高中数学北师大版必修4第二章 平面向量5从力做的功到向量的数量积教案设计

课题：  从力做的功到向量的数量积

（第一课时）

课    型：概念课

教学目标：

⒈通过实例，理解平面向量数量积运算的含义及其几何意义、物理意义.

2.体会平面向量数量积运算与向量投影的关系.

3.掌握平面向量数量积的重要性质.

4.认识数学与其他学科知识件的联系，体会数学作为解决问题的工具作用.

教学重难点

重点：向量数量积运算的概念及其性质．

难点：对向量数量积概念的理解．

教学方法：“问题驱动式”教学

学习方法：直观感知   启迪思维    合作探究

教    具：几何画板，多媒体，彩色粉笔

教学过程：

一、            情境引入---欣赏视频，建立模型

前面我们学习了从位移、速度、力到向量，从位移的合成到向量的加法，从速度的倍数到数乘向量。今天，我们仍以物理为背景来研究一个新的数学概念。首先我们来欣赏一段优美的视频。

①欣赏视频----大力士拉动50吨卡车创吉尼斯世界纪录视频

②抽象出物理模型

③提炼出数学模型

设计意图：爱因斯坦说过“兴趣和爱好是最好的老师。”首先带领学生欣赏大力士拉动50吨卡车创吉尼斯世界纪录视频，抽象出小车在拉力的作用下沿轨道直线运动的物理模型，再借助几何画板进一步提炼出数学模型。体现数学与物理的密切联系，激发学生兴趣，以高昂的姿态进入本节课的学习。。

二、            新知探究

探究一：平面向量数量积的物理背景

引导学生回顾功的计算公式，即：一个物体在力F的作用下产生位移S，那么

问题1：（1）如何计算这个力所做的功？

W＝|F||s|cos θ.

（2）你能用文字语言来表述功的计算公式吗?

功是力与位移的大小及其夹角余弦值的乘积；

其中既涉及“长度”，又涉及“角度”，而且只与两个向量有关

（3）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其表示又如何？

在数学中，向量常用、、表示。因此，如果把上式中的换成， 换成，θ为向量与的夹角，则得到，我们把这种运算叫做向量的数量积，记作。因此会得到                         ,从而引出数量积的概念。

设计意图：通过对功的计算公式中相关量进行转换过渡到数量积，这种设置能使学生感到十分自然，比较容易接受向量的这种非常独特的运算。体会由特殊到一般的思想。

探究二：数量积的定义

１、概念的抽象

功：  W＝|F||s|cos θ.

数量积 ：

设计意图：引导学生以物理中的功为背景，引出数学中的新概念向量的数量积，从而照应课题“从力做的功到向量的数量积。”

2、明晰数量积的定义

◆定义的简单说明：

（1）数量积是一种运算，如同一样，用“而非“”；

（2）夹角及其范围：0°≤θ≤180°

（3）特殊情形：

①当θ＝0°时，a与b   同向    ；

②当θ＝180°时，a与b  反向   ；

 ③当θ＝90°时，a与b  垂直    ，记作：      ；

规定：零向量可与任一向量垂直.

◆问题2：

（1）向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？

（2）影响数量积大小的因素有哪些？

（3）两非零向量的数量积的符号由什么决定？

当0°≤θ<90°时，  正数.

当θ＝90°时，      零.

当90°<θ≤180°时，   负数.

设计意图：引导学生比较向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？分析影响数量积大小的因素有哪些。进一步加深学生对数量积概念的理解。

３、研究数量积的几何意义

投影的概念

向量b在向量a上的投影：OB1＝|b|cos θ.

◆问题3：　

(1)你能否作出a在b上的投影？两者是否相同？

(2)数量积的几何意义是什么？

探究三：数量积的性质

4、明晰数量积的性质

◆问题4：

（1）从数量积的定义               出发，利用由一般到特殊的思想，如      ,      等等，我们能得到哪些性质？

（2）这些性质又有何作用？

设计意图：通过由一般到特殊的思想，引导学生依据数量积定义，合作交流，共同探究出数量积的相关性质，并总结各性质的作用。引导学生积极思考，培养学生主动获取知识的能力，亲身体验知识的发生、发展过程。

三、学以致用

做一做

例1已知     ，     ,且  与  的夹角

求    .

练一练

例2 已知        ,       ，    ，求  与  的夹角  .   

跳一跳

已知|a|＝|b|＝5，向量  与  的夹角为 ，

求                .

变一变

已知|a|＝|b|＝5，向量  与  的夹角为 ，

求                  .

设计意图：通过例题及变式，巩固学生对数量积概念本质的理解，设置公式的逆用，求出两个向量的夹角，是角的问题的一个重要体现，也为后续的学习提供了基础，培养学生思维的灵活性。倡导积极主动、勇于探索的学习方式。

四、        课堂小结

谈一谈本节课你有哪些收获？

设计意图：在课堂尾声让学生自主总结，可请多位同学回答。这样做的目的有三：让学生在同学的回答中有个检验自己知识达成度的机会，让老师有个检查自己教学达成度的机会，也让一些独到的见解有一个发表的机会。同时也引导学生养成勤于反思、善于总结的好习惯。

五、        布置作业

阅读作业：仔细阅读教材，再对本节课的知识进行梳理。

书面作业：习题2-5A组第2题、4题、5题

弹性作业：从网上查阅数量积在物理中的应用，体会学科的交融。

设计意图：阅读作业和书面作业的布置是希望学生养成先复习后做题的习惯。弹性作业的布置则为一部分学生提供更好的发展空间，以尊重学生的个体差异，使每位学生都得到不同的发展。

板书设计

§2.5 从力做的功到向量的数量积（第一课时）

（主板书）                （副板书）       （辅助性板书）

教学设计反思：

本节课的教学设计出发点是：本节课是概念课，能够正确理解数量积的概念是重点，也是难点所在。因此，在课堂开始引入视频欣赏，抽象出小车在拉力的作用下沿轨道直线运动的物理模型，再借助几何画板进一步提炼出数学模型。从而实现以物理中的功为背景，顺利地过渡到数学中的数量积。使得“数量积”这一概念的引出顺利、自然而不突兀，一切水到渠成。从而突破重点。再通过明晰定义、研究几何意义、明晰性质等环节，让学生体会知识的发生与发展，渗透一般到特殊等数学思想。继而通过做一做、练一练、跳一跳、变一变检测学生的学习效果。总之，本节课大胆放手给学生，让学生观察、体会、探究、概括，通过环环相扣的问题引导学生形成知识的主动构建，力求真正实现学生的主体地位，成为知识的构建者。此外，课堂生成可能会有一定的不可测性，如何巧妙地做好“放”与“收”还需要一定的教育机制。 

教后反思：

1.老师要相信学生的能力。本节课大胆放手给学生，让学生成为课堂的主人，学生通过观察、体会、探究、概括等一系列活动形成知识的生成，做的非常出色。

2.学生思维能力很强。在学生依据定义探究性质时，学生从多角度进行尝试、思考。可见学生发散思维的火花五光四射。

3.充分发挥学生身边的榜样作用。

4.乐于鼓励，善于表扬。学生的付出能够得到老师的认可，对学生来说也不失为一种鼓励。