人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时导学案及答案

1.1　集合的概念

第2课时　集合的表示

【学习目标】

【自主学习】

1．列举法

把集合的元素         出来，并用         括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．描述法

（1）定义：用集合所含元素的       表示集合的方法称为描述法．

（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的       及          ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的           .

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)集合0∈{x|x>1}．(　　)

(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．(　　)

(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．(　　)

2.大于4并且小于10的奇数组成的集合用列举法可表示为____ ____．

【经典例题】

题型一　用列举法表示集合

例1　用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；

(3)由120以内的所有质数组成的集合．

【跟踪训练】1 用列举法表示下列集合：

(1)绝对值小于5的偶数；

(2)24与36的公约数；

(3)方程组的解集．

题型二　用描述法表示集合

例2　用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数的集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．

【跟踪训练】2 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．

题型三　列举法与描述法的综合运用

例3 下面三个集合：

①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它们各自的含义是什么？

(2)它们是不是相同的集合？

【跟踪训练】3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.                                   

【当堂达标】

1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)

A．{1,1}   B．{1}

C．{x＝1}   D．{x2－2x＋1＝0}

2．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是(　　)

A．{x|x是小于18的正奇数}

B．{x|x＝4s ＋1，s∈N，且s <5}

C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t<5}

D．{x|x＝4s－3，s∈N ，且s<6}

3．给出下列说法：

①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；

②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；

③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}；

④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．

其中正确说法的序号是(　　)

A．①②  B．②③  C．②  D．①③④

4．方程的解集用列举法表示为_______________________；

用描述法表示为________________．

5．若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为______．

6.已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

【参考答案】

【自主学习】

1．一一列举   花括号“{}”

2．（1）共同特征   （2）一般符号   取值(或变化)范围    共同特征

【小试牛刀】

1.(1)×　(2)√　(3)×  解析：(1){x|x>1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．

(2){x|x<5，x∈N}表示小于5的自然数组成的集合，其含有0,1,2,3,4，共5个元素，所以(2)正确．

(3)集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x|x2－3x＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．

2.{5,7,9}

【经典例题】

例1 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．

(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．

(3)设由1 20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．

【跟踪训练】1解：(1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集．

(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．

(3)由得

∴方程组的解集为{(x，y)|}＝{(x，y)|}

＝{(1,1)}，是有限集．

例2　解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N ，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N }．

(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈ ，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．

(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．

【跟踪训练】2解：本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}．

例3 (1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；

集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；

集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．

(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．

【跟踪训练】3 解：(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；

(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．

综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．

【当堂达标】

1．B　2.D　3.C

4．{(，－)}　{(x，y)|}

5．－3

6. 解：当a＝0时，A＝，满足题意；

当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，

所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.

故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.