2021新高考 数学通关秘籍 专题12 利用切线求解恒成立 同步练习

专题12  利用切线求解恒成立

【方法点拨】

1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；

2.零点问题有时也可以转化为

【典型题示例】

例1   (2021·江苏南京市期初)若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是       ．

【答案】(－∞，﹣1]

【分析】思路一：直接转化为为最值问题；

思路二：利用“形”， 不等式对一切xR恒成立，即，设，，因为恒过点，故只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可.

【解析一】令，恒成立，显然a≤0，

 ，则，

，

当a＝0时，在(，0)递增，(0，)递减，符合题意，

a＜0时，在(，)递减，(，0)递增，(0，)递减

x＜，，故符合题意，

综上，a≤0，b＝﹣1，因此a＋b(，﹣1]．

【解析二】不等式可化为，

令，

当时，因为恒过点，故只需直线为在点处的切线即可，易得，此时.

当时，因为恒过点，为使对一切xR恒成立，只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可，

故，此时.

综上，a＋b的取值范围是.

例2   已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为       ．

【答案】

【解析】依题意，有：，即恒成立，

a＝0时显然成立，

a＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，

所以，要使不等式恒成立，需a≤0.

当a＜0时，设，

易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.

设公切点为，则，解之得

∴切点为

为使， 只需，故

又a＜0，所以.

综上，实数a的取值范围为．

【巩固训练】

1.设函数 f(x)＝ax2－a－lnx，其中 a∈R，若不等式 f(x)≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为       ．

2.（2019·天津理·8）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

3.设函数，为正实数，若函数有且只有个零点，则的值为       ．

4.若曲线与曲线存在公共切线，则实数 a 的取值范围为       ．

【答案或提示】

1.【答案】

2.【答案】 C

3.【答案】1

【解析】 遇含参问题能分离变量则分离. 函数有且只有个零点，意即与的图象只有一个交点，由于 与均过点，所以的零点为.

所以与在点处相切，

故与相等，所以.

4.【答案】