2020-2021学年12.4 复数的三角形式精品课时作业

12.4复数的三角形式同步练习苏教版（ 2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是

A. 2i B.  C.  D.

2. 任意复数为虚数单位都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值．若复数，则z的辐角主值为

A.  B.  C.  D.

3. 复数，则在复平面内，复数对应的点在    

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 设复数和复数的辐角主值分别为、，则等于

A.  B.  C.  D.

5. 任意复数为虚数单位都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值．若复数，则z的辐角主值为

A.  B.  C.  D.

6. 设，则复数的辐角主值为

A.  B.  C.  D.

7. 在复平面内，复数对应向量为坐标原点，设，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则   

A.  B.
C.  D.

8. 在复平面内，O为坐标原点，复数z对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为 

A.  B.  C.  D.

9. 复数的辐角主值是 

A.  B.  C.  D.

10. 已知向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转得到，则向量对应的复数的代数形式为 

A.  B.
C.  D.

11. 棣莫弗公式为虚数单位是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于   

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

12. 复数都可以表示为，其中为z的模，称为z的辐角．已知复数z满足，则z的辐角为

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在复平面内，将复数对应的向量按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为_____
14. 在复平面内，将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为          ．
15. 设复数，，则的辐角的主值是______________．
16. 复数 为虚数单位的辐角主值是          填角度

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 已知，，则          ，          ．
18. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 xisin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，则          ；          ．
19. 已知，其中x，，则      ，      ．
20. 已知a，，i是虚数单位，，则      ，      ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

21. 化简：

；

．






 

22. 计算：

；

；

；

．






 

23. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数用代数形式表示．
    
    
    
    
    
    
     
24. 计算：

；

；

；

．






 

25. 求证：

；

．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查复数乘法的几何意义，属于基础题．
根据复数乘法的几何意义得到，化简后即为所求结果．

【解答】

解：根据复数乘法的几何意义，对应的复数为：．
故选B．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了复数的运算，复数的三角形式的定义，属于基础题．
先利用复数的除法运算化简z，然后根据定义化为三角形式，可得辐角主值．
【解答】
解：

，
的辐角主值为，
故选D．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查复数三角形式的运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
由已知求得，得到在复平面内的坐标得答案．

【解答】

解：，


在复平面内，复数对应的点的坐标为，在第二象限．
故选B．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查两个角和的正切公式，考查复数辐角主值概念，属于基础题．
复数和的辐角主值分别是，，求得，，利用两个角和的正切公式求出，进而求得结果．
【解答】
解：复数和的辐角主值分别是，，
所以，，且，
所以，
因为，，
所以
故选C．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

 
本题考查复数的三角形式和运算，属于基础题．
先化简复数 ，然后根据复数的三角形式，求出z的辐角主值．

【解答】

 
解：，，
，．
故z的辐角主值为，
故选：D．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查复数的辐角主值，考查复数除法运算的三角表示，属于基础题．
根据复数除法运算的三角表示得到原式，结合复数的辐角主值的取值范围，即可得解．
【解答】
解：原式．

，，，
则辐角主值为．
故选B．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了复数乘方公式，属基础题．
根据复数乘方公式：，直接求解即可．
【解答】
解：根据复数乘方公式：，得

．
故选：D．  

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的几何意义，比较基础．
根据题意可知旋转所得的向量对应复数是，化简即可．

【解答】

解：由已知复平面内点Z对应的复数，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，
所以所得向量对应的复数是．
故选A．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的三角形式，属于基础题．
化复数的代数形式为三角形式，则辐角的主值可求．

【解答】

解：复数
，
所以复数的辐角主值是．
故选D．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
将复数对应的向量按逆时针方向旋转所得到的向量即将乘以，再化简成代数形式即可．

【解答】

解：．
故选A．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．
由题意可得，再由三角函数的符号得答案．

【解答】

解：由，
得，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查复数的三角形式，是基础题．
化复数的代数形式为三角形式，则辐角可求．
【解答】
解：由得，所以，
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数乘法、除法的几何意义，考查诱导公式，属于基础题．
根据复数乘法的三角形式的运算法则，即可求解．
【解答】
解：由题意知，所求复数为：




故答案为：  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数乘法、除法的几何意义，考查诱导公式，属于基础题．
根据复数乘法的三角形式的运算法则，即可求解．
【解答】
解：由题意知，所求复数为：




故答案为：  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了复数的四则运算及复数的三角形式，复数的辐角与辐角的主值 ，考查了计算能力，属于基础题．
由题意，利用复数的四则运算化简，由此可得其辐角的主值．
【解答】
解：，，
．
则的辐角的主值为．
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的三角形式，属于基础题．
把复数化为，即可求出结果．

【解答】

解：因为，
所以辐角主值为．
故答案为．

17.【答案】  

【解析】

【分析】
本题主要考查了复数乘法运算和除法运算的三角表示，属于基础题．
由题意得出，利用复数的乘法和除法．
【解答】
解：因为，

，

所以，

故答案为i；

18.【答案】0

【解析】解：，
，
因此，．
故答案为：0，．
根据复指数函数和三角函数的关系可计算得出的值，由已知条件得出，利用指数的运算性质以及复指数函数和三角函数的关系可求得的值．
本题考查指数幂和三角函数的计算，属于基础题．
 

19.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查复数的相等根据实部等于实部，虚部等于虚部进行解答．
【解答】
解：由得：
，
解得．
故答案为，．  

20.【答案】3

【解析】解：由，
得，，即，．
故答案为：3，．
利用复数代数形式的乘除运算变形，再由复数相等的条件求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
 

21.【答案】解：
；

．

【解析】本题考查复数的三角形式的乘除法的运算，属于基础题．
由复数的三角形式的乘除法的法则进行运算即可．
由复数的三角形式的除法法则运算．
 

22.【答案】解：









．
 

【解析】本题主要考查复数的三角表示及其乘除，属基础题．
利用复数的三角表示及其乘除运算规则运算即可；
利用复数的三角表示及其乘除运算规则运算即可；
利用复数的三角表示及其乘除运算规则运算即可；
利用复数的三角表示及其乘除运算规则运算即可；
 

23.【答案】解：因为复平面内点Z对应的复数
，
将向量绕原点O按顺时针方向旋转，
所以所得向量对应的复数是
．
所以与所得的向量对应的复数为．
 

【解析】本题考查复数的四则运算和复数三角形式，属于基础题．
根据题意可知旋转所得的向量对应复数是，化简即可．
 

24.【答案】解：原式

原式



原式


；
原式



．
 

【解析】本题主要考查了复数三角形式的乘法运算，涉及诱导公式，两角和与差的三角函数公式及特殊角三角函数值，属于基础题．
利用复数的三角形式的乘除运算规则进行运算即可．
利用复数的三角形式的乘除运算规则进行运算即可．
利用复数的三角形式的乘除运算规则进行运算即可．
利用复数的三角形式的乘除运算规则进行运算即可．
 

25.【答案】证明：左边



右边．
左边




右边．
 

【解析】本题考查了复数的三角表示以及乘除运算规则，是基础题．
根据复数的三角表示以及乘除运算规则进行计算证明即可；
根据复数的三角表示以及乘除运算规则进行计算证明即可．