2021-2022学年度北师大版九年级数学上册期末模拟试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年度北师大版九年级数学上册期末模拟试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，四象限D．第三，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年度北师大版九年级数学上册期末模拟试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分）
1．如图所示的工件的主视图是（　　）

A． B． C． D．
2．反比例函数y＝﹣的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝
5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
6．下列说法不正确的是（　　）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形
B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
7．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（　　）
A．红球比白球多 B．白球比红球多
C．红球，白球一样多 D．无法估计
8．反比例函数y＝与一次函数y＝﹣kx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．3.2+x＝6 B．3.2x＝6
C．3.2（1+x）＝6 D．3.2（1+x）2＝6
10．如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（　　）

A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
11．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
12．如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分。）
13．顺次连接矩形各边中点所得四边形为　 　形．
14．已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y＝的图象上，则x1　 　x2（填“＜”或“＞”或“＝”）
15．如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为　 　cm3．

16．如图，A、B是双曲线y＝（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标之比是1：3，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝2，则k＝　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共52分。）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣16＝0；
（2）2x2﹣5x﹣3＝0．
18．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A'B′C′．
（1）写出点A'、B′、C′的坐标（点A、B、C的对应点为A′、B′、C′）；
（2）求△A'B′C′的面积．

19．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．
20．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE的是矩形；
（2）若AB＝17，BC＝16，求四边形ADCE的面积．

21．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）①BQ＝　 　，BP＝　 　；（用含t的代数式表示）
②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明
理由．

23．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．
（1）B点的坐标为　 　；
（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE+QF+QB的值最小时，求出Q点坐标．



参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．如图所示的工件的主视图是（　　）

A． B． C． D．
解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．
故选：B．
2．反比例函数y＝﹣的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
解：∵k＝﹣1，
∴图象在第二、四象限，
故选：C．
3．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，，，，
故选：D．
4．下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝
解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、是正比例函数，故此选项错误；
C、不是反比例函数，故此选项错误；
D、是反比例函数，故此选项正确．
故选：D．
5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＝0，
解得：k＝1．
故选：A．
6．下列说法不正确的是（　　）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形
B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
故选：B．
7．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（　　）
A．红球比白球多 B．白球比红球多
C．红球，白球一样多 D．无法估计
解：需要大量重复实验，才能得出结论．本题无法估计盒中红球和白球的个数．
故选：D．
8．反比例函数y＝与一次函数y＝﹣kx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：当k＞0时，∵k＞0，﹣k＜0，
∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第二、三、四象限；
当k＜0时，∵k＜0，﹣k＞0，
∴反比例函数y＝的图象在第二、四象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第一、二、三象限．
故选：C．
9．某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．3.2+x＝6 B．3.2x＝6
C．3.2（1+x）＝6 D．3.2（1+x）2＝6
解：设这两年投入资金的年平均增长率为x，
由题意得，3.2（1+x）2＝6．
故选：D．
10．如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（　　）

A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
解：由反比例函数的对称性，得
OA＝OC，OB＝OD，
ABCD是平行四边形，
故选：A．
11．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，
∴AB＝BD＝CD，AE∥BF∥DG∥CH，
∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP＝∠DMK＝∠CHN，
∴BE∥DF∥CG
∴∠BPQ＝∠DKM＝∠CNH，
∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，
∴＝＝，＝＝，
∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，
∴＝，
∴＝，＝，
∴S2＝4S1，S3＝9S1，
∵S1+S3＝20，
∴S1＝2，
∴S2＝8．
故选：B．
12．如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵AG∥FC且AG＝FC，
∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确；
∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND
在△ADE和△BAF中，
∵，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AEM＝90°
∴∠EAM+∠AEM＝90°
∴∠AME＝90°
∴∠GND＝90°
∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．
∵G点为AD中点，
∴GN为△ADM的中位线，
即CG为DM的垂直平分线，
∴GM＝GD，CD＝CM，故②错误；
在△GDC和△GMC中，
∵，
∴△GDC≌△GMC（SSS），
∴∠CDG＝∠CMG＝90°，
∠MGC＝∠DGC，
∴GM⊥CM，故①正确；
∵∠CDG＝∠CMG＝90°，
∴G、D、C、M四点共圆，
∴∠AGM＝∠DCM，
∵CD＝CM，
∴∠CMD＝∠CDM，
在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，
∴DM＜AD，
∴DM＜CD，
∴∠DMC≠∠DCM，
∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分。）
13．顺次连接矩形各边中点所得四边形为　菱　形．
解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF＝GH＝AC，FG＝EH＝BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC＝BD，
∴EF＝GH＝FG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱形．

14．已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y＝的图象上，则x1　＜　x2（填“＜”或“＞”或“＝”）
解：由题意，得
k＝﹣3，图象位于第二象限，或第四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵3＜6，
∴x1＜x2，
故答案为＜．
15．如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为　27　cm3．

解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，
延长FE交AC于点D，
则EF＝2xcm，EG＝xcm，DF＝4xcm，
∵DF∥BC，
∴∠EFG＝∠B，
∵tan∠EFG＝＝，
∴tanB＝＝，
∵BC＝24cm，
∴AC＝12cm，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣2x（cm）
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACB，
∴＝，
即＝，
解得：x＝3，
即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm，
∴这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．
故答案为：27．

16．如图，A、B是双曲线y＝（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标之比是1：3，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝2，则k＝　1　．

解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E．
设A为（a，），则B为（3a，），
则AD∥BE，AD＝3BE＝，
∴△ADC∽△BEC，
∴EC：CD＝1：3，
∴EC＝DE＝a，
∴OC＝4a，
又∵A（a，），B（3a，），
∴S△AOC＝AD×CO＝××4a＝2，
解得：k＝1．
故答案为1．

三、解答题（本大题共7小题，共52分。）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣16＝0；
（2）2x2﹣5x﹣3＝0．
解：（1）（x﹣2）2﹣16＝0，
（x﹣2）2＝16，
x﹣2＝±4，
x1＝6，x2＝﹣2．

（2）2x2﹣5x﹣3＝0，
a＝2，b＝﹣5，c＝﹣3，
Δ＝b2﹣4ac＝25+24＝49＞0，
x＝，
∴x1＝3，x2＝﹣．
18．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A'B′C′．
（1）写出点A'、B′、C′的坐标（点A、B、C的对应点为A′、B′、C′）；
（2）求△A'B′C′的面积．

解：（1）∵以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），
∴点A'的坐标为（﹣2×2，4×2）、B′的坐标为（﹣3×2，1×2）、C′的坐标为（﹣1×2，1×2），
∴点A'的坐标为（﹣4，8）、B′的坐标为（﹣6，2）、C′的坐标为（﹣2，2）；
（2）∵A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），
∴△ABC的面积＝×2×3＝3，
∴△A'B′C′的面积＝3×22＝12．
19．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．
解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，
∴随机地从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是：；
（2）画树状图得：

由树形图可知所有可能的情况有9种，其中两次取出的都是白色球有1种，所以两次取出的都是白色球的概率＝．
20．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE的是矩形；
（2）若AB＝17，BC＝16，求四边形ADCE的面积．

【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，
∴AO＝OC，
∵OE＝OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，
∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝＝15，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．
21．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得：3•＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）①BQ＝　5﹣2t　，BP＝　t　；（用含t的代数式表示）
②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明
理由．

解：（1）①在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，
根据勾股定理得，AB＝5cm，
由运动知，BP＝t，AQ＝2t，
∴BQ＝AB﹣AQ＝5﹣2t，
故答案为：5﹣2t，t；

②如图1，过点Q作QD⊥BC于D，
∴∠BDQ＝∠C＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDQ∽△BCA，
∴，
∴，
∴DQ＝（5﹣2t）
∴y＝S△PBQ＝BP•DQ＝×t×（5﹣2t）＝﹣t2+t；

（2）不存在，理由：∵AC＝3，BC＝4，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
由（1）知，S△PBQ＝﹣t2+t，
∵△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一，
∴﹣t2+t＝3，
∴2t2﹣5t+10＝0，
∵△＝25﹣4×2×10＜0，
∴此方程无解，
即：不存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一；

（3）由（1）知，AQ＝2t，BQ＝5﹣2t，BP＝t，
∵△BPQ是等腰三角形，
∴①当BP＝BQ时，
∴t＝5﹣2t，
∴t＝，
②当BP＝PQ时，如图2过点P作PE⊥AB于E，
∴BE＝BQ＝（5﹣2t），
∵∠BEP＝90°＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BEP∽△BCA，
∴，
∴，
∴t＝
③当BQ＝PQ时，如图3，过点Q作QF⊥BC于F，
∴BF＝BP＝t，
∵∠BFQ＝90°＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BFQ∽△BCA，
∴，
∴，
∴t＝，
即：t为秒或秒或秒时，△BPQ为等腰三角形．



23．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．
（1）B点的坐标为　（3，1）　；
（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE+QF+QB的值最小时，求出Q点坐标．

解：（1）B点的坐标为（3，1）；

（2）∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P在直线y＝x上，
∴设P（m，m）
①若PC为平行四边形的边，
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，
∴点C在点P的下方，则点C的坐标为（m+2，m﹣2）如图1，
若点C在点P的上方，则点C的坐标为（m﹣2，m+2）如图2，
把C（m+2，m﹣2）代入反比例函数的解析式得：m＝±，
∵m＞0，
∴m＝，＞
∴C1（，），
同理可得另一点C2（﹣2，）；
②若PC为平行四边形的对角线，如图3，
∵A、B关于y＝x对称，
∴OP⊥AB
此时点C在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y＝的交点，
由
解得，（舍去）
∴C3（，）
综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：C1（，），C2（﹣2，），C3（，）；

（3）连接AQ，设AB与PO的交点为D，如图4，
∵四边形AOBP是菱形，
∴AO＝AP
∵S△AOP＝S△AOQ+S△APQ，
∴PO•AD＝+
∴QE+QF＝为定值，
∴要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值最小，当QB⊥PO时，QB最小，
所以D点即为所求的点，
∵A（1，3），B（3，1）
∴D（2，2），
∴当QE+QF+QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）．