高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时学案，共7页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
3.2.2  奇偶性第1课时  奇偶性的概念【学习目标】课程标准学科素养1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).1、数学抽象2、数学运算3、直观想象【自主学习】函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有       ，那么函数f(x)是偶函数关于    对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有       ，那么函数f(x)是奇函数关于   对称思考1：从奇偶函数的定义来考虑，奇(偶)函数的定义域有什么特点？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？ 思考2：若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？ 【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　)(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(　　)(4)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数. (　　)2.下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号) 【经典例题】题型一　函数奇偶性的判断函数奇偶性判断的方法：(1)定义法：                                  (2)图象法：例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；　　  (2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；    (4)f(x)＝    【跟踪训练】1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2);  (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝；  (4)f(x)＝       题型二　奇、偶函数的图象问题点拨：根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．例2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.     【跟踪训练】2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．     题型三　函数奇偶性的应用例3-1 (利用奇偶性求函数值)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)A.26        B.18       C.10         D.－26 例3-2 (利用奇偶性求参数值) 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 【跟踪训练】3　(1)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. (2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝_____，b＝______。  【当堂达标】1.函数f(x)＝|x|＋1是(　　)A．奇函数   B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数   D．非奇非偶函数2.f(x)＝x3＋的图象关于(　　)A．原点对称      B．y轴对称    C．y＝x对称   D．y＝－x对称3.(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)g(x)是奇函数   B．|f(x)|g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是偶函数   D．|f(x)g(x)|是偶函数4.已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　)A．4           B．3          C．2 D．15.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝    .6.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．   【课堂小结】1.函数的奇偶性(1)定义域特点：关于原点对称；(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.2.判断函数奇偶性的方法(1)定义法；(2)图象法． 【参考答案】【自主学习】f(－x)＝f(x)    y轴     f(－x)＝－f(x)   原点 思考1：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)．思考2： ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，f(0)＝0.【小试牛刀】1.（1）×　(2)×　 (3)×   (4)×2.(2)(4)　(1)(3)  解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．【经典例题】例1　解：　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝即f(－x)＝于是有f(－x)＝－f(x)．【跟踪训练】1解：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．例2 解　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).【跟踪训练】2解：方法一　因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．由图象可知f(1)<f(3)．方法二　由图象可知f(－1)<f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)<f(3)．例3-1  D 解析　法一　由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.法二　由已知条件，得①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.例3-2 －1 解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.【跟踪训练】3  (1)7  (2)　0　解析： (1)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7. (2)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－＝0，解得b＝0.【当堂达标】1.B解析：∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2.A 解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－(x3＋)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称．3.ABD 解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得A为奇函数，B为偶函数，C为奇函数；D为偶函数．]4.C 解析：因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12，即4－2m＝0，所以m＝2.5. －2 解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，∴f(0)＋f(1)＝0－2＝－2.6. 解：(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．