人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第2课时学案

4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用

【学习目标】

【自主学习】

一．指数函数图象位置关系

一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：

1.“底大图高”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数      ；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数       .即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.

2.指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于    对称.

二．比较大小

1.对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的         来判断；

2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的       的变化规律来判断；

3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过       来判断.

三.解指数方程、不等式

(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的     求解；

(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的     求解；

(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.

四.指数型函数的单调性

一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有       的定义域.

(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有      的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性      .

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若0.3a>0.3b，则a>b.(　　)

(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　)

(3)函数y＝2在其定义域上为减函数．(　　)

(4)若am>1，则m>0.(　　)

【经典例题】

题型一　利用指数函数的单调性比较大小

点拨：当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.

例1 比较下列各题中两个值的大小.

①1.7－2.5,1.7－3；   ②1.70.3,1.50.3；   ③1.70.3,0.83.1.

【跟踪训练】1 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a<b<c     B.a<c<b     C.b<a<c  D.b<c<a

题型二　简单的指数不等式的解法

点拨：(1)形如ax>ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况讨论．

(2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

例2　(1)不等式4x<42－3x的解集是________.

(2)若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．

【跟踪训练】2 已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N＝ (　　)

A．{－1,1}     B．{－1}    C．{0}    D．{－1,0}

题型三　指数型函数的单调性

点拨：(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.

例3 判断f(x)＝()x2-2x的单调性，并求其值域．

【跟踪训练】3 求函数y＝ 的单调区间.

题型四　指数函数性质的综合问题

例4 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.

(1)求a的值；

(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围。

【跟踪训练】4 已知函数f(x)＝.

(1)证明f(x)为奇函数；

(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；

(3)求f(x)的值域．

【当堂达标】

1.已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)

A.是奇函数，且在R上是增函数     B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数     D.是偶函数，且在R上是减函数

2.函数y＝1－x的单调增区间为(　　)

A．(－∞，＋∞)     B．(0，＋∞)   C．(1，＋∞)   D．(0,1)

3.(多选)对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4.函数y＝x，y＝2x，y＝3x的图象(如图)分别是________.(用序号作答)

5.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.

6.比较下列各组值的大小：

(1)1.8－0.1，1.8－0.2；    (2)1.90.3，0.73.1；    (3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).

7.已知函数f(x)＝2－x2＋2x.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在[0,3]上的值域．

8.设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．

(1)求k的值；

(2)若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集．

【参考答案】

【自主学习】

一．由大变小  由大变小  y轴

二．单调性 图象 中间值

三．单调性  单调性

四. 相同 相同 相反

【小试牛刀】

(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

【经典例题】

例1 解　①∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数.∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.

②方法一　∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方.而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.

方法二　∵1.50.3＞0，且＝0.3，又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3.

③∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.

【跟踪训练】1 C 解析：∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.

例2 （1） 解析　∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<.

（2）  解 　①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为增函数，∴－5x>x＋7，解得x<－.

②当0<a<1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为减函数，∴－5x<x＋7，解得x>－.

综上所述，当a>1时，x的取值范围为.当0<a<1时，x的取值范围为.

【跟踪训练】2  B 解析：∵＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.

又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．

例3 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝()u.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，

又∵y＝()u在(－∞，＋∞)上递减，

∴y＝()x2-2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

∴y＝()u，u∈[－1，＋∞)，

∵0<u≤－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．

【跟踪训练】3 解　设y＝au，u＝x2＋2x－3，

由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数.

当a>1时，y关于u为增函数；当0<a<1时，y关于u为减函数，

∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；

当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞).

例4 解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.

(2)由(1)知f(x)＝－＋，故f(x)在R上为减函数.

(3)∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)<f(k－2t2).

由(2)知f(x)在R上单调递减，∴t2－2t>k－2t2，

即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，

∴k的取值范围是.

【跟踪训练】4  (1)证明　由题意知f(x)的定义域为R，

f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

(2)解　f(x)在定义域上是增函数．

证明如下：任取x1，x2∈R，且x1<x2，

f(x2)－f(x1)＝＝(1－)－(1－)＝.

∵x1<x2，∴－>0, ＋1>0, ＋1>0，∴f(x2)>f(x1)，

∴f(x)为R上的增函数．

(3)解　f(x)＝＝1－，∵3x>0⇒3x＋1>1⇒0<<2⇒－2<－<0，

∴－1<1－<1，即f(x)的值域为(－1,1)．

【当堂达标】

1.A 解析:f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，则f(x)为奇函数.y＝3x为增函数，y＝为减函数，则f(x)＝3x－为增函数，故选A.

2.A 解析: 设t＝1－x，则y＝t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞),即为y＝1－x的递增区间．

3.ACD 解析:对于A，，，，正确；对于B，，，，错误；

对于C，在定义域中单调递增，，正确；

对于D，，又，则，正确.

4.①，②，③

5. {x|x<1} 解析: 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.

6.解: (1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.

(2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1.

(3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3<a2.5；

当0<a<1时，函数y＝ax是R上的减函数，又1.3<2.5，故a1.3>a2.5.

7.解: (1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.

令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．

当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．

综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．

(2)由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝，所以f(x)的值域为.

8.(1)方法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1.

当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，

故k＝1符合题意．

方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在定义域R上恒成立，

∴解得k＝1.

(2)∵f(1)＝a－>0，又a>0，且a≠1，∴a>1.

∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，

∴f(x)是R上的增函数．

故f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0⇔f(x2＋2x)>－f(4－x2)＝f(x2－4)⇔x2＋2x>x2－4⇔x>－2.

∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x>－2}．