2021学年1.2向量的概念教学设计及反思

高中数学必修4第一章第二节

《角的概念的推广》教学设计

一、教学目标

知识与技能：理解任意角的概念，能判断正角、负角和零角，理解象限角的概念，掌握终边相同角的含义及其表示．任给一个角，能判断角所在的象限.

过程与方法：用运动变化的观点感知角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，通过对各种角的表示的训练，提高学生对数学问题的分析、抽象、概括的能力．

情感、态度与价值观：让学生在运动变化中体会任意角的概念，体会数形结合的思想方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，为今后学习三角奠定良好基础.

二、学情分析

进行角的概念的推广学习时，首先从熟悉的初中的角的概念入手，列举出生活中的一些现象，提出质疑，引导学生学用运动的观点来研究角的概念，通过“旋转”来定义角，从而引出正角、负角、零角、任意角、象限角等概念．由浅入深，一步一个脚印。在理解终边相同角的表示时，采用由特殊到一般的归纳方法，进而纳总结规律，得出一般结论．

三、教学重点、难点

1.了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)

2.掌握终边相同角的含义及其表示．(难点)  

四、教具准备：直尺、量角器

五、教学过程

预习检测，引出课题

① 初中所学过的角是如何定义的，角的范围是什么?

② 工人师傅在用扳手拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的方向有哪几种?

③ 跳水运动员起跳后绕体两周半如何用角度来表示?

提问学生：结合本节课课题，你有什么发现？

根据学生的回答，引导学生发现矛盾产生的根源是因为一些有关角的现象用初中角的定义不能解决，要解决这个矛盾必须进行角的概念的推广.

（一）角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角.其中旋转的起始位置OA叫作角的始边，旋转的终止位置OB叫作角的终边，射线的端点O叫作角的顶点.

【几何画板演示角的旋转定义、正角、负角、零角、任意角】

我们规定按逆时针方向旋转形成的角叫作正角；按顺时针方向旋转形成的角叫作负角；没有做任何旋转，终止位置与起始位置重合的角，称为零角.

用gif动画展示钟表的走时过程。

信息技术说明：角的“旋转”定义是一个动态的定义，虽然好理解，但是对于学生而言，如果课堂平铺直叙，不进行演示，则不会引发学生对细节的注意，况且，“逆时转”、“顺时针”也为部分学生所遗忘，有了动态展示，一目了然.

例1：教师板书，画出480°、-420°的角.

教师给学生演示如何画任意角，主要是告诉学生规则，告诉学生怎么做.

提出问题，如何区别相等的角？引出象限角的概念.

（二）直角坐标系中的角 ：把角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就叫做第几象限的角.

【几何画板展示坐标系中角的条件和结论】

信息技术说明：角在坐标系中的研究条件，如果用口述或者是在黑板上画图展示，都不能形象展示出这个过程，利用几何画板，可以形象生动的展示概念的内涵，一看都清楚明白。

强调：两个条件

（1）角的顶点与原点重合

（2）角的始边与x轴的非负半轴重合

强调：两个结论

（1）角的终边（顶点除外）在第几象限，这个角就是第几象限角.

（2）角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限.

探究一：在直角坐标系中画出下列各角，注意标出角的旋转方向？

（1）30°、390°、-330° （2）-30°、330°、-390°

教师提问：同学们有什么发现？引出终边相同的角。

（三）终边相同的角：具有共同始边与终边的角.

探究二：研究与下列各角终边相同的角有什么特点，写出你的结论，用β表示这个角.

（1）30° （2）90° （3）-123° （4）α

通过学生的演示，学生可以清晰的感受到角的动态变化过程，感受到终边相同的角的内在关系，体会k•360°的具体内涵.

结论：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合

S={β| β=α + k•360°,k∈Z}，

即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.

例2、判断下列各角是第几象限角：

（1）-60°；   （2）606°；  （3) -950°12′.

解：（1）因为-60°的终边在第四象限，所以它是第四象限的角；

（2）因为606°=360°+246°，所以606°与246°角的终边相同，而246°角的终边在第三象限，所以606°是第三象限角.

（3）-950°12′=（-2）×360°- 230°12′

而 -230°12′角的终边在第二象限，所以 -950°12′是第二象限角.

总结归纳：判定一个角是第几象限，关键是把这个已知角写成一个易于判断所在象限的角加上k•360°（k∈Z）的形式，即找出与这个已知角终边相同的角，而后者容易判断所在的象限.

探究三、（提升训练）写出终边在下列直线上的角的集合.

（1）x轴

（2）y轴

（3）直线y=x

（4）直线y=x

答案：

（1）x轴 S={β |β =k•180°,k∈Z}

（2）y轴 S={β |β =k•180°+90°,k∈Z}

（3）直线y=x S={β |β =k•180°+45°,k∈Z}

（4）直线y=x S={β |β =k•180°+60°,k∈Z}

（五）课堂小结

知识点归纳

一、角的“旋转”定义、正角、负角、零角、任意角

二、象限角、轴线角

三、终边相同的角

方法回顾

    1、数形结合的思想方法

    2、归纳猜想的思想方法

  3、分类讨论的思想方法

（六）随堂检测

1．下列说法正确的是(D　)

A．三角形的内角一定是第一、二象限角

B．钝角不一定是第二象限角

C．相差180°整数倍的角为终边相同的角

D．钟表的时针旋转而成的角是负角

2.  与－460°角终边相同的角的集合是(C　)

    A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}

    B．{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}

    C．{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z}

    D．{α|α＝k·360°－260°，k∈Z}

3.若α是钝角，则θ＝k·180°＋α，k∈Z是(　D)

A．第二象限角

B．第三象限角

C．第二象限角或第三象限角

D．第二象限角或第四象限角

（七）作业布置

1、课本P8习题1-2第2、3题

2、预习第三节弧度制并完成学前案。