2020-2021学年7.4 三角函数应用精品随堂练习题

7.4三角函数的应用同步练习苏教版（ 2019)高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 据市场调查，某种商品一年内每月出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动为月份，已加3月份达到最高价9千元，7月份价格最低，为5千元，根据以上条件可确定的解析式为   

A.
B.
C.
D.

2. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从注：此时正常开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为．

A.
B.
C.
D.
 

3. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从注：此时正常开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为．

A.  B.
C.  D.

4. 如图，点P在以为直径的半圆弧上，点P沿着弧BA运动，记将点P到两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为   

A.  B.
C.  D.

5. 某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为

A. 75米 B. 85米 C. 100米 D. 110米

6. 智能主动降躁耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降躁芯片生成相等的反向的波抵消噪音如图已知某噪音的声波曲线的振幅为1，周期为，初相为0，则通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为   

A.  B.  C.  D.

7. 拱桥指的是在竖直平面内以拱作为结构主要承重构件的桥梁，如图是某拱桥的平面简化图，其形状可近似看作余弦型函数一个周期内的图象，则其解析式可能是

A.  B.  C.  D.

8. 车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数给出，的单位是辆分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的   

A.  B.  C.  D.

9. 如图，某摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足，，已知摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．则米关于分钟的解析式为

A.  B.
C.  D.

10. 人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值设某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，t为时间单位：，则下列说法正确的是   

A. 收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B. 收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C. 收缩压高于标准值、舒张压低于标准值
D. 收缩压低于标准值、舒张压高于标准值

11. 已知某帆船中心比赛场馆区的海面上海浪高度：米可看作时间，单位：时的函数，记作，经长期观测，的曲线可近似地看成是函数的图象，下表是某日各时的浪高数据：

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是

A.  B.
C.  D.

12. 如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将表示为x的函数，则在上的图象大致为
     

A.  B.
C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用如图假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度单位：米与转动时间单位：秒满足函数关系式，，且时，盛水筒M与水面距离为米，当筒车转动40秒后，盛水筒M与水面距离为          米．
14. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离单位：和时间单位：的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为          ．
     

15. 如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深单位：的最大值为          ．

16. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍所成角记，，则          ．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离单位：表示成单位：的函数，则          其中；d的最大值为          cm．
18. 如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度厘米由如下关系式：，，则小球在开始振动即时h的值为          ，小球振动过程中最大的高度差为          厘米．
     

19. 如图为一半径是的水轮，水轮圆心O距离水面，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离与时间满足函数关系，则          ，          ．
20. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”如图，永乐桥摩天轮的直径为110m，到达最高点时，距离地面的高度为120m，能看到方圆40km以内的景致，是名副其实的“天津之眼”实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一．永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到tmin后距离地面的高度为Hm，则转到10min后距离地面的高度为          m，在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式为          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

21. 弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡位置的距离随时间的变化曲线是一个三角函数曲线，其图象如图所示．
    
    
     

求这条曲线对应的函数解析式．

小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？






 

22. 如图，一只蚂蚁绕一竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8 m，圆环的圆心O距地面的高度为10 m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点处
     

试确定在时刻时蚂蚁距地面的；

在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14 m？






 

23. 如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足．
     

求这段时间内的最大温差；

写出这段曲线的函数解析式．






 

24. 一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点，求：

点P离地面距离米与时间分钟之间的函数关系式；

在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过14米？

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题根据一个实际问题的研究，着重考查了由的部分图象确定其解析式的知识点，考查了数学应用能力，属于中档题．
利用正弦函数的最值及已知条件，解之可得，根据函数的周期T，求出，最后用函数取最大值时对应x的值，可得的值，从而可以确定的解析式．

【解答】解：由题意得．
周期为．
当时，，即，
，．
．
．
故选A．  

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的应用．
易知函数的最小正周期，可求出再利用初始位置的坐标求出，问题得以解决．
【解答】

解：由题意，设，
由题意知，函数的最小正周期，
，，
设函数解析式为秒针是顺时针走动．

又时，初始位置为，
时，．

，，
．
故选C．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用．
易知函数的最小正周期，可求出再利用初始位置的坐标求出，问题得以解决．

【解答】

解：由题意，设，，，
由题意知，函数的最小正周期，
，，
设函数解析式为秒针是顺时针走动．

又时，初始位置为，

，，
．
故选C．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
先根据题意列出函数解析式，再分析图象即可得出答案．
【解答】
，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
选项D符合题意，
故选：D．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了计算能力和数形结合的方法，是中档题．
设出函数的解析式，利用待定系数法求得对应系数，写出的解析式，再计算的值．

【解答】

解：设该人与地面的高度与时间t的关系为
，
由题意可知，，，
，
即，
又，
即，故，
，
．
故选：B．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的图象与性质，考查三角函数的应用，属于基础题．
根据题意可得，根据周期为可求出的值，由此即可求出答案．

【解答】

解：根据题意可得，
由，解得，
所以噪音声波曲线为，
所以通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为．
故选C．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用．
由题意，建立平面直角坐标系，求出A和的值，即可求解．

【解答】

解：由题意，建立平面直角坐标系，如图所示，

则，其中，最小正周期
所以，所以．
故选D．

8.【答案】B
 

【解析】略
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数在实际问题中的应用，是基础题．
由题意得出A、b、T和的值，再求出的值即可．

【解答】

解：由题意知，，，，
所以，
所以，
令，得，
又，
所以，
所以函数．
故选：C．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角函数模型的运用，三角函数最值，属于基础题．
根据题意求出某人的收缩压和舒张压，然后与标准值对比即可得到答案．
【解答】
解：某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，t为时间单位：
则此人收缩压  ；舒张压   ，
所以此人的收缩压高于标准值、舒张压低于标准值．
故选C．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数模型的应用和由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，属于基础题．

由周期求出，由函数的最大值、最小值求出A和b，可得函数的解析式．

【解答】

解：根据函数的解析式，以及所给的表格，

可得，

， 

又最大值为2，最小值为1，

，且，

解得，，
函数的解析式为，
故选B．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数模型的应用，余弦函数的图象与性质，向量的数量积，正确表示函数的解析式是解题的关键，属于中档题．
化简为，对，分类讨论，用x表示，即可知的值，进而得到的函数解析式，再由各选项的图象作出判断．
【解答】
解：依题意可知，，
，
当时，，
又是P关于OB的对称点，则，
，当时，
，
又时，，
又是P关于OB的对称点，则，
，当时，
，
综上所述时，，

，，
的图象为A所示，
故选A．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了三角函数模型的应用，属于基础题．
将，米代入可得，得出函数关系式，再将代入函数关系式可得结果．

【解答】解：因为时，盛水筒M与水面距离为米，
所以，
即，
又，则，
所以，
当时，，
故答案为．  

14.【答案】1s
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，及函数的性质，为基础题．
由函数关系式得出周期，即可得出单摆来回摆动一次所需的时间．

【解答】

解：函数关系式为，
则，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s．
故答案为1s．

15.【答案】8
 

【解析】

【分析】

由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．
本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．

【解答】

解：由题意可得当取最小值时，
函数取最小值，解得，
，
当取最大值3时，
函数取最大值，
故答案为8．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数模型的应用，掌握两角和的正切公式是解题的关键．
根据题意得，，然后代入两角差的正切公式即可求得结果．
【解答】
解：由题意知，设晷影长为表高的2倍时的晷影长为，晷影长为表高的3倍时的晷影长为，
，，
，即
，
，即
，
．
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数模型的应用，考查三角函数的最值问题，属于基础题．
由题意可求出，由此可得出，，继而可求出d的最大值．

【解答】

解：由题意，得．

故，．

由，知，

所以当，即时，d取最大值是．
故答案为，10．

18.【答案】 

【解析】

【分析】
由已知把代入即可直接求解，然后结合辅助角公式及正弦函数的性质即可求解．

本题主要考查了三角函数知识在实际问题中的应用，属于基础试题．
【解答】
解：，，
当时，，
小球振动过程中最大的高度差．
故答案为：；

19.【答案】

3

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数在实际问题中的应用，属于基础题．
由题意知，，．

【解答】

解：函数表达式为，
则由题意得，；；
故；
故答案为；3．

20.【答案】 

【解析】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系．

设时，游客甲位于点，以OP为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要30min，
可知座舱转动的角速度约为，
由题意可得，．
当时，．
故答案为：，．
建立适当的直角坐标系，用坐标表示点P，建立高度H与t的函数关系式，从而求出对应的函数值．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：设这条曲线对应的函数解析式为，
由图象可知：，周期，
所以，
此时所求函数的解析式为，
以点为“五点法”作图的第二关键点，则有，所以，
故函数解析式为；
当时，，
所以小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是．
 

【解析】本题主要考查了三角函数模型的运用，属于基础题．
先设函数解析式为，再根据图象求出与周期，进而得到，再根据以点为“五点法”作图的第二关键点，得到，求出，即可求出函数解析式；
将代入中解析式求值即可求解．
 

22.【答案】解：设在时刻时蚂蚁达到点P，
由OP在t分钟内所转过的角为，
可知以Ox为始边，OP为终边的角为，
则P点的纵坐标为，
则，
．
，
，
因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令，
，
所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．
 

【解析】本题考查了在实际问题中学生建立三角函数模型的能力．
先算出以OP为终边的角，根据三角函数求解；
根据题意可得，利用三角函数的性质进行求解．
 

23.【答案】解：根据图象可知这段时间的最大温差是．
图中从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，
所以，，
又，，
所以．
当时，又由知，，所以，
所以所求函数解析式为，．
 

【解析】本题考查三角函数在生活中的应用．此题主要考查由函数的部分图象确定其解析式的基本方法．
由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差；
、b可由图象直接得出，由周期求得，然后通过特殊点求，则问题解决．
 

24.【答案】解：设，
由题意得：，，；
则，当时，，即；
因此，；
因此，，；
由题意：，即：；
则：；
又因为，
所以．
 

【解析】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是基础题．
设，由题意求得A、T、b和、的值，写出的解析式；
由题意令，求得t的取值范围即可．