(x)<0的解集为{x|2∴a=2+3=5，
∴g(x)=x2−5x+6，
∴x>1时，g(x)x−1=x2−5x+6x−1=(x−1)2−3(x−1)+2x−1=(x−1)+2x−1−3
≥2(x−1)⋅2x−1−3=22−3，当且仅当x=2+1时取等号，
∴g(x)x−1的最小值为22−3;
(3)∵任意x1∈[1,+∞)，f(x)=lg12(x2+1)，
∴f(x)max=f(1)=lg122=−1，
∵任意x1∈[1,+∞)，x2∈[−2,4]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，
∴x2−ax+6≥−1在[−2,4]上恒成立，
即x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，
设h(x)=x2−ax+7，则对称轴为x=a2，
①当a2≤−2时，即a≤−4时，h(x)在[−2,4]上为增函数，
∴h(x)min=h(−2)=11+2a≥0，即a≥−112，
∴−112≤a≤−4，
②当a2≥4时，即a≥8时，h(x)在[−2,4]上为减函数，
∴h(x)min=h(4)=23−4a≥0，即a≤234，
∴此时为空集，
③当−4∴h(x)min=h(a2 )=−a24+7≥0，即−27≤a≤27，
∴−4综上所述a的取值范围为[−112,27].
【解析】本题考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是较难题．
(1)根据偶函数的定义即可求出a的值，根据二次函数的性质可得增区间，
(2)先求出a=5，再构造基本不等式，即可求出最小值，
(3)先根据复合函数的单调性，求出函数f(x)max=−1，则可得x2−ax+7≥0在[−2,4]上恒成立，再分类讨论，即可求出a的范围．
24.【答案】解：(1)由题意知，y=(4+20p)p−x−6(p+1p)，
将p=x4代入化简得：y=20−(32x+24x)(2≤x≤a)；
(2)因为x为正数，
所以y=20−(32x+24x)≤20−232x⋅24x=8，
当且仅当x=4时，上式取等号；
当a≥4时，促销费用投入4万元时，该公司的利润最大；
当2所以y′=−32+24x2，在区间[2,4)上y′>0，
即当2因此x=a时，函数有最大值．
即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．
综上所述，当a≥4时，促销费用投入4万元时，该公司的利润最大；
当2【解析】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．
(1)根据产品的利润=销售额−产品的成本建立函数关系；
(2)利用导数和基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．
25.【答案】解：(1)因为b+2ccsB=2a，
由余弦定理得b+2c×a2+c2−b22ac=2a，化简得a2+b2−c2=ab，
则a2+b2−c22ab=12，
得csC=12，
又，所以．
(2)因△ABC的面积为332，所以12absinC=34ab=332，
所以ab=6，
则a+b≥2ab=26，当a=b=6时取等号，
由(1)得c2=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab=6，当a=b=6时取等号，
得c≥6，所以a+b+c≥36，当a=b=c=6时取等号．
所以△ABC的周长的最小值为36．
【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属中档题．
(1)依题意，根据余弦定理化简即可．
(2)由面积公式得ab=6，a+b≥2ab=26，当a=b=6时取等号，由(1)得c2=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab=6，得c≥6，从而求得结果．