苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积优秀巩固练习

13.3空间图形的表面积和体积同步练习苏教版（  2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 某组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积是   

A.  B.  C.  D.

2. 已知正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积相等，它们的表面积分别为，，，则下列不正确的是     

A.  B.  C.  D.

3. 三星堆遗址位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，示意图如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为以   

A.  B.
C.  D.

4. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为   

A.  B.  C.  D.

5. 图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

A.  B.  C.  D.

6. 一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没在底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了

A.  B.  C.  D.

7. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为       

A.  B.  C.  D.

8. 已知正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积相等，它们的表面积分别为、、，则 

A.  B.
C.  D.

9. 如图，某校教学楼可看作由一个半球与两个长方体拼接而成的几何体，若半球的半径为3米，米，米，米，米，米，由于该楼年久失修，需要用涂料刷满其外表面不计地面，则需要刷涂料

A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米

10. 为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为取

A. 1235
B. 1435
C. 1635
D. 1835

11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为

A.
B.
C.
D.

12. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）

13. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是          ．
     

14. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm．

三、多空题（本大题共6小题，共30.0分）

15. 空间几何体的表面积与体积公式

16. 某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积单位：是          ，表面积单位：是          ．

17. 某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线是半圆弧，则该几何体的体积为          ，表面积为          ．

18. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为          ；该四面体的体积为          ．
19. 把一个底面半径为3cm，高为4cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球不计损耗，则该钢球的半径为          cm，表面积为          ．
20. 在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，且，，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则          ；内切球的体积          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

21. 某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱，左右两端为相等的半球，若图中的，，试求该组合体的表面积和体积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 体积相等的正方体、球、等边圆柱轴截面为正方形的圆柱的表面积分别是，，，试比较它们的大小．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在底面半径为3，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱．
    
     

求圆柱的体积

求圆柱的外接球的表面积．






 

24. 如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？
     

25. 长方形纸片ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿对角线AC把纸片折成空间四边形．

求四面体的外接球的表面积；

当折起到平面垂直于平面ABC的位置时，求四面体AEFC的体积．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查空间几何体的三视图，几何体的表面积问题，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于基础题．
根据三视图可知该几何体是一个正方体与两个半圆柱以及一个半球的组合体，从而根据面积公式即可求解．
【解答】
解：由三视图可知，该几何体是一个正方体与两个半圆柱以及一个半球的组合体，
所以该几何体的表面积是．
故选D．  

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．利用正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，即可得出结论．
【解答】
解：正方体的棱长为a，体积，，
等边圆柱轴截面是正方形的高为2h，体积，，
球的半径为R，体积，，
，
故选C．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查简单空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于基础题．
由图可知，该玉琮的体积等于圆筒的体积正方体的体积被正方体包含的圆筒的体积，由图中数据计算即可得答案．
【解答】
解：由图可知，该玉琮的体积等于圆筒的体积正方体的体积被正方体包含的圆筒的体积，
所以组合体的体积．
故选C．  

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查简单空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于基础题．
由图可知，该玉琮的体积等于圆筒的体积正方体的体积被正方体包含的圆筒的体积，由图中数据计算即可得答案．
【解答】
解：由图可知，该玉琮的体积等于圆筒的体积正方体的体积被正方体包含的圆筒的体积，所以组合体的体积
．
故选A．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是圆柱表面积，球的表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
由已知三视图可得该几何体是一个球与圆柱的组合体，分别计算其表面积，相加可得答案．
【解答】
解：由已知中的三视图可得该几何体是一个球与圆柱的组合体，
球的半径为1，故表面积为：，
圆柱的底面半径为1，高为3，故表面积为：，
故该几何体的表面积，
故选：D．  

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查球的体积和圆柱的体积的求解，属于基础题．
由题意球的体积等于水面下降高度那部分圆柱体的体积，由此列式即可求解本题．

【解答】

解：设水面下降了hcm，由题意，知，
解得．
故选D．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查四棱锥的体积，球的表面积，属基础题．
易知球心在正四棱锥的高线上，由此列方程求出球的半径，即可得解．

【解答】

解：正四棱锥的高为3，体积为6，
底面积为6，正方形边长为，正方形的对角线为，
设球的半径为R，则，
，
球的表面积为．
故选A．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．利用正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，即可得出结论．
【解答】
解：正方体的棱长为a，体积，，
等边圆柱轴截面是正方形的高为2h，体积，，
球的半径为R，体积，，
，
故选C．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查简单组合体的表面积，长方体的表面积，球的表面积，属于基础题．
根据长方体的表面积，球的表面积，结合简单组合体的结构特征，分别计算各部分需要刷涂料的面积，即可得出．
【解答】
解：前面和后面需涂料面积皆为平方米，
左侧和右侧需刷涂料面积皆为平方米，
上面除去球面需刷涂料面积为平方米，
半球面需刷涂料面积为平方米，
则外表面一共需要刷涂料的面积为平方米．
故选D．  

10.【答案】C
 

【解析】解：圆柱侧面积为，半球的表面积为，
所以总面积为，所以大约需要鲜花朵．
故选：C．
根据圆柱的侧面积公式以及球的表面积公式，可计算出花柱的表面积，然后求出需要的鲜花朵数
本题主要考查圆柱的侧面积公式以及球的表面积公式的应用，属于基础题．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查三视图，考查圆柱与球的表面积计算，解题关键是由三视图确定原几何体，属于基础题．
由三视图还原出原几何体，然后由圆柱、球的表面积公式求解．
【解答】
解：由三视图知原几何体是下面一个圆柱上面是四分之一个球，

其表面积为．

故选：C．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱、球等基础知识，是基础题．
推导出该圆柱底面圆周半径r，由此能求出该圆柱的表面积．

【解答】

解：圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，
该圆柱底面圆周半径，
该圆柱的侧面积．
该圆柱的底面积，
则表面积为．
故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．

【解答】

解：六棱柱的体积为：，
圆柱的体积为：，
所以此六角螺帽毛坯的体积是：，
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了棱柱与圆柱的相嵌问题，解题的关键在于确定正六棱柱与圆柱的关系，然后求得其体积，属于基础题．
通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．
【解答】
解：六棱柱的体积为：，
圆柱的体积为：，
所以此六角螺帽毛坯的体积是：，
故答案为：．  

15.【答案】Sh

【解析】

【分析】

本题考查柱体、锥体、台体及球体的表面积、体积公式，属于基础题目．

【解答】

解：柱体的体积公式为，

锥体的体积公式为，

球体的表面积公式为，体积为．

故答案为Sh；；；．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查三视图、棱柱、球的体积、表面积的计算，属中档题．
由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体从上底面挖去一个半球后剩下的几何体，球的半径为1，即可求体积和表面积，得到答案．
【解答】
解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体从上底面挖去一个半球后剩下的几何体，球的半径为1．
故该几何体的体积，
故几何体的表面积
故答案为．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查几何体的三视图求解表面积和体积
解题时根据三视图可知几何体形状为四棱柱和半圆柱的组合体，然后利用公式求解即可。
【解答】
解：由三视图可知，该几何体为四棱柱和半圆柱的组合体
因此其体积
其表面积为
故答案为          

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力，属于基础题．
把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出球的表面积，然后求出四面体的高，即可根据三棱锥体积公式求解，
【解答】
解：如图，

将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，
正方体的对角线长为：，则球的半径为，
则此球的表面积为：，
四面体的高为，
则四面体的体积为，
故答案为；．  

19.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查圆柱的体积，考查球的体积与表面积的问题，属于基础题．
求出圆柱的体积，也就是球的体积，根据球的体积计算公式得到半径，进而求出其表面积．

【解答】

解：因为圆柱体积，
所以球的体积，解得，
于是球的表面积为
故答案为：3；．

20.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查阳马的外接球半径的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查四棱锥和三棱锥的体积，内切球的体积，属于中档题．
根据题意，求出外接球与内切球的半径即可．
【解答】
解：因为四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，且，，
设该阳马的外接半球为R，所以该阳马补形所得到的长方形的对角线为外接球的直径，
所以．
设内切圆的圆心为M，将四棱锥分为三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，四棱锥，则，设内切圆半径为r，
，
，

则，
得，则．
故答案为；．  

21.【答案】解：该组合体的表面积，
该组合体的体积．
 

【解析】本题考查组合体的表面积与体积可分别算出一个整球的表面积和圆柱的侧面积，即可得到组合体的表面积，属于基础题．
计算一个整球的体积和圆柱的体积，即可得出组合体的体积．
 

22.【答案】解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则，，．

由题意知，，所以，，

所以，，
所以．

又，即，

所以，，的大小关系是．

【解析】本题考查了几何体的表面积和体积，由题意知，，所以，，再用a表示表面积比较即可．
 

23.【答案】解：设圆柱的底面半径为r，高为．

圆锥的高，
又，．，

圆柱的体积为．

设外接球的半径为R，根据条件可知，故，
所以圆柱的外接球的表面积为．

【解析】本题考查圆柱的体积与圆柱的外接球的表面积的求法，属于基础题．
设圆柱的底面半径为r，高为，利用三角形相似得到r和，代入体积公式即可求解．
设外接球的半径为R，根据条件可知，解得R，代入公式即可求解．
 

24.【答案】解：如图，当球尚在水中时，水面高度为3r，水面的直径为．

将球取出后，设水面的高度为h，则水面直径为．

因为，

所以，

所以，．

【解析】略
 

25.【答案】解：由，，可得，
由图可知，球心为AC的中点，
设四面体的外接球的半径为R，
则，所以；
当折起到平面垂直于平面ABC的位置时，
到AC的距离即为到平面ABC的距离，即为，
．
 

【解析】本题考查了棱锥的体积和球的表面积，是基础题．
由图可知，球心为AC的中点，可得，可得四面体的外接球的表面积；
由，计算即可．