高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形精品当堂达标检测题

13.1基本立体图形同步练习苏教版（ 2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是

A.  B.  C.  D.

2. 一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为 

A.  B.
C.  D.

3. 下列说法正确的是

A. 矩形的平行投影一定是矩形
B. 用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥
C. 根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形
D. 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

4. 下列说法正确的是   

A. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
B. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线；
C. 相等的角在直观图中对应的角仍相等；
D. 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等．

5. 正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为

A.  B.  C.  D.

6. 下列结论正确的是

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

7. 给出下列说法：

在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确说法的个数是   

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 已知三棱锥的外接球O的直径为PC，且，，，那么顶点P到平面ABC的距离为

A.  B.  C.  D.

9. 如图的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的

A.
B.
C.
D.

10. 下列说法正确的是 

A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
D. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形

11. 下列说法正确的是

A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 棱锥至少有6条棱
C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

12. 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知一圆锥纸盒母线长为6，其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为a的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则a的最大值为_______．
14. 如图所示的几何体的是由                         而形成的．
    
    
    
     

15. 下列说法中正确的是____填上序号

以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体就是棱柱；

若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；

用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行．

16. 一长方体的八个顶点都在半径为1的球面上，平面把该长方体分成了体积相等的两部分，则平面被这个球截得的截面面积为______．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是          ；此几何体的体积是          ．
    
    
    
     

18. 已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是       ，它的长度为       ．
19. 一个圆台的母线长为12cm，两底面积分别为和，圆台的高          ；截得此圆台的圆锥的母线长          ．
20. 已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面内到点A的距离为的点的集合形成一条曲线，那么，这条曲线的形状是          ；它的长度是          。

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

21. 如图，已知长方体中，，E，F分别是和AD的中点，求证：．
    
    
     

22. 请描述如图所示的组合体的结构特征．

23. 如图，已知长方体中，，E，F分别是和AD的中点，求证：．

24. 用斜二测画法画出一个上底面边长为，下底面边长为，高两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度为的正四棱台．简要写出核心步骤
    
    
    
    
    
    
     
25. 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．

由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；

一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体；

由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形；

一个圆绕其一条直径所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
对选项进行分析，即可得出结论．

【解答】

解：B是经过正方体对角面的截面；
C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；
D是经过一对平行的侧面的中心，跟正方体上下底面成一定夹角，但不是对角面的截面．
故选：A．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查球内接多面体、棱柱的结构特征，注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，属于基础题．
当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．

【解答】

解：当截面过正方体的体对角线时得C；

当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得B；

当截面平行于正方体的一个侧面时得   

但无论如何都不能截出D．

故选D．

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了平行投影，圆锥的几何特征，斜二测画法，棱柱的概念，属于基础题．
逐个判断即可得出结果．

【解答】

解：矩形的平行投影可能是矩形，可能平行四边形，也可能是线段，故A不正确；
用一张扇形的纸片可以卷成一个无底面的圆锥，故B不正确；
由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形，故C正确；
有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，
这些面围成的多面体是棱柱故D不正确．
故选C．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查空间几何中的棱台与圆台的结构特征等，属于基础题．
根据空间几何中的棱台与圆台的结构特征等逐一判断即可．
【解答】
解：用平面截棱锥，只有截面与棱锥底面平行时，截面与底面之间的部分才能叫棱台，A错误； 
B.圆台是由圆锥用平行于底面的平面截出来的，过其侧面上的点只有一条母线，B错误； 
C.相等的角在直观图中不一定相等，C错误； 
D.如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，D正确．
故选D．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．
根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．
【解答】
解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示

可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，
正四面体ABCD的棱长为4，
正方体的棱长为，
可得外接球半径R满足，，
E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积最小，
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，
得到截面圆的面积最小值为．
故选B．  

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了旋转体的定义，棱锥及圆锥的结构和性质，属于基础题．
对于每个选项，分别利用举反例法，六棱锥的结构和性质以及圆锥的结构和性质进行判断即可．

【解答】

解：A、如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；
  B、如图所示，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；
C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；
D、根据圆锥母线的定义知，D正确．
故选D．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了柱、锥、台的结构特征以及应用，属于基础题．
关键是熟练掌握各种空间几何体的结构特征，并能根据题中条件进行灵活应用．

【解答】

解：不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线
不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示

错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
故选A．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了几何体外接球，点到面的距离，属于中档题．
先得到三棱锥为正三棱锥，则O到面ABC的距离那么顶点P到平面ABC的距离为2d，
【解答】
解：由于PC是球O的直径，则和都是直角，
由于，，可得，
为PC中点，，
故三棱锥为正三棱锥，则O到面ABC的距离．
那么顶点P到平面ABC的距离为
 故选：C．  

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查旋转形成几何体的平面图形的判断，考查旋转体等基础知识，是基础题． 
几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体，由此能求出结果． 

【解答】

 解： 几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体， 
它是由A选项中的平面图形旋转而成的． 
故选： 

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题以命题的真假判断为载体，考查了柱锥台的基本概念，属于基础题．
利用解析几何知识，根据柱锥台的相关概念逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．

【解答】

解：对于A，经过圆台侧面上一点只有一条母线，A错误；
对于B，棱柱的底面是多边形，不一定是平行四边形，B错误；
对于C，用一个平面平行于棱锥底面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台，C错误；
对于D，圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，因为是轴截面，所以都是全等的等腰三角形，三角形的底边是圆锥的底面圆的直径，三角形的两腰是圆锥的母线长，D正确；
故选：D．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查空间几何体的结构和特征，属基础题，难度不大．
依次分析各个选项即可得答案．
【解答】
解：图符合条件但却不是棱柱，故A不正确
三棱锥是棱数最少的棱锥，有6条棱，故B正确
棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，则应保证各侧棱延长后相交于一点，图满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是侧棱延长后不相交于一点，故不是棱台，C不正确
以直角三角形ABC的斜边所在直线为轴旋转得到的是两个底面重合的圆锥的组合体，故D不正确．
故选B．

12.【答案】B
 

【解析】略
 

13.【答案】2
 

【解析】

【分析】
本题考查简单组合体的结构特征，属于基础题．
由题意得当a取最大值时，该正方体的各个顶点都位于该圆锥纸盒的内切球上，求出内切球半径，即可解得a的最大值．
【解答】
解：因为正方体可在纸盒内任意转动，
所以当a取最大值时，该正方体的各个顶点都位于该圆锥纸盒的内切球上，
因为圆锥纸盒的母线长为6，其轴截面为正三角形，
则内切球半径，
此时，即，解得，
所以a的最大值为2．
故答案为2．  

14.【答案】一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱
 

【解析】

【分析】
本题考查简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥的结构特征，圆柱的结构特征，属于基础题．
根据题意，即可得答案．
【解答】
解：由题意，
可得所给几何体是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而形成的．
故答案为：一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是棱柱的几何特征，圆台的几何特征，棱台的几何特征，熟练掌握相关定义是解答的关键，属于基础题．
由题意，根据棱柱、棱锥、棱台及其结构特征，以及平面的基本性质及推论，逐项分析，即可推出正确结论．
【解答】
解：圆台是由圆锥截来的，故以直角梯形的直角边的腰所在直线为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故错误；
有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故错误；
当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，故错误；
所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，如底面是菱形时，此时的四棱柱不是正方体，故错误；
用一个与底面平行的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故错误；
由平行公理可知，若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行，故正确．
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查长方体的结构特征，球的结构特征，几何体中的截面问题，属于基础题．
平面过长方体的中心，即平面过球的球心，可得结果．
【解答】
解：由平面把该长方体分成了体积相等的两部分，
则平面过长方体的中心，即平面过球的球心，
又球的半径为1，
所以平面被这个球截得的截面面积为，
故答案为．  

17.【答案】  

【解析】

【分析】
本题考查三视图及圆台与球的体积的计算，由三视图得几何体的结构特征是解题的关键，属于基础题．
本题的几何体是由圆台与半球组成的几何体，由圆台及球的表面积与体积公式可得．

【解答】

解：由三视图知此几何体是由上面一个圆台，下面半球组成的几何体，

其中圆台的上底半径为2，下底半径为4，高为3，球的半径为4，

所以几何体的表面积，

几何体的体积．

故答案为  ．

18.【答案】圆弧

【解析】

【分析】
本题考查正方体的几何特征、圆锥的几何特征，考查空间想象能力及运算能力，属于中档题．
正方体的侧面上的点P到点A距离为的点的轨迹为以AB为轴，母线长为、高为1的圆锥的底面圆弧，求得底面圆半径为，计算可得它的长度．
【解答】
解：正方体的侧面上的点P到点A距离为的点的轨迹形成圆弧，如图：
且点P曲线轨迹为以AB为轴，母线长为、高为1的圆锥的底面圆弧，
由于底面圆半径为，
这条曲线长度为，

故答案为：圆弧；．  

19.【答案】

20cm

【解析】

【分析】

本题主要考查了圆台的轴截面以及圆锥的母线计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
根据圆台的轴截面是等腰梯形求出圆台的高，利用相似三角形的性质求解截得此圆台的圆锥的母线长即可．

【解答】

解：圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示，
由已知可得上底半径 cm，下底半径 cm，
又腰长为母线长 cm，
所以高，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由∽可得，
解得．
故答案为：，20cm．

20.【答案】圆弧

【解析】

【分析】
本题考查正方体的几何特征、圆锥的几何特征，考查空间想象能力及运算能力，属于中档题．
正方体的侧面上的点P到点A距离为的点的轨迹为以AB为轴，母线长为、高为1的圆锥的底面圆弧，求得底面圆半径为，计算可得它的长度．
【解答】
解：正方体的侧面上的点P到点A距离为的点的轨迹形成圆弧，如图：
且点P曲线轨迹为以AB为轴，母线长为、高为1的圆锥的底面圆弧，
由于底面圆半径为，
这条曲线长度为，

故答案为：圆弧；．  

21.【答案】 证明：如图，取的中点G，

连接EG，DG，
是的中点，
  BC，是AD的中点，且AD  BC，，
  BC，，
  DF，，四边形EFDG是平行四边形，
  DG，
或其补角是异面直线与EF所成的角．
又，四边形、四边形都是正方形，
又G为的中点，，
，
异面直线与EF所成的角为．
所以．
 

【解析】本题考查异面直线所成角，解题关键在于平移直线，将异面直线所成角转化为平面内的角．根据题目给出的中点E、F构造辅助线，取的
中点G，连接EG，可推导出，从而将异面直线与EF所成的角转化为平面角，进而可得结果．
 

22.【答案】解：题图a是一个三棱锥和一个四棱锥组合成的组合体；
题图b是一个三棱柱和一个四棱锥组合成的组合体．
 

【解析】本题考查简单组合体及其结构特征，考查棱柱和棱锥，属于基础题．
根据题意，即可得解．
 

23.【答案】 证明：如图，取的中点G，

连接EG，DG，
是的中点，
  BC，是AD的中点，且AD  BC，，
  BC，，
  DF，，四边形EFDG是平行四边形，
  DG，
或其补角是异面直线与EF所成的角．
又，四边形、四边形都是正方形，
又G为的中点，，
，
异面直线与EF所成的角为．
所以．
 

【解析】本题考查异面直线所成角，解题关键在于平移直线，将异面直线所成角转化为平面内的角．根据题目给出的中点E、F构造辅助线，取的
中点G，连接EG，可推导出，从而将异面直线与EF所成的角转化为平面角，进而可得结果．
 

24.【答案】解：画轴，如图所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，
使，；
画下底面在平面xoy 上画边长为2cm 的正方形的直观图ABCD ；
画上底面在oz 上截取，过分别作平行于ox ，oy 的直线，，
在平面上用画正四棱台下底面直观图的方法画出边长为1cm 的正四棱台的上底面的直观图；
成图，依次连接，，，，
整理去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线得到正四棱台的直观图，
如图所示．

图   

图
 

【解析】本题主要考查简单几何体的结构和平面作图的画法，属于基础题．
 

25.【答案】解：该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形，满足每相邻两个面的公共边都互相平行，故该几何体是正六棱柱，如图1所示；
等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转形成半个圆台，故该几何体为圆台，如图2．
该几何体的其中一个面是多边形四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，符合棱锥的定义，又因为底面是正方形，其他侧面是全等三角形，所以该几何体是正四棱锥，如图3．
该几何体是一个球，如图4．

 

【解析】本题考查几何体的结构特点，主要考查了多面体和旋转体的概念，属于基础题．
根据正棱柱的定义可以得出该几何体是正六棱柱；
根据圆台的定义得出该几何体是圆台；
根据正四棱锥的定义得出该几何体是正四棱锥；
根据球体的定义，可知该几何体为球．