高中数学北师大版必修41.2向量的概念教学设计

北师大版数学4第一章第2节——教学设计

课题：角的概念与推广

教材分析

作为三角函数的起始内容，本节课主要对角的概念进行推广，并在此基础上给出终边相同的角以及象限角的概念.对本部分知识讲解时一是要注意渗透化归与转化、数形结合以及分类讨论的思想；二是应该注意渗透运动与静止的数学观.

学情分析

角的概念，学生已在初中阶段有所接触，但当时主要局限在[0°，180°]的范围内.由于讨论三角函数需要对角的概念进行推广，而高中学生已经具备了基本的自学能力，本节正好适合学生来进一步发展这一能力.因此，给出一个合适的自学提纲，引导学生自己去完成相关知识的学习，再在必要时逐步加深对主要知识的认识和理解.

教学目标分析

1.知识与技能：

(1)理解正角、负角、零角的概念；

(2)理解象限角的概念，会判断某个角终边所在的位置；

(3)会表示与角α终边相同的角；会表示特殊位置的角的集合.

2.过程与方法：

用运动的观点对角的概念进行推广，关键在于引入了旋转的方向.因此，以旋转和旋转方向对角的相关问题展开研究是本节课的主线.

3.情感、态度、价值观：

通过对本节课的学习，学生对角的概念应该有一个全新的认识；能够体会到用运动变化的观点来认识周边的事物；能够感受到图形运动与静止的和谐与统一.

教学重点与难点

教学重点：理解正角、负角、零角及象限角的概念，会表示终边相同的角的集合.

教学难点：理解终边相同的角的表示，并会运用终边相同的角来判断给定角的终边所在的位置.

教学流程设计

[问题引入]

先以一组学生熟悉的几何图形的内角和引出超过学生原有认知范围的角度以及如何画出这些角度，从而引起认知冲突，激发学生的求知欲，为本节课的展开作好铺垫.

[自学提纲]

在学生自学过程中应该适时地给出自学方法的指导.

1.你认为在本节中涉及到了哪些新的数学概念?

[及时测评]

1、零角就是终边和始边重合的角吗?

2、第一象限的角是锐角吗?

3、请你指出角30°，130°，230°，330° 终边所在的位置.

2.你认为例1解决的是什么问题?例1的解答中哪一步最为关键?

[及时测评]

2009°是第几象限的角?（渗透化归转化的思想）

3.你是怎样理解例2的求解思路的?

[及时测评]

请你写出终边在y＝x上的角的集合.（渗透分类讨论的思想）

4.你知道例3中元素β是怎样找出来的吗?

5.你认为角的概念得到了怎样的推广？角的概念之所以能够推广，关键是引入了什么？

答：角的概念的推广指的是角的范围得到了扩大；角的概念之所以能够推广，关键是引入了旋转及旋转的方向.

[逐步深入]

1、你是怎么理解角30°＋360° 的? 30°－360° 呢? 30°＋k·360° (k∈Z) 呢?

2、若α是第二象限的角，则α＋180°是第几象限的角呢?（渗透数形结合的思想、运动与静止的数学观）

3、请你写出终边在直线y＝ -x上的角的集合.

方法一:用集合的并集表示；

方法二:用运动观点加以理解直接表示.

在此，应该指出两种方法表示的集合的一致性，并作出相应阐释.

 [课堂小结]

知识要点:

1.正角、负角、零角；    2.象限角；          3.终边相同的角.

本部分小结学生可以进行归纳，因此将其交给学生完成即可。而思想方法的小结学生还欠火候，我准备帮学生进行必要的梳理与点拨。

思想方法:

1.数形结合；   2.化归转化；    3.分类讨论；  4.动静结合.

[作业布置]

习题1.2 第2,3题．

[课后思考]

1.请写出第一象限的角的集合.

2.若角α是第一象限的角，则角α / 2的终边在什么位置?

教案说明

一、知识要点及思想方法说明

《角的概念的推广》是三角函数的起始内容。对本节内容的知识要点及相应的数学思想方法的具体处理如下：

第一个知识点——正角、负角、零角易于学生理解和掌握，因此在进行教学设计时，引导学生自学即可。但，对于正角、负角的含义是应该作进一步研究的，即是通过设计的问题串“你认为角30°＋360°表示什么含义呢？30°－360°又是什么意思呢？30°＋k×360°(k∈Z)呢？”来渗透“＋”表示逆时针旋转，“－”顺时针旋转。同时，通过这些问题串的引领，可以很自然地渗透数形结合的思想、运动与静止的数学观，为本节课的学习目标的达成，也为整个高中阶段数学学习目标的达成作好必要的铺垫。

第二个知识点——终边相同的角，这是本节知识的重点，也是后续学习的关键点。这一方面是因为终边相同的角作为象限角判断最为重要的一个环节——将一个任意角利用终边相同的角的知识将其转化到0°～360°(－180°～180°)范围内来加以判断；另一方面是因为终边相同的角不仅充分体现了角的周期变化的特点，而且将在研究正弦、余弦、正切函数的图象和性质时有着极为重要的应用。对这一知识点的处理，可以在学生自学的基础上，通过具体的问题逐步引导、逐步抽象，逐步帮助学生形成对它的认识、理解和掌握。对于终边相同的角准备分两个层次进行处理：第一个层次是从正面通过30°、390°、－330°等角引出终边相同的角的概念及其表示方法；第二个层次是对某个给出的角度，要求在0°～360°范围内找出一个角与之终边相同，为象限角的判定作好准备，也为以后三角函数的诱导公式、化简求值等问题作好铺垫。

 第三个知识点——象限角，对这一知识点，主要需从以下几个方面来把握：一是要注意渗透研究三角函数的主要方法——借助图形、图象来进行研究，对数与形的结合在此进行必要的体现；二是要注意让学生了解在数学上有一些必要的规定，并能意识到这些规定的作用和原因，进而全面地体会、理解数学；三是要注意体现化归转化的数学思想，对于一个不易直接作出判断的角，我们可以通过终边相同的角的含义，将其转化到0°～360°(－180°～180°)范围内来进行判断；四是要注意帮助学生建立科学谨慎的学习态度，象限角并没有包括完所有的角，因为终边在坐标轴上的角就不属于任何一个象限的角；五是要注意将文字表示、符号表示、图形表示等有机地整合到一起，帮助学生建立完整的数学认知体系，同时，在此还可以进一步帮助学生全面、深入地认识集合及其基本的运算。

二、教学方法及教学流程说明

本教案在教学方法和教学流程的设计过程中注重了以下几个方面：

1.体现教师的主导作用

（1）为学生设计自学提纲——建立在学生原有的自学能力水平上。

（2）设计合适的问题导语——用问题导语来引导学生积极主动地思考。

（3）注意调控学习的节奏——随时观察学生的学习状况并作出及时、合理的调整。

2.体现学生的主体地位

（1）学生能自学的一定要引导学生去自学。

（2）学生能动手完成的一定留给学生完成。

（3）学生能小结归纳的一定要让学生小结。

3.注意三维目标的落实

（1）知识与技能目标的落实与达成应该没有问题，只不过应该根据学生实际尽可能地做得更好。

（2）过程与方法目标不应该、也不可能是某一教学瞬间就能实现的，而要注意在整节课，乃至在更长久的时间段内来达成。对于这一节课，要尽量渗透知识的形成与发展的过程，尽量落实具体知识点的判断方法以及它的方法的形成，例如终边相同的角的判断是怎样一步一步地进行的。

（3）情感、态度、价值观的达成是一点一滴、逐步渗透实现的，而不是，也不可能象贴标签一样指出这一知识点可以增进什么感情、可以培养什么思想、可以树立什么价值观一般地进行。例如，在本节课中，可以从一开始讲正角、负角的概念，到最后的例3，乃至到后面的课堂巩固与练习等环节，不断地渗透数形结合的思想，不断地体现运动与静止的关系，从而帮助学生树立运动变化的观点，学会运用运动变化的观点来认识事物。

4.用问题串来引领学生

学生学会知识主要是学生将所获得的信息进行加工、整合、内化之后形成的，因此教师不应该包办知识的发生发展过程，而尽可能地让学生自己去体会、理解、领悟，之后将其加工、整合、内化后将其转化成真正的自己的认知。故此，我认为以问题来引领不失为一种好办法。

（1）自学提纲以问题的形式点出在自学过程中应注意的知识要点、例题渗透的知识和方法以及对难点问题的具体指导。

（2）知识要点的呈现也是以问题串的形式逐步深入、深化，一步一步将学生引导到本节知识的核心内容来的，从而使得知识的形成显得更加自然、合理。

值得指出的是，问题的设计一定要注意学生原有的认知水平，不可过于简单化，也不能过于复杂，最好使得一个一个的问题就如同不高不低的一个个台阶，让人走起来感觉非常自然、舒适。

三、自学能力培养及教师主导说明

学生自学能力的提高是高中新课程倡导的主要方向之一，教师的主导作用也是我们在教学中应该尤为注意的。

本课的知识适合学生进一步发展自学能力。自学，不是一概不管。我采用的方法是分以下几个层次来进行：

1.用问题来引起学生在自学过程中的积极思考，以期达到自学的效果。问题串就是教师主导作用的一个重要体现。

2.我们还应该及时了解学生自学的情况，用及时测评来进行了解和巩固是必要的。

3.学生自学的能力还毕竟有限，对知识理解得也还不够，因此需要教师逐步引导、逐步深入讲解，以便帮助学生更好地巩固自学的知识，更好地理解相关的数学知识和数学方法。这，需要教师的讲解。

四、教学预期效果及备用方案说明

对于本班的学生，该教案是非常适合他们的。对于基础知识较差、或者自学能力还比较薄弱的学生，使用本教案时应该作出相应调整。

本教案应该可以顺利实施，课后学生能够理解角的推广的必要性，能够正确理解相关知识要点，尤其是终边相同的角和象限角的概念及其判断方法。更理想的情况是：（1）在讲解象限角的概念时，可以将象限角用集合形式表示，渗透不等式、集合、图形与象限角之间的关系；（2）在讲解例3后，可以提及角的集合运算，以及终边在坐标轴上的角的表示。

对于不同认知水平的学生，本教案仅供参考。