高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词课时作业

1.5.2  全称量词命题和存在量词命题的否定

 基  础  练                                                                                  

      巩固新知    夯实基础

1.命题“∀x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是(　　)

A．∃x∈R，x2－x＋2≥0            B．∀x∈R，x2－x＋2≥0

C．∃x∈R，x2－x＋2<0            D．∀x∈R，x2－x＋2<0

2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是(　　)

A．一次函数都不是单调函数

B．非一次函数都不是单调函数

C．有些一次函数是单调函数

D．有些一次函数不是单调函数

3.存在量词命题“∃x0∉M，p(x0)”的否定是(　　)

A．∀x∈M，¬p(x)　               B．∀x∉M，p(x)

C．∀x∉M，¬p(x)                 D．∀x∈M，p(x)

4.下列四个命题中，假命题是(　　)

A．∀x∈R，x＋≥2                B．∃x∈R，x2－x>5

C．∃x∈R，|x＋1|<0                D．∀x∈R，|x＋1|>0

5.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．

6.命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2<0，则命题p的否定为________．

7.判断下列命题的真假，并写出它们的否定：

(1)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；

(2)在实数范围内，有些一元二次方程无解；

8.用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)二次函数的图象是抛物线．

(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．

(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．

 能  力  练                                                                                

综合应用   核心素养

9.全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　)

A．所有能被5整除的整数都不是奇数

B．所有奇数都不能被5整除

C．存在一个能被5整除的整数不是奇数

D．存在一个奇数，不能被5整除

10.“对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是(　　)

A.对于任意a≤0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根

B.对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根

C.存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根

D.存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根

11.已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0；若p是真命题，则实数a的取值范围是 (　　)

A.a<1  B.a>3       C.a≤3         D.a≥3

12.(多选)下列命题正确的是 (　　)

A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件

B.命题“若x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，则x2≥1”

C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件

D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件

13.命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为_______，此命题的否定是_____，是_____(填“真”或“假”)命题. 

14.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．

15.已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求实数a的取值范围．

16.已知集合A=，集合B=，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围.

【参考答案】

1.C 解析：“≥”的否定是“<”，全称命题的否定是特称命题．

2.D 解析：命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．

3.C 解析：由存在量词命题的否定的定义可得．

4.ACD 解析：选项A，当x<0时，x＋≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错，故选B.

5.存在x0∈R，使得x＜0

6.∀x∈R，x2＋3x＋2≥0 解析：命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.

7.解 (1)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；

(2)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解。

8.解：(1)否定为：∃x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．

(2)否定为：在直角坐标系中，∃x0∈{直线}，x0不是一次函数的图象．真命题．

(3)否定为：∃a0，b0∈R，方程a0x＋b0＝0无解或至少有两解．真命题．

9.C解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以选项A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D错误，选项C正确，故选C.

10.D解析：全称量词“任意”改为存在量词“存在”，另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.

11.D解析：p是真命题，所以p是假命题；所以∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0无解；所以当1<x<3时，a≤x不成立，所以a≥3.

12.ABD解析：A正确.“a>1”可推出“<1”，但是当<1时，a有可能是负数，所以“<1”推不出“a>1”，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件；B正确.由全称量词命题的否定方法可知.C.错误.当x=-3，y=3时，x2+y2≥4，但是“x≥2且y≥2”不成立，所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”，所以“x≥2且y≥2”不是“x2+y2≥4”的必要条件.

D正确.“a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.

13.∃x，y∈R，x+y>1　∀x，y∈R，x+y≤1　假  解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x+y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x+y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题.

14.存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

15.解　由已知得其否定：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．

∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则，

∴，解得a≤－3，

∵p的否定为假，∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．

16.因为“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，所以它的否定“∀m∈R，使得A∩B=∅”为真命题，当a<0时，A==∅，符合A∩B=∅；当a≥0时，因为m2+3>0，所以由∀m∈R，A∩B=∅可得a<m2+3，对于∀m∈R恒成立，因为m2+3≥3，所以0≤a<3.

综上，实数a的取值范围为a<3.