北师大版必修44.1平面向量的坐标表示教案及反思

2.4.1平面向量的坐标表示

一、教学目标：

1.知识与技能

（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.

（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.

（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

2.过程与方法

通过将基底特殊化（向量的正交分解），使向量的表示形式统一，这样就为研究向量之间的运算及其他关系奠定基础.通过这样的过程，学习研究和处理问题的方法.

3.情感态度价值观

通过对向量的正交分解的学习；让学生进一步一般的问题往往归结为人们最熟悉的特殊的问题，体会领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.

二.教学重、难点

重点: 平面向量的坐标表示.

难点: 对平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示的理解.

三.学法与教学用具

学法：自主性学习,探究式学习法；反馈练习法

教学用具:多媒体一体机，PPT.

四.教学过程

【复习回顾】

1、我们学习了平面向量的那些表示？（字母表示，有向线段）

2、平面向量的基本定理（基底），什么是正交分解？（学生回答）   

=λ1+λ2 其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.

今天，我们来学习平面向量的又一种表示——坐标表示。（板书课题）

【探究新知】

（一）平面向量的坐标表示

思考：在平面直角坐标系下，如果我们取一组正交基底，那么向量的线性运算会有什么影响呢？（学习阅读课本第88页，前四个自然段后，师生共同总结平面向量的坐标表示的定义）

取轴、轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量

记作：=(x, y)  称作向量的坐标

【概念深化】

学生思考，讨论：

①向量的坐标与什么点的坐标有关？（一一对应，建立向量坐标的概念后，向量的运算就代数化了，形与数实现了完美的统一）

②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？向量的坐标表示与点的表示有何区别？

③两个向量相等的坐标有什么关系？（两个向量坐标相等）

④向量的模用坐标怎么表示呢？

（直接由学生讨论回答）

[课件展示]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例1如图， ⑴用基底分别表示向量,并求出它们的坐标.

 ⑵若，且与轴的夹角为30 °，求的坐标？

思考1．（1）已知 ，求，的坐标

(2)已知和实数, 求的坐标

（教师组织学生思考，讨论，并板书一例。学生用语言文字来述平面向量线性运算的坐标表示。）

解：+=(x1+y1)+(x2+y2)=(x1+ x2)+ (y1+y2)

即：+=(x1+ x2,y1+y2)

同理：=(x1x2,  y1y2)

λ=λ(x+y)=λx+λy

∴λ=(λx, λy)

结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

（教师引导学生用文字语言来叙述，，的运算）

思考2.已知你觉得的坐标与A、B点的坐标有什么关系？

∵==( x2, y2)  (x1,y1)

= (x2 x1, y2 y1)

结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

[课件展示]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例2.已知                 ，求                的坐标。

（学生自主完成并体会、感受向量坐标运算便捷的优点）

例3.已知如图平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

教师组织学生讨论解题思路，有哪些不同的解法？个别学生回答，学生自主完成。

例4.已知，试用表示。

解：设，

        则

∴

       解得，∴

方法总结：　待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法.

【探究新知】

（二）平面向量平行的坐标表示

[展示投影]思考与交流：

思考：共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得=λ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？（教师引导学生思考交流）

设其中

由得    

消去λ：∵∴中至少有一个不为0

结论：∥ ()用坐标表示为

注意：

①消去λ时不能两式相除     ∵y1, y2有可能为0. 

②这个条件不能写成    ∵有可能为0.

③向量共线的两种判定方法：∥()

 [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

（三）巩固深化，发展思维

1．判断下列说法是否正确：

（1）公式适用于任意两向量共线的情况。（    ）

（2）在平面直角坐标系中如果把向量平行移动了，那么它的坐标也改变了。（   ）

（3）如果向量, 为坐标原点，那么点A的坐标也为。（    ）

2．已知向量，若与平行，则实数的值是(　　)

      A．－2      B．0          C．1     D．2

 （四）课堂小结

（学生总结，其它学生补充）

1.平面向量坐标的概念  

2.平面向量的坐标运算

⑴若，则。

⑵若，则

⑶若，为实数，则

3.平面向量平行的坐标表示

设，若∥，则

4.数学思想方法

数形结合、转化思想、待定系数法

（五）评价设计

1．作业：
课本习题2—4   A组 2,3,4；B组 1,2

2．（备选题）：已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？

解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)  =(2-1,7-5)=(1,2)

又∵2×2-4-1=0     ∴∥

又∵=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)      =(2, 4)

2×4-2×60     ∴与不平行

∴A，B，C不共线     ∴AB与CD不重合     ∴AB∥CD