2022年高考数学一轮复习考点练习53《不等式证明》(含答案详解)

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一轮复习考点练习53《不等式证明》 1.已知函数f(x)=|x＋3|＋|x－1|，其最小值为t.(1)求t的值；(2)若正实数a，b满足a＋b=t，求证：＋≥.     2.设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.　(1)证明：<；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.     3.已知定义在R上的函数f(x)=|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立.(1)求实数m的值；(2)若α，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：＋≥3.     4.已知函数f(x)=2|x＋1|＋|x－2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c=m，求证：＋＋≥3.     5.已知函数f(x)=|2x－1|－|x－a|，a∈R.(1)当a=1时，解不等式f(x)＜1；(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围.     6.设函数f(x)=|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.(1)求m；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2=m，求ab＋bc的最大值.     7.已知函数f(x)=m－|x－1|，m∈R，且f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集为[－2,4].(1)求m的值；(2)若a，b，c为正数，且＋＋=m，求证：a＋2b＋3c≥3.      8.已知函数f(x)=|x＋m|＋|2x－1|(m∈R).(1)当m=－1时，求不等式f(x)≤2的解集；(2)设关于x的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集为A，且[,2]⊆A，求实数m的取值范围.     
0.答案解析1.解：(1)因为|x＋3|＋|x－1|=|x＋3|＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|=4，所以f(x)min=4，即t=4.(2)由(1)得a＋b=4，故＋=1，＋==＋1＋＋≥＋2=＋1=，当且仅当b=2a，即a=，b=时取等号，故＋≥. 2.解：(1)记f(x)=|x－1|－|x＋2|=由－2<－2x－1<0解得－<x<，则M=.所以≤|a|＋|b|<×＋×=.(2)由(1)得a2<，b2<.因为|1－4ab|2－4|a－b|2=(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)=(4a2－1)(4b2－1)>0.所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|. 3.解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|=|m|.要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.因为m∈N*，所以m=1.(2)因为α，β≥1，f(x)=2x－1(x≥1)，所以f(α)＋f(β)=2α－1＋2β－1=4，即α＋β=3，所以＋=(α＋β)=≥=3.(当且仅当=，即α=2，β=1时等号成立)故＋≥3. 4.解：(1)当x<－1时，f(x)=－2(x＋1)－(x－2)=－3x∈(3，＋∞)；当－1≤x<2时，f(x)=2(x＋1)－(x－2)=x＋4∈[3,6)；当x≥2时，f(x)=2(x＋1)＋(x－2)=3x∈[6，＋∞).综上，f(x)的最小值m=3.(2)a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c=3，因为＋＋＋(a＋b＋c)=＋＋≥2=2(a＋b＋c).(当且仅当a=b=c=1时，取等号)所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3. 5.解：(1)当a=1时，f(x)=|2x－1|－|x－1|=当x≤时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤；当＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴＜x＜1；当x＞1时，x＜1，无解.综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}.(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解⇔|x－a|＜－2x有解⇔2x＜x－a＜－2x有解⇔3x＜a＜－x有解，∵3x＞－3，－x＜1，∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1). 6.解：(1)当x≤－1时，f(x)=3＋x≤2；当－1＜x＜1时，f(x)=－1－3x＜2；当x≥1时，f(x)=－x－3≤－4.故当x=－1时，f(x)取得最大值m=2.(2)因为2=a2＋2b2＋c2=(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc=2(ab＋bc)，当且仅当a=b=c=时取等号，此时，ab＋bc取得最大值1. 7.解：(1)由f(x＋2)＋f(x－2)≥0可得|x＋1|＋|x－3|≤2m.设g(x)=|x＋1|＋|x－3|，则当x≤－1时，g(x)=－2x＋2；当－1＜x＜3时，g(x)=4；当x≥3时，g(x)=2x－2.所以g(－2)=g(4)=6=2m，m=3.(2)由(1)得＋＋=3，由柯西不等式，得(a＋2b＋3c)(＋＋)≥2=32，当且仅当a=2b=3c=1时等号成立，所以a＋2b＋3c≥3. 8.解：(1)当m=－1时，f(x)=|x－1|＋|2x－1|，由f(x)≤2，得|x－1|＋|2x－1|≤2，∴或或解得或或∴0≤x≤或＜x＜1或1≤x≤.∴原不等式的解集为.(2)∵[,2]⊆A，∴当x∈[,2]时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈[,2]上恒成立，∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1，即|x＋m|≤2，∴－2≤x＋m≤2，∴－x－2≤m≤－x＋2在x∈[,2]上恒成立，∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，∴－≤m≤0，∴实数m的取值范围是[－,0].