高中数学北师大版必修43.1数乘向量教案

2.3.1数乘向量

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．

(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．

2．过程与方法

由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．

3．情感、态度与价值观

(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．

(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，给学生揭示事物是在不断地运动变化着．

(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性”的哲理．

●重点难点

重点：向量的数乘运算及其几何意义，向量共线定理．

难点：向量共线定理的应用．

●教学建议

通过一道生活中的实际问题，帮助学生理解数乘向量．类比数的乘法的定义方法，引出数乘向量，由特殊到一般给出了数乘向量的一般定义．教学中要强调：(1)λa是一个向量；(2)λa有长度和方向，其长度为|λa|＝|λ|·|a|，其方向与λ的符号有关，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0或a＝0时，λa＝0；(3)数乘向量的几何意义是把向量a沿着a的方向或a的反方向延长或缩短．

●教学流程

【情境引入】　

问题：已知甲向东走了1km,

       乙向东走了2km,

       丙向西走了3km,

       丁向西走了200m。

    如果把甲的位移用向量 a 来表示,那么怎么用向量 a 分别表示乙、丙、丁的位移？

【提示】　a＋a相加为向量，其结果为2a.

【新课探究】

1．数乘向量

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.

(2)长度：|λa|＝|λ||a|.

(3)方向：λa的方向

(4)几何意义：将表示向量a的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍．

2．运算律

向量的数乘运算满足下列运算律：

设λ，μ为实数，则

(1)(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；

(2)λ(μa)＝λμ a；

(3)λ(a＋b)＝λ a＋λ b.

3.向量共线定理

【问题导思】：我们明确了λa(λ∈R)的运算及含义，那么若一个向量b＝λa(a≠0)，则向量a、b有什么关系呢？

【提示】　a与b是共线向量．

1．判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λ a，则向量b与非零向量a共线．

2．性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λ a.

【应用举例】

例1　计算：

   (1)；（2)

   (3)

【思路探究】　准确应用向量的数乘，加法、减法的运算律化简．

     规律方法总结：

1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

2．对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号→数乘向量→向量加减．

变式训练：

【解】　

共线定理及应用

例2：如图，已知，试判断与是否共线？

规律方法：

1．本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线．

2．证明两个向量a与b共线时，只需证明a＝λb(b≠0)．若已知a与b(b≠0)共线，则可利用两向量共线的性质，得到λ1a＝λ2b.

利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题，如要证A，B，C三点共线，只需证＝λ或＝k(λ，k∈R)等；要证AB∥CD，只需证＝λ(λ∈R)．也可解决相关求参问题．

变式训练

     判断下列各题中的向量是否共线？

  【课堂小结】

1．学习了数乘向量的概念以及数乘的运算律，明确了λa的大小、方向以及几何意义．

2．学习了向量共线的判定定理和性质定理．

3．掌握了向量加、减、数乘的线性运算，从而进行化简求值．

4．能够应用向量共线的判定定理证明三点共线或两直线平行．

  【布置作业】

正式作业：课本87页 A组1、2

课后作业：课本84页练习1、2、3、4； 专家伴读