高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时导学案，共7页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
2.2 基本不等式第1课时 基本不等式的证明【学习目标】课程标准学科素养1.理解基本不等式的内容及证明(重点)；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点).1、逻辑推理2、数学运算 【自主学习】重要不等式与基本不等式注意：基本不等式≥(a>0，b>0)(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝；②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b.思考1：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？  思考2： a＋≥2(a≠0)是否恒成立？  【小试牛刀】思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．(　　)(2)若a≠0，则a＋≥2 ＝4.(　　)(3)若a，b∈R，则ab≤2.(　　)(4)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(    )【经典例题】题型一 对基本不等式的理解例1 给出下面三个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2.其中正确的推导过程为(　　)A．①②  B．②③  C．②  D．①③【跟踪训练】1下列命题中正确的是(　　)A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2B．当a>0，b>0时，(a＋b)≥4C．当a>4时，a＋≥2 ＝6D．当a>0，b>0时，≥  题型二　利用基本不等式比较大小例2 设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)A.a<b<<  B.a<<<bC.a<<b<  D.<a<<b 【跟踪训练】2 已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)A.m＞n        B.m＜n    C.m＝n  D.m≥n 题型三　用基本不等式证明不等式点拨：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.例3　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.    【跟踪训练】3 已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.     【当堂达标】1．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)A.       B．a2＋b2        C．2ab D．a2．若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3.(多选题)下列不等式不一定成立的是(　　)A．x＋≥2　 B．≥C.   D．2－3x－≥24.设a＞0，b＞0，给出下列不等式：①a2＋1＞a；  ②≥4；   ③(a＋b)≥4；  ④a2＋9＞6a.其中恒成立的是________(填序号).5．  已知a>b>c，则与的大小关系是            6.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 
【参考答案】【自主学习】思考1：不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数。思考2：只有a>0时，a＋≥2，当a<0时，a＋≤－2【小试牛刀】 (1)×　(2)×　(3)√  (4)√【经典例题】例1  D 解析 ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以＋a≥2 ＝4是错误的；③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．【跟踪训练】1 B解析：A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正确．例2  B 解析：法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A，C两项.又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B.法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.【跟踪训练】2  A解析：因为a＞2，所以a－2＞0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2＜2，n＝22－b2＜4，综上可知m＞n.例3 证明　＋＋＝＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.【跟踪训练】3证明  由基本不等式可得：a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理：b4＋c2≥2b2c2，  c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.【当堂达标】B解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<，∴a2＋b2最大．2. A 解析：当a>0，b>0时，a＋b≥2，则当a＋b≤4时有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立．当a＝1，b＝4时满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．3. AD　解析：A项，当x<0时，x＋<0<2，∴A错误；B项，＝≥，∴B正确；C项，，其中x2>0，满足基本不等式的要求，∴C正确；D项，变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误．①②③ 解析：由于a2＋1－a＝＋＞0，故①恒成立；由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，那么a＝b＝1时“＝”成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.综上，恒成立的是①②③.5. ≤ 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．6.证明　(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2·2·2＝8abc.当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立.