2020-2021学年第8章 函数应用8.1 二分法与求方程近似解精品随堂练习题

8.1二分法与求方程近似解同步练习苏教版（ 2019）高中数学必修一

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 下列说法不正确的是

A. 已知方程的解在内，则
B. 函数的零点是，
C. 函数，的图像关于对称
D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上

2. 下列图象表示的函数能用二分法求零点的是 

A.   B.  
C.   D.

3. 方程的根所在的区间为

A.  B.  C.  D.

4. 若是方程的实数解，则属于区间

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数，用二分法求方程在内近似解的过程中，取区间中点，那么下一个有根区间为   

A.  B.
C. 或都可以 D. 不能确定

7. 函数在区间内的零点个数是　　

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

8. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示：

则方程的近似解可取为精确度   

A.  B.  C.  D.

10. 在用二分法求方程在内近似根的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间   

A.  B.  C.  D. 不能确定

11. 用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是

A.  B.  C.  D.

12. 用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数m的值是________．
14. 在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为____
15. 若函数在区间上各有一个零点，则实数m的取值范围是          ．
16. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，它的部分取值如下表所示：

则函数在区间上的零点个数至少为          ．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 已知函数，则时，的最小值为          ，设，若函数有6个零点，则实数a的取值范围是          ．
18. 已知函数，若的零点均小于1，则实数a的取值范围为          ；若在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为          ．
19. 用二分法研究函数的零点时，第一次计算得：，，则得其中一个零点          ，第二次应计算          ．
20. 若函数且，函数．
    若，函数无零点，则实数k的取值范围为      ；
    若有最小值，则实数a的取值范围是      ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

21. 求证函数至少有一个零点．
    
    
    
    
    
    
     
22. 求证：的一根在区间，另一个根在区间上．
    
    
    
    
    
    
     
23. 函数的两个零点为2，3．

求b，c的值；

若函数的两个零点分别在区间，内，求m的取值范围．






 

24. 若函数只有一个零点，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知一次函数交x轴于．
    求a的值；
    求函数的零点．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查零点判断定理、零点的定义、反函数和二分法求求方程的近似解，属于基础题．
利用零点判断定理、零点的定义、反函数和二分法对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于选项A，令，

因为在R上是增函数，且，

所以方程的解在，所以，故A正确；

对于选项B，令得或，故函数的零点为和3，故B错误；

对于选项C，函数与函数互为反函数，所以它们的图像关于对称，故C正确；

对于选项D，由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间上，故D正确．
故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查用二分法求方程的近似解，零点存在定理的运用，属于基础题．
利用二分法求方程的近似解时，函数存在零点且函数在零点附近的函数值的符号相反进行判断，即可求解．

【解答】

解：由函数图象可得，
A中的函数没有零点，不能用二分法求零点，故排除
B和D中的函数有零点，但函数在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点，排除B和
只有C中的函数存在零点且函数在零点附近的函数值的符号相反，故能用二分法求函数的零点，
故选C．

3.【答案】C
 

【解析】解：令，则在上为增函数．
，，，，，
因为，所以在内有零点，
所以方程的根在此区间上，
故选C．
方程的根即函数的零点，而函数在定义域上单调连续，从而即可求零点的区间．
本题考查了方程的根与函数的零点的应用，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：方程，
设对应函数，在上单调递增，
，，
根据零点存在定理可知在区间内函数存在零点，
即属于区间．
故选：C．
由方程，设对应函数，然后根据零点存在定理进行判断即可．
本题主要考查函数零点的判断，利用零点存在定理是解决本题的关键，属于基础题．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的零点判定定理，注意函数零点的定义，属于基础题．
根据题意，对于，由零点的定义可得，解可得c的值，对于、，由零点判定定理分析a、b的范围，据此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于，，其零点为c，则有，解可得，
对于，为单调减函数，
且有，，
，
对于，为单调减函数，
有，

，则，
则有，
故选：B．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的零点，理解函数零点的判定方法是解决问题的关键属于基础题．
根据，，及函数零点的判定方法即可求出下一个有根的区间．

【解答】

解：，，
，
的下一个有根的区间为．
故选B．
 

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的零点，解题的关键是把一个函数变化为两个基本初等函数，利用数形结合的方法得到结果，属基础题．
要求函数的零点，只要使得函数等于0，移项变成等号两个边分别是两个基本初等函数，在同一个坐标系中画出函数的图象，看出交点的个数．
【解答】
解：
，
令，，
根据这两个函数的图象在同一个坐标系中的位置关系知，
两个图象在区间内有1个公共点，
原函数在区间内的零点个数是1．
故选C．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是方程的根，函数的零点，其中熟练掌握函数零点的存在定理是解答的关键．
设，当连续函数满足时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．

【解答】

解：设，
当连续函数满足时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又，，
故，
故方程在区间上有解，
故选：C．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及二分法的应用，属于基础题．
由二分法及函数零点的判定定理可知．
【解答】
解：由表格可得，
函数的零点在之间；
结合选项可知，
方程方程的近似解可取为精确度为可以是；
故选B．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查利用二分法求方程的近似解的应用，属于基础题．
根据二分法求区间根的方法只须找到满足，又，可得结论．

【解答】

解：， 

由零点存在定理，可得方程的根落在区间 

故选B．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查利用二分法求函数零点的步骤，属于基础题．
利用函数零点存在性定理确定零点所在区间即可．

【解答】

解：单调递增且连续，
因为，，，
故可取作为初始区间．
故选A．

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数零点存在定理，二分法，试题难度较易．
根据题意求解即可．

【解答】

解：，，
，
故用二分法求函数的零点，可取作为初始区间．
故选A．

13.【答案】4
 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，以及利用二分法求函数零点的适用情况，属于基础题．
这个二次函数对应的方程为一元二次方程，所以如果这个二次函数有零点但是不能利用二分法求出，则对应的一元二次方程只有一个根，所以判别式等于0．
【解答】
解：这个二次函数对应的方程为一元二次方程，
所以如果这个二次函数有零点但是不能利用二分法求出，
则对应的一元二次方程只有一个根，所以判别式等于0．
所以，
故答案为4．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二分法求解方程的近似解，以及函数的零点存在定理，属于基础题．
令，可知，然后根据二分法求近似解可判断的符号，以及下一个中点的符号即可．
【解答】
解：令，可知，
且，
故函数零点位于，
又，
所在的开区间为．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数零点的分布，涉及二次函数的图象和性质，属于基础题．
根据图象和性质转化为关于区间端点的函数值的正负问题求解．

【解答】

解：函数在区间上各有一个零点，
等价于
解得，
实数m的取值范围是．
故答案为．

16.【答案】3
 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点存在定理，属于基础题．
由数据可得，，，，即可求解．

【解答】

解：由数据可得，
，
则在上至少存在一个零点，
，
则在上至少存在一个零点，
，
则在上至少存在一个零点，
故函数在区间上的零点个数至少为3．
故答案为3．

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及区间最值问题，函数与方程根的个数问题，考查学生计算能力与数形结合思想，属于难题．
利用函数求导，得到函数的单调区间，求出函数在上的最小值，利用换元法，结合函数图象将函数有6个零点，转化为方程，方程需由两个根且，列出不等式，即可求出实数a的取值范围．
【解答】
解：由题意得当时，，
所以，令，所以或，
所以在单调递增，在单调递减，
因为时，，所以在单调递增，
因为，所以函数在出连续不断开；
当时，函数在单调递增，在单调递减，单调递增；
因为，所以在上的最小值为；
因为设，画出函数图象得到

所以当时，，有三个交点，
因为函数有6个零点，
所以等价转化为方程，需由两个根且，
所以，所以，
所以实数a的取值范围是．
故答案为，．  

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了函数零点存在定理、函数的零点与方程根的关系，属于基础题．
若的零点均小于1，由二次函数性质可得a的不等式组，解之即可；若在内恰有一个零点，由函数零点存在定理或是由二次函数性质可得关于a的不等式组，解之即可．

【解答】

解：若的零点均小于1，
则解得．
若在内恰有一个零点，
则，或
解得．
故答案为．

19.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数零点存在定理以及二分法，由题意根据函数的零点存在定理和二分法进行求解即可．

【解答】

解：根据题意，对于函数，计算可得，，
则其中一个零点，
第二次计算，即的值．

20.【答案】

【解析】解：时，画出函数的图象，如图所示：
，
若函数无零点，则和无交点，
结合图象，；
若，显然无最小值，故，
结合，解得：，
故；
故答案为：，．
画出函数的图象，结合图象求出k的范围即可；通过讨论a的范围，结合对数函数的性质求出满足条件的a的范围即可．
本题考查了函数的零点问题，考查对数函数的性质以及数形结合思想，转化思想，是一道中档题．
 

21.【答案】解：由，得，，
又图像在上是一条连续曲线，
由函数零点存在定理，知在上至少有一个零点．
即函数至少有一个零点．
 

【解析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题型，
由，，又图像在上是一条连续曲线，即可求解．
 

22.【答案】证明：设，显然是R上连续的函数．
因为，所以．
由函数零点存在性定理可知函数的零点一个在区间内，另一个在区间内．
所以方程的根一个在区间上，另一个在区间上．
 

【解析】此题主要考查了函数零点存在性定理和函数的零点与方程根的关系方程的根即函数的零点，所以根据函数零点存在性定理去证明即可．
 

23.【答案】解：由题意可知2，3为方程的两根，

．

，

依题意

解得，

故实数m的取值范围是．

【解析】本题考查一元二次方程的解集及其根与系数的关系，零点判定定理的应用，考查计算能力．
根据题意得到即可．
利用的两个零点分别在区间和内，列出不等式组，即可求出m的范围．
 

24.【答案】解：当时，与x轴只有一个交点，此时函数只有一个零点．
当时，要使得只有一个零点，则要，此时．
综上所述，当或时，函数只有一个零点．
 

【解析】由题意，讨论函数是一次函数还是二次函数，从而求解．
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．
 

25.【答案】解：由题意，，
解得，；
由题意，令，
则或，
从而函数的零点为0，．
 

【解析】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．
由题意，，从而求解；
函数的零点即方程的解，从而求解．